第十单元 对数函数（B卷）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,] D.[1,]
1.A 由题意得解得x<1.
2.若函数y=(x-2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m,n),则(m+n)=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.C 当x=3时,lo(3-2)+5=5,所以y=lo(x-2)+5(a>0且a≠1)的图象过定点(3,5),即m=3,n=5,所以lo(m+n)=lo8=6.
3.函数f(x)=x3log5|2x|的图象大致为( )
3.A 易知函数定义域是{x|x≠0},又f(-x)=-x3log5|-2x|=-x3log5|2x|=-f(x),故f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除C,D.当x>1时,f(x)>0,排除B,故选A.
4.已知函数f(x)=(x+1)(x-3),则函数f(x)的最小值为( )
A.5 B.-5 C.4 D.-4
4.D 因为f(x)=(lox+1)(lox-3)=-2lox-3=-4(x>0),所以当lox=1,即x=时,f(x)取得最小值-4.
5.已知函数f(x)=log2(x+1)+x-2,则不等式f(x)<0的解集为( )
A.(-∞,1) B.(-1,1)
C.(0,1) D.(1,+∞)
5.B 函数的定义域+不等式的解集
思路导引 先求出f(x)的定义域,然后分析f(x)的单调性,再根据f(x)<0 f(x)
f(x)=log2(x+1)+x-2的定义域为(-1,+∞)(定义域优先原则),因为y=log2(x+1),y=x-2均在(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)=log2(x+1)+x-2在(-1,+∞)上单调递增,又因为f(1)=log22+1-2=0,所以f(x)<0 f(x)-1,所以不等式的解集为(-1,1).
6.已知a=log643,b=lg 2·lg 5,c=log34,则( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>a>c
6.C 由于a=log643log642=lo 2=,所以a∈(,),又c=log34>log33=, b=lg 2·lg 5=lg 2·(1-lg 2)<[]2=,所以c>a>b.
7.A,B,C三个物体同时从同一点出发同向而行,位移y关于时间x(x>0)的函数关系式分别为yA=2x-1,yB=log2(x+1),yC=,则下列结论中错误的是( )
A.当x>1时,A总走在最前面
B.当0C.B不可能走在最前面,也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是A
7.C 在同一坐标系内画出yA=2x-1,yB=log2(x+1),yC=的图象,如图所示,
当x=1时,yA=2-1=1,yB=log22=1,yC==1,且x>1时,指数型函数增长速度最快,故当x>1时,A总走在最前面,A,D正确;当08.【高考变式】设函数f(x)=(2x+a)ln(x-b),若对任意x>b都有f(x)≥0,则ab的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
8.B 对数函数的单调性+二次函数的最值
思路导引 确定f(x)的定义域为(b,+∞),对x∈(b,b+1),x∈(b+1,+∞),x=b+1进行分类讨论,并根据f(x)≥0恒成立,可得a=-2(b+1),再由二次函数性质计算可得结果.
易知函数f(x)的定义域为(b,+∞),令ln(x-b)=0,可得x=b+1.当x∈(b,b+1)时,ln(x-b)<0,若对任意x>b都有f(x)≥0,需满足2x+a≤0在x∈(b,b+1)上恒成立,易知y=2x+a在x∈(b,b+1)上单调递增,所以2(b+1)+a≤0即可;当x∈(b+1,+∞)时,ln(x-b)>0,若对任意x>b都有f(x)≥0,需满足2x+a≥0在x∈(b+1,+∞)上恒成立,易知y=2x+a在x∈(b+1,+∞)上单调递增,所以2(b+1)+a≥0即可;当x=b+1时,f(x)=0恒成立.综上可得,需满足2(b+1)+a=0,此时a=-2(b+1),所以ab=-2b(b+1)=-2(b2+b)=-2(b+)2+≤,当且仅当b=-,a=-1时,等号成立,因此ab的最大值为.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.某校学生在研究折纸试验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足:n≤log2.根据以上信息,下列说法正确的是(参考数值:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)( )
A.当对折4次时,的最小值为64
B.当对折4次时,的最小值为32
C.一张长边长为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折6次
D.一张长边长为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折8次
9.AC A(√)B( )令n=4,则log2≥4,则log2≥6,即≥64,即当对折4次时,的最小值为64.
C(√)D( )当ω=30,x=0.05时,n≤log2=log2 600=×=×≈×≈6.2,所以该矩形纸最多能对折6次.
10.已知函数f(x)=ln(x2-mx+m),则下列说法正确的是( )
A.若f(x)的定义域为R,则m∈(0,4)
B.若f(x)的最小值为ln 3-2ln 2,则m=3
C.若f(x)在[2,+∞)上单调递增,则m的值可以为4
D.若m=0,则 x1,x2∈(0,+∞),都有f()≥
10.AD A(√)若f(x)=ln(x2-mx+m)的定义域为R,则x2-mx+m>0在R上恒成立,所以Δ=(-m)2-4m<0,解得0B( )若f(x)的最小值为ln 3-2ln 2=ln,即y=x2-mx+m=(x-)2+m-的最小值为,则有m-=,则f(x)没有最小值),解得m=1或m=3.
C( )根据复合函数单调性的同增异减规则,可知y=x2-mx+m=(x-)2+m-在[2,+∞)上单调递增,即解得m<4.
D(√)方法一 当m=0时,f(x)=2ln|x|,作出其图象如图所示,
在(0,+∞)上任意取x1,x2(x1≠x2),由图可知f()>;若x1=x2,则f()=f(x1)=.即 x1,x2∈(0,+∞),都有f()≥.
方法二 当m=0时,f(x)=ln x2.又x1,x2∈(0,+∞),所以f()-=ln()2-ln(x1x2)2=ln()2-ln(x1x2).因为≥,所以()2≥x1x2,当且仅当x1=x2时等号成立,所以f()-≥0,即f()≥.
11.已知函数f(x)=a>0且a≠1,则( )
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的值域为R
C.当a>1时,f(x)的图象关于直线y=x对称
D.若a>1,b>1,且满足log2a+b-2=log2b+,则f(a)11.BCD 列表【解析】直观解疑惑
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2),若-1≤f(x)≤2,f(x)的反函数为g(x),则g(x)的值域为 .
12.[,9] 由条件求得a,解不等式-1≤f(x)≤2可得x的范围,根据函数与其反函数的定义域、值域的关系可得答案.
∵函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2),∴2=loga9,即a2=9,又a>0且a≠1,∴a=3,f(x)=log3x.
方法一 ∵-1≤f(x)≤2,即-1≤log3x≤2,∴≤x≤9.∵f(x)的反函数为g(x),∴g(x)的值域为[,9](反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域).
方法二 y=log3x与y=3x互为反函数,若-1≤f(x)≤2,f(x)的反函数为g(x),则g(x)=3x(x∈[-1,2]),则g(x)的值域为[,9].
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1,C2,C3依次为y=2log2x,y=log2x,y=klog2x的图象,其中k为常数,013. 设A(t,2log2t),其中t>1,则D(t,log2t),yB=2log2t,由2log2t=log2xB,解得xB=t2,则B(t2,2log2t),所以C(t2,log2t)(四边形ABCD为矩形,则AB∥CD,故CD∥x轴,即C和D纵坐标相等),将C点坐标代入y=klog2x得log2t=klog2t2=2klog2t,2k=1,k=.
14.已知函数f(x)=ln,则函数f(x)的单调递增区间为 ;若f(a+2)+f(5a+2)+4>0,则实数a的取值范围为 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.(-∞,+∞) (-,+∞) f(x)=ln =ln=ln(+2x)-2(分母有理化,再利用对数运算法则,化简函数f(x)的解析式),令g(x)=ln(+2x)(构造函数,判断函数的奇偶性与单调性),由于+2x>|2x|+2x≥0,所以g(x)的定义域为R,又g(-x)=ln(-2x)=ln=-ln(+2x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,当x≥0时,y=ln(+2x)为增函数,则g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,+∞)上也单调递增,则f(a+2)+f(5a+2)+4>0 g(a+2)+g(5a+2)>0 g(5a+2)>-g(a+2)=g(-a-2),于是5a+2>-a-2,解得a>-,即实数a的取值范围是(-,+∞).
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【开放创新】已知函数f(x)=log2(1+x),从以下两个函数①y=f(x)-f(-x),②y=f(x)+f(-x)中选择一个作为函数g(x)的解析式,并解答下列问题.
(1)求函数g(x)的定义域.
(2)判断函数g(x)的单调性(说明理由).
15.【解析】 选择①,
(1)g(x)=f(x)-f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x),
由得-1(2)第一步:化简函数g(x)的解析式
g(x)=log2(1+x)-log2(1-x)=log2=log2(-1-).(8分)
第二步:利用复合函数的单调性判断出函数g(x)的单调性
因为函数y=log2u单调递增,函数u=-1-在(-1,1)上单调递增,所以g(x)在(-1,1)上单调递增.(13分)
选择②,
(1)g(x)=f(x)+f(-x)=log2(1+x)+log2(1-x),
由得-1(2)第一步:化简函数g(x)的解析式
g(x)=log2(1+x)+log2(1-x)=log2(1-x2).(8分)
第二步:利用复合函数的单调性判断出函数g(x)的单调性
因为函数y=log2t单调递增,函数t=1-x2在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以g(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.(13分)
16.(15分)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1).
(1)求当x<0时f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(1,4)上单调递增,求g(a)=()a的取值范围.
16.【解析】 (1)当x<0时,-x>0,又f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=loga(3+ax),
即x<0时,f(x)=loga(3+ax).(5分)
(2)由于f(x)在(1,4)上单调递增,显然a>1不合题意( 要对底数分类讨论,不要习惯性认为底数大于1),(7分)
则 0又g(x)=()x在(0,]上单调递减,所以g(a)=()a的取值范围是[,1).(15分)
17.(15分)已知函数f(x)=|log4x|.
(1)若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1],求n-m的最小值;
(2)若a17.【解析】 (1)由题意可知求n-m的最小值即求区间[m,n]的长度的最小值,
当f(x)=0时,x=1,当f(x)=1时,x=4或,
因为f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以区间[m,n]的最短长度为1-=,即n-m的最小值为.(6分)
(2)f(x)=|log4x|的图象如下:
(10分)
因为01,
所以-log4a=log4b log4a+log4b=0 log4(ab)=0 ab=1.(13分)
故a+3b=a+,
由对勾函数y=x+在(0,1)上单调递减,得a+3b=a+>1+3=4,
所以a+3b的取值范围是(4,+∞).(15分)
18.(17分)已知函数f(x)=lo,g(x)=m·4x-2x+2+3.
(1)若y=lg[g(x)]的值域为R,求满足条件的整数m的值;
(2)若非常数函数f(x)是定义域为(-2,2)的奇函数,且 x1∈[1,2), x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,求m的取值范围.
18.指数型复合函数的值域+根据对数函数的值域求参数值+不等式有解问题
思路导引 (1)根据函数y=lg[g(x)]的值域为R,可得函数g(x)的值域包含(0,+∞),再分m=0,m>0和m<0三种情况讨论,结合二次函数的性质即可得解.
(2)根据函数的奇偶性求出函数f(x)的解析式,再根据 x1∈[1,2), x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,得原不等式等价于f(x)min+>g(x)min.求出函数f(x)的最小值,再对m分情况讨论,结合二次函数的性质求出g(x)的最小值即可.
【解析】 (1)因为函数y=lg[g(x)]的值域为R,所以函数g(x)的值域包含(0,+∞).(1分)
g(x)=m·4x-2x+2+3=m·(2x)2-4·2x+3.
当m=0时,g(x)=-2x+2+3,其值域为(-∞,3),不满足条件.(2分)
当m≠0时,令t=2x,t∈(0,+∞),则函数y=mt2-4t+3对应的二次函数图象的对称轴为t=,
当m>0时,ymin=m·()2-4·+3=3-,即g(x)的值域为[3-,+∞),
所以解得0当m<0时,<0,则函数y=mt2-4t+3的值域为(-∞,3),即函数g(x)的值域为(-∞,3),不满足条件.(5分)
综上所述,0(2)因为函数f(x)是定义域为(-2,2)的奇函数(已知函数为奇函数求参,如果在x=0处有定义,首先应该想到f(0)=0,f(-x)=-f(x),然后对第二个等式取特值,即得方程组),
所以即解得或
由于函数f(x)不是常数函数,所以
经检验,符合题意,即f(x)=lo.(8分)
由 x1∈[1,2), x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,
得 x1∈[1,2), x2∈[-1,1],f(x1)+>g(x2),
只要f(x)min+>g(x)min即可(若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)>g(x2)成立,则f(x)min>g(x)min).(9分)
当x∈[1,2)时,==-1∈(0,],
所以函数f(x)min=lo=,则f(x)min+=1.(10分)
g(x)=m·4x-2x+2+3=m·-4·2x+3,
令n=2x,因为x∈[-1,1],所以n∈[,2],
函数y=m·n2-4n+3,n∈[,2].(11分)
方法一 当m=0时,y=-4n+3,n∈[,2],则n=2时,ymin=-5<1恒成立,符合题意.(12分)
当m≠0时,函数y=m·n2-4n+3,n∈[,2]对应的二次函数图象的对称轴为n=,
若m<0,则当n=2时,ymin=4m-5<0恒成立,符合题意;(13分)
若0<≤,即m≥4,则当n=时,ymin=m+1,所以不等式组无解;(14分)
若≥2,即0若<<2,即1综上所述,m的取值范围为(-∞,2).(17分)
方法二 则问题转化成关于n的不等式m·n2-4n+3<1在[,2]上有解,
即m<在[,2]上有解.(13分)
令h(n)=,n∈[,2],
则h(n)=-=-2(-1)2+2,∈[,2],
当=1,即n=1时,h(n)取得最大值,即h(n)max=2,
故m<2,即m的取值范围为(-∞,2).(17分)第十单元 对数函数（B卷）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,] D.[1,]
2.若函数y=(x-2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m,n),则(m+n)=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.函数f(x)=x3log5|2x|的图象大致为( )
4.已知函数f(x)=(x+1)(x-3),则函数f(x)的最小值为( )
A.5 B.-5 C.4 D.-4
5.已知函数f(x)=log2(x+1)+x-2,则不等式f(x)<0的解集为( )
A.(-∞,1) B.(-1,1)
C.(0,1) D.(1,+∞)
6.已知a=log643,b=lg 2·lg 5,c=log34,则( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>a>c
7.A,B,C三个物体同时从同一点出发同向而行,位移y关于时间x(x>0)的函数关系式分别为yA=2x-1,yB=log2(x+1),yC=,则下列结论中错误的是( )
A.当x>1时,A总走在最前面
B.当0C.B不可能走在最前面,也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是A
8.【高考变式】设函数f(x)=(2x+a)ln(x-b),若对任意x>b都有f(x)≥0,则ab的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.某校学生在研究折纸试验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足:n≤log2.根据以上信息,下列说法正确的是(参考数值:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)( )
A.当对折4次时,的最小值为64
B.当对折4次时,的最小值为32
C.一张长边长为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折6次
D.一张长边长为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折8次
10.已知函数f(x)=ln(x2-mx+m),则下列说法正确的是( )
A.若f(x)的定义域为R,则m∈(0,4)
B.若f(x)的最小值为ln 3-2ln 2,则m=3
C.若f(x)在[2,+∞)上单调递增,则m的值可以为4
D.若m=0,则 x1,x2∈(0,+∞),都有f()≥
11.已知函数f(x)=a>0且a≠1,则( )
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的值域为R
C.当a>1时,f(x)的图象关于直线y=x对称
D.若a>1,b>1,且满足log2a+b-2=log2b+,则f(a)三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2),若-1≤f(x)≤2,f(x)的反函数为g(x),则g(x)的值域为 .
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1,C2,C3依次为y=2log2x,y=log2x,y=klog2x的图象,其中k为常数,014.已知函数f(x)=ln,则函数f(x)的单调递增区间为 ;若f(a+2)+f(5a+2)+4>0,则实数a的取值范围为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【开放创新】已知函数f(x)=log2(1+x),从以下两个函数①y=f(x)-f(-x),②y=f(x)+f(-x)中选择一个作为函数g(x)的解析式,并解答下列问题.
(1)求函数g(x)的定义域.
(2)判断函数g(x)的单调性(说明理由).
16.(15分)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1).
(1)求当x<0时f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(1,4)上单调递增,求g(a)=()a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=|log4x|.
(1)若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1],求n-m的最小值;
(2)若a18.(17分)已知函数f(x)=lo,g(x)=m·4x-2x+2+3.
(1)若y=lg[g(x)]的值域为R,求满足条件的整数m的值;
(2)若非常数函数f(x)是定义域为(-2,2)的奇函数,且 x1∈[1,2), x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,求m的取值范围.
