第十单元 对数函数（A卷）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025郑州外国语学校高一期中]函数f(x)=的定义域是( )
A.(,+∞)
B.(2,+∞)
C.[,2)∪(2,+∞)
D.(,2)∪(2,+∞)
2.[2025太原五中高一月考]已知函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0且a≠1)的图象恒过点P(m,n),则m+n=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.[2024天津一中高一月考]已知p:log2(x-1)<1,q:(x-2)2<1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.[2025葫芦岛市第一高级中学高一月考]已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,且f(9)=-1,则a=( )
A.3 B.6 C.9 D.27
5.[2025福建部分优质高中联考]函数f(x)=lg的值域为( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.(0,] D.(-∞,]
6.【教材变式】[2025广东省茂名市高一期末]如图,①②③④中不属于函数y=x,y=log2x,y=log3x对应图象中的一个的是( )
A.① B.② C.③ D.④
7.[2024深圳高级中学高一期末]设a=log0.20.3,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
8.[2024巴蜀中学月考]已知函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x),f(3)=0,则不等式f(2x-5)≤0的解集为( )
A.(,4] B.(3,4)
C.(,4) D.[4,)
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025襄阳四中、武汉二中等校高一联考]已知a<0A.log2c+b<0 B.logcb>0
C.ba>ca D.logbc>1
10.[2025佛山一中高一月考]已知函数f(x)=log2(ax2+3x+2),则下列结论正确的是( )
A.f(0)=1
B.若a=0,则f(x)是增函数
C.不存在实数a,使得f(x)为偶函数
D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[0,]
11.[2025厦门一中高一期末]已知函数f(x)=ln|x-1|-ln|x|,则( )
A.f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}
B.f(x)在区间(-∞,0)单调递增
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(-log23)+f()<0
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025广东省八校高一质量检测]设a∈R,若f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),则a= .
13.[2025河南省实验中学高一期中]设函数 f(x)=(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为 .
14.[2025南师附中高一月考]设函数f(x)=log2(-a),若存在x1,x2∈[-2,0],满足|f(x1)-f(x2)|≥4,则实数a的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[鞍山一中高一期末]已知函数f(x)=2x2-4x+a,g(x)=logax(a>0且a≠1),且f(1)=g(1).
(1)求实数a的值;
(2)设t1=f(x),t2=g(x),t3=2x,当x∈(0,1)时,试比较t1,t2,t3大小.
16.(15分)[2025深圳实验学校高一阶段考试]已知函数f(x)=且点(4,2)在函数f(x)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式,并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)解方程f(2x-3)=0.
17.(15分)[2024辽宁省实验中学高一期末]已知f(x)=log2(+2)+(x-a)2是偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增.
18.(17分)[2025黄冈中学检测]某企业现有A,B两条生产线,根据市场调查,A生产线的利润f(x)(单位:万元)与投入金额x(单位:万元)的关系式为f(x)=log2+mx+n,x≥0,B生产线的利润g(x)(单位:万元)与投入金额x(单位:万元)的关系式为g(x)=x-log2(32-x)+p,0≤x<32.假定f(0)=g(0)=0且f(3)=4.
(1)求实数m,n,p的值;
(2)该企业现有22万元资金全部投入A,B两条生产线中,问:怎样分配资金,才能使企业获得最大利润 并求出最大利润.
19.(17分)[2025安徽师大附中高一下开学考试]已知函数f(x)=2(log4x-1)log4(2x).
(1)当x∈[1,16]时,求函数f(x)的值域;
(2)求不等式f(x)>9的解集;
(3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,64]恒成立,求m的最小值.第十单元 对数函数（A卷）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025郑州外国语学校高一期中]函数f(x)=的定义域是( )
A.(,+∞)
B.(2,+∞)
C.[,2)∪(2,+∞)
D.(,2)∪(2,+∞)
1.D 由题意,所以x>且x≠2.因此f(x)的定义域为(,2)∪(2,+∞).
2.[2025太原五中高一月考]已知函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0且a≠1)的图象恒过点P(m,n),则m+n=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.B 令4x-7=1,解得x=2,又f(2)=loga(4×2-7)-3=-3,所以函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0且a≠1)的图象恒过点(2,-3),即m=2,n=-3,所以m+n=-1.
3.[2024天津一中高一月考]已知p:log2(x-1)<1,q:(x-2)2<1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.C 由题意得p:14.[2025葫芦岛市第一高级中学高一月考]已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,且f(9)=-1,则a=( )
A.3 B.6 C.9 D.27
4.C 根据f(x)在(0,+∞)上单调递增得a>1,由f(9)=-1代入解析式,通过解方程即可得解.因为函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,所以a>1.因为f(9)=-1,所以loga9=-1,即2loga3=-1,解得loga3=或loga3=-1(舍去),所以a=9.
5.[2025福建部分优质高中联考]函数f(x)=lg的值域为( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.(0,] D.(-∞,]
5.D 对于f(x)=lg,由解得-6.【教材变式】[2025广东省茂名市高一期末]如图,①②③④中不属于函数y=x,y=log2x,y=log3x对应图象中的一个的是( )
A.① B.② C.③ D.④
6.B 根据题意函数y=lox,y=log2x,y=log3x中两个底数大于1,单调递增,故③,④满足题意.根据增长规律,底数大于1时在(1,0)右边,底数越大,图象越接近x轴(简记为“底大图低”),知③对应y=log3x,④对应y=log2x.由于函数y=lox=-log2x,则它的图象与y=log2x的图象关于x轴对称(记结论： y=logax与y=lox(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称),且①与④关于x轴对称.故函数y=lox的图象为①.则②不属于函数y=lox,y=log2x,y=log3x对应图象中的一个.
7.[2024深圳高级中学高一期末]设a=log0.20.3,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
7.C 估算得到a,b,c的取值范围,再进行大小比较.因为32>23,所以log232>log223,即2log23>3,所以b=log23>.因为42<33,所以log3421,所以1>c>1>a.
8.[2024巴蜀中学月考]已知函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x),f(3)=0,则不等式f(2x-5)≤0的解集为( )
A.(,4] B.(3,4)
C.(,4) D.[4,)
8.A 由题意得,f(3)=log4(3-2)-log4(a-3)=0,解得a=4,所以f(x)=log4(x-2)-log4(4-x),所以f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x).因为f(2x-5)≤0,所以log4(2x-7)-log4(9-2x)≤0,即log4(2x-7)≤log4(9-2x),从而解得选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025襄阳四中、武汉二中等校高一联考]已知a<0A.log2c+b<0 B.logcb>0
C.ba>ca D.logbc>1
9.BC A( )因为c>b>0,所以log2c+lob=log2c-log2b>0.
B(√)由于0logcc=1>( 易错：应注意0C(√)a<0ca.
D( )由于010.[2025佛山一中高一月考]已知函数f(x)=log2(ax2+3x+2),则下列结论正确的是( )
A.f(0)=1
B.若a=0,则f(x)是增函数
C.不存在实数a,使得f(x)为偶函数
D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[0,]
10.ABC 列表【解析】直观解疑惑
11.[2025厦门一中高一期末]已知函数f(x)=ln|x-1|-ln|x|,则( )
A.f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}
B.f(x)在区间(-∞,0)单调递增
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(-log23)+f()<0
11.ABD A(√)f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}.
B(√)当x∈(-∞,0)时,f(x)=ln(1-x)-ln(-x)=ln(1-),因为y=1-在区间(-∞,0)单调递增,所以根据复合函数单调性,f(x)在区间(-∞,0)单调递增.
C( )f(x)+f(1-x)=ln||+ln||=0,所以f(x)的图象关于点(,0)对称(若f(x)+f(a-x)=b,则f(x)的图象关于点()对称).
D(√)由C可知f(x)+f(1-x)=0,所以f(-log23)+f(1+log23)=0,即-f(-log23)=f(1+log23).因为2log23=log29>log28=3,所以1+log23>1+=.当x>1时,f(x)=ln(x-1)-ln x=ln(1-),因为y=1-在(1,+∞)单调递增且y>0恒成立,所以f(x)在区间(1,+∞)单调递增,所以f()三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025广东省八校高一质量检测]设a∈R,若f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),则a= .
12.7 因为f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),所以函数f(x)=log2(x+a)的图象经过点(1,3)(互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称),所以f(1)=log2(1+a)=3,可得a+1=23,解得a=7.
13.[2025河南省实验中学高一期中]设函数 f(x)=(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为 .
13.[2,4] 由题知,解得2≤a≤4.
14.[2025南师附中高一月考]设函数f(x)=log2(-a),若存在x1,x2∈[-2,0],满足|f(x1)-f(x2)|≥4,则实数a的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[鞍山一中高一期末]已知函数f(x)=2x2-4x+a,g(x)=logax(a>0且a≠1),且f(1)=g(1).
(1)求实数a的值;
(2)设t1=f(x),t2=g(x),t3=2x,当x∈(0,1)时,试比较t1,t2,t3大小.
15.【解析】 (1)由f(1)=g(1)可得-2+a=loga1,即-2+a=0,
解得a=2.(5分)
(2)由a=2可得t1=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,
t2=g(x)=log2x.(6分)
方法一 当x∈(0,1)时,根据一元二次函数单调性可知,y=(x-1)2在x∈(0,1)上单调递减,故t1∈(0,1),
由对数函数y=log2x在x∈(0,1)上单调递增,可知t2∈(-∞,0),
由指数函数y=2x在x∈(0,1)上单调递增,可得t3∈(1,2),
所以可得t2方法二 在同一平面直角坐标系中画出t1=(x-1)2,t2=log2x,t3=2x的图象(如图),
(10分)
通过图象可判断在(0,1)上,t216.(15分)[2025深圳实验学校高一阶段考试]已知函数f(x)=且点(4,2)在函数f(x)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式,并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)解方程f(2x-3)=0.
16.【解析】 (1)∵点(4,2)在函数f(x)的图象上,∴f(4)=loga4=2,则a=2,
∴f(x)=(4分)
f(x)的图象如图所示.
(8分)
(2)令解得x=2;(11分)
令解得x=0.(14分)
综上,方程f(2x-3)=0的解集为{x|x=0或x=2}.(15分)
17.(15分)[2024辽宁省实验中学高一期末]已知f(x)=log2(+2)+(x-a)2是偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增.
17.【解析】 (1)易知f(x)的定义域为R,(1分)
因为f(x)=log2(+2)+(x-a)2是偶函数,
所以f(x)-f(-x)=log2(+2)-log2(+2)-2ax=log2-2ax=log2-2ax=log24x-2ax=(2-2a)x=0,
所以a=1.(7分)
(2)由(1),可知f(x)=log2(2×4x+2)+(x-1)2=1+log2(4x+1)+(x-1)2=log2(2x+2-x)+x2+2.(9分)
设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=log2+(x1+x2)(x1-x2),(10分)
其中+-(+)=-+=,
因为x1>x2>0,所以->0,>1,-1>0,
所以>0,
所以+>+>0,>1,
所以log2>0,
又(x1+x2)(x1-x2)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.(15分)
18.(17分)[2025黄冈中学检测]某企业现有A,B两条生产线,根据市场调查,A生产线的利润f(x)(单位:万元)与投入金额x(单位:万元)的关系式为f(x)=log2+mx+n,x≥0,B生产线的利润g(x)(单位:万元)与投入金额x(单位:万元)的关系式为g(x)=x-log2(32-x)+p,0≤x<32.假定f(0)=g(0)=0且f(3)=4.
(1)求实数m,n,p的值;
(2)该企业现有22万元资金全部投入A,B两条生产线中,问:怎样分配资金,才能使企业获得最大利润 并求出最大利润.
18.【解析】 (1)因为f(x)=log2+mx+n,g(x)=x-log2(32-x)+p,f(0)=g(0)=0,f(3)=4,
所以log2+n=0,log2+3m+n=4,-log2(32-0)+p=0,
所以m=1,n=0,p=5.(6分)
(2)由(1)知f(x)=log2+x,g(x)=x-log2(32-x)+5.
设A生产线投入x万元,则B生产线投入(22-x)万元,设企业获得利润为z万元,
则z=f(x)+g(22-x)=log2+x+22-x-log2(10+x)+5,0≤x≤22,(10分)
所以z=log2-log2(10+x)+27=log2+27=log2+27,(13分)
由基本不等式可得+≥2=6,当且仅当x=8时等号成立,
所以log2≤-log26,
所以z=log2+27≤27-log26=26-log23,当且仅当x=8时等号成立,
所以A生产线投入8万元,B生产线投入14万元时,企业获得利润最大,利润的最大值为(26-log23)万元.(17分)
19.(17分)[2025安徽师大附中高一下开学考试]已知函数f(x)=2(log4x-1)log4(2x).
(1)当x∈[1,16]时,求函数f(x)的值域;
(2)求不等式f(x)>9的解集;
(3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,64]恒成立,求m的最小值.
19.【解析】 (1)f(x)=2(log4x-1)log4(2x)=2(log4x-1)·(log4x+).(2分)
令t=log4x(观察化简后的f(x)解析式,为y=f(logax)(a>0且a≠1)型复合函数,故先换元),当x∈[1,16]时,t∈[0,2](换元要注意新元的范围).
函数f(x)转化为二次函数y=2(t-1)(t+),t∈[0,2].(3分)
则二次函数y=2(t-1)(t+)=2t2-t-1=2(t-)2-,
故函数y=2(t-)2-在[0,]上单调递减,在(,2]上单调递增,
所以当t=时,y取到最小值,最小值为-.(5分)
由|2-|>|0-|,可知当t=2时,y取到最大值,最大值为5,
故当x∈[1,16]时,函数f(x)的值域为[-,5].(6分)
(2)由题得2(log4x-1)(log4x+)-9>0,
令t=log4x,则(t-1)(2t+1)-9>0,即2t2-t-10>0,解得t>或t<-2.(8分)
即log4x<-2或log4x>(注意换元后的不等式解集要转化成原来的变量的取值范围),
解得0=32.
故不等式f(x)>9的解集为(0,)∪(32,+∞).(11分)
(3)第一步:换元,将原不等式转化为一元二次不等式
由题知2(log4x-1)(log4x+)≤mlog4x对于x∈[4,64]恒成立,
令t=log4x,当x∈[4,64]时,t∈[1,3],即(t-1)(2t+1)≤mt对于t∈[1,3]恒成立,
即2t2-t-1≤mt对于t∈[1,3]恒成立.(13分)
第二步:由参变量分离法将参数和变量分别放到两边
所以m≥2t--1对于t∈[1,3]恒成立.(14分)
第三步:将不等式含变量的一边设为函数,并求出最大值
因为函数y=-在[1,3]上单调递增,y=2t也在[1,3]上单调递增,
所以函数y=2t--1,t∈[1,3]是增函数,则t=3时,y=2t--1取得最大值,最大值为2×3--1=.(16分)
第四步:得实数m的取值范围,进而得最小值
故当m≥时,f(x)≤mlog4x对于x∈[4,64]恒成立.
所以m的最小值为.(17分)
