第三单元 等式性质与不等式性质、基本不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024重庆一中高一期末]函数y=3x+(x>0)的最小值是( )
A.4 B.5 C.3 D.2
1.D 要求和的最小值,考虑凑出积为定值,两式相乘即可.因为x>0,所以y=3x+≥2=2,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,则y=3x+(x>0)的最小值是2.
2.[2024兵团二中高一期中]若a>0,ab>0,则( )
A.b>0 B.b≥0 C.b<0 D.b∈R
2.A A(√)由ab>0,a>0,得>,即b>0;B( )D( )当b=0时,ab=0,不满足题意;C( )当b<0时,由a>0,得ab<0,不满足题意.
3.[2025柳州一中高一月考]已知4a2+b2=6,则ab的最大值为( )
A. B. C. D.3
3.B 由题意得,6=4a2+b2=(2a)2+b2≥2·2a·b,即ab≤,当且仅当2a=b,即a=,b=或a=-,b=-时等号成立,所以ab的最大值为.
4.[2025余姚中学高一期中]若a>0,b>0,则“ab≤4”是“a+b≤4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.B 因为a>0,b>0,所以可取a=4,b=1,则满足ab≤4,但是a+b=5>4,所以“ab≤4”不能推出“a+b≤4”;反过来,因为2≤a+b,所以当a+b≤4时,有2≤4,即ab≤4,当且仅当a=b时取等号.综上可知,“ab≤4”是“a+b≤4”的必要不充分条件.
5.[2025深圳实验学校高一月考]小港、小海两人相约两次到同一水果店购买葡萄,小港每次购买50元葡萄,小海每次购买3千克葡萄,若这两次葡萄的价格不同,则( )
A.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
B.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低
C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样
D.两人两次购买葡萄的平均价格无法比较
5.B 设两次葡萄的价格分别为a元/千克和b元/千克,且a≠b,小海两次均购买3千克葡萄,则平均价格为=(元/千克),小港两次均购买50元葡萄,则平均价格为=(元/千克).因为-==>0,所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低.
6.[2025马鞍山二中高一检测]已知不等式2x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<-2 B.m>-4
C.m>-2 D.m<-4
6.C 不等式2x+m+>(x>-1)恒成立,即m>-(2x+)恒成立,-(2x+)=-[2(x+1)+-2]≤-(2-2)=-2,当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立,故m>-2.
7.[2025福州三中高一月考]设正数a,b满足2a+b=1,则+的最小值为( )
A.2-2 B.-+
C.2+2 D.--
7.B 先由a,b为正数和2a+b=1得a,b的范围,再设2-2a=m,2-b=n,得m+n=3,m>0,n>0,代入所求式子,利用基本不等式中“1”的妙用求最小值.∵正数a,b满足2a+b=1,∴b=1-2a>0,且a=>0,则0
0,n>0,∴+=+=+-=(m+n)(+)-=(+)-≥×2-=-+,当且仅当=,即m=3-3,n=6-3时,等号成立,则+的最小值为-+.
8.【数学文化】[2025蚌埠二中高一月考]《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步.问:勾中容方几何 ”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( )
A.由图1和图2面积相等得d=
B.由AE≥AF可得>
C.由AD≥AE可得≥
D.由AD≥AF可得a2+b2>2ab
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024龙岩一中模拟]下列命题正确的是( )
A.若aab>b2
B.若aC.若0
D.若02
10.[2025贵阳一中高一期中]已知3A.<<10 B.11<2a+b<50
C.211.[2025长郡中学高一期末]若实数a,b满足a2+b2-nab=9,n∈R,则下列说法正确的为( )
A.当n=1时,a2+b2的最大值为16
B.当n=1时,a+b的最小值为-6
C.当n=3时,ab的最小值为-9
D.当n=3时,a2+b2的最小值为
11.BD A( )当n=1时,a2+b2-ab=9,a2+b2=9+ab≤9+,解得a2+b2≤18,当且仅当a=b=3时等号成立,故a2+b2有最大值,最大值为18.
B(√)当n=1时,a2+b2-ab=9,则(a+b)2=9+3ab≤9+(a+b)2,所以(a+b)2≤36,即-6≤a+b≤6,当且仅当a=b=-3时,a+b有最小值,最小值为-6.
C( )当n=3时,a2+b2-3ab=9,则3ab+9=a2+b2≥±2ab,当3ab+9=a2+b2≥2ab时,ab≥-9,当且仅当a=b时等号成立,此时无解;当3ab+9=a2+b2≥-2ab时,ab≥-,当且仅当a=-b时等号成立,此时解得a=-b=或a=-b=-,故ab有最小值-.
D(√)当n=3时,a2+b2-3ab=9,a2+b2=9+3ab≥9+3(-),则a2+b2≥,当且仅当a=-b=或a=-b=-时等号成立,故a2+b2有最小值,最小值为.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025鹰潭一中检测改编]已知012. 要求积的最大值,考虑凑出和为定值.由013.【教材变式】[2025昆明八中高一月考]某工厂一年需要购买某种原材料100吨,计划每次购买x吨.若每次的运费为5 000元,一年的储存费用为5 000x元,则每次购买 吨原材料,总费用(运费和储存费之和)最低,且最低总费用为 万元.(本题第一空2分,第二空3分)
14.[2025大连育明高中高一月考]设矩形ABCD(AB>BC)的周长为20,如图所示,把它沿对角线AC折叠后,AB交DC于点P,设AB=x,则△ADP面积的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024河南师大附中高一月考]选用恰当的证明方法,证明下列不等式.
(1)已知a>0,b>0,且a-b=2,求证:a+≥5;
(2)已知a>b>0,求证:a3+b3>ab2+a2b.
15.【解析】 (1)由a>0,b>0,a-b=2,得a=b+2,
所以a+=b+2+=(b+1)++1≥2+1=5,
当且仅当b+1=,即b=1,a=3时等号成立,(4分)
所以a+≥5.(6分)
(2)a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),(10分)
因为a>b>0,所以a+b>0,(a-b)2>0,所以(a-b)2(a+b)>0,(12分)
所以a3+b3-ab2-a2b>0,即a3+b3>ab2+a2b.(13分)
16.(15分)[2025重庆八中高一期中]已知0(1)求的取值范围.
(2)若将条件变为“-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1”.
(i)求x的取值范围;
(ii)求x-2y的取值范围.
16.【解析】 (1)因为0,又1.(2分)
因为=,所以0<=<.(5分)
(2)(i)-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1,两式相加得-3≤2x≤3,解得-≤x≤,
所以x的取值范围为{x|-≤x≤}.(9分)
(ii)方法一 令x-2y=m(x+y)+n(x-y)( 此处极易出错,不能同(i)的方法求出y的范围,直接用x,y的范围求x-2y的范围,必须利用整体思想求解),所以x-2y=(m+n)x+(m-n)y,
所以则所以x-2y=-(x+y)+(x-y).(13分)
因为-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1,所以-1≤-(x+y)≤,-3≤(x-y)≤,
所以-4≤x-2y≤2.(15分)
17.(15分)[长安一中高一月考]用基本不等式证明不等式.
(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++;
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
17.基本不等式
思路导引 (1)应用基本不等式a+b≥2,同理有b+c≥2,c+a≥2,三式相加后可证;(2)每个括号内通分,并代入已知条件,然后应用基本不等式可证.
【解析】 (1)∵a,b,c为正实数,∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,
又a,b,c是不全相等的正实数,上述三个不等式等号不能同时取到,
∴2(a+b+c)>2+2+2,即a+b+c>++. (7分)
(2)∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,
∴(-1)(-1)(-1)=··=··≥··=8,当且仅当a=b=c时等号成立. (15分)
18.(17分)[2025邯郸一中高一期末]关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的,但通过运算就会产生非常奇妙的变化,基本不等式就是其中之一.通过运算(代数变形)可以解决很多关于基本不等式的问题.
例如此题:已知a,b为正实数,且a+b=1,则+的最小值为 .
其解法如下:+=+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=b=时,等号成立,因此+的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:+≥4;
(2)已知a>0,b>0,且a+b=1,则+的最小值是多少
(3)某同学在解决题目“已知x为正实数,y为非负实数,且x+2y=2,则+的最小值是多少 ”时,给出如下解法:
令t=y+1(t≥1),则x+2y=2化为x+2t=4.
原式=+=x++2(t+-2)=(x+2t-4)++=+=(+)(x+2t)=(5++)≥,当且仅当=,即x=t=,即x=,y=时,等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维,解决如下问题:已知a,b∈R,a+b=4,则+的最大值是多少
18.【解析】 (1)+=+=2++≥2+2=4,
当且仅当=,即c=a+b=时,等号成立,得证.(4分)
(2)+=+=+=+-≥2-=,
当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,
则+的最小值是.(9分)
(3)+===.(12分)
令t=ab≤()2=4,则原式=,
令μ=9-t≥5,
则原式===≤=,
当且仅当μ=,即μ=4,t=ab=9-4时,等号成立.
所以+的最大值为.(17分)
19.(17分)[2025北京师大附中高一月考]高一的珍珍阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义A×B={(x,y)|x∈A且y∈B},将A×B称为“A与B的笛卡尔积”.
(1)若A={-1,0,1},B={-1,1},求A×B和B×A.
(2)若集合H是有限集,将集合H的元素个数记为|H|.已知|A1×A2|=m3(m∈N*),且存在实数a满足≥a对任意m∈N*恒成立,求a的取值范围,并指明当a取到最值时|A1|和|A2|满足的关系式及m应满足的条件.
19.【解析】 (1)由题意可得,A×B={(-1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,1)},(3分)
B×A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1)}.(6分)
(2)设|A1|=c,|A2|=d,c,d∈N*,
则|A1×A2|=|A2×A1|=cd=m3,|A1×A1|=c2,|A2×A2|=d2,(8分)
可得==≥=,
当且仅当=,即c=d时,等号成立,
所以实数a的取值范围为{a|a≤}.(14分)
若a取到最大值,则c=d,即|A1|=|A2|,
可得c2=m3,即c==()3∈N*,
所以m=k2,k∈N*.(17分)第三单元 等式性质与不等式性质、基本不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024重庆一中高一期末]函数y=3x+(x>0)的最小值是( )
A.4 B.5 C.3 D.2
2.[2024兵团二中高一期中]若a>0,ab>0,则( )
A.b>0 B.b≥0 C.b<0 D.b∈R
3.[2025柳州一中高一月考]已知4a2+b2=6,则ab的最大值为( )
A. B. C. D.3
4.[2025余姚中学高一期中]若a>0,b>0,则“ab≤4”是“a+b≤4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2025深圳实验学校高一月考]小港、小海两人相约两次到同一水果店购买葡萄,小港每次购买50元葡萄,小海每次购买3千克葡萄,若这两次葡萄的价格不同,则( )
A.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
B.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低
C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样
D.两人两次购买葡萄的平均价格无法比较
6.[2025马鞍山二中高一检测]已知不等式2x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<-2 B.m>-4
C.m>-2 D.m<-4
7.[2025福州三中高一月考]设正数a,b满足2a+b=1,则+的最小值为( )
A.2-2 B.-+
C.2+2 D.--
8.【数学文化】[2025蚌埠二中高一月考]《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步.问:勾中容方几何 ”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( )
A.由图1和图2面积相等得d=
B.由AE≥AF可得>
C.由AD≥AE可得≥
D.由AD≥AF可得a2+b2>2ab
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024龙岩一中模拟]下列命题正确的是( )
A.若aab>b2
B.若aC.若0
D.若02
10.[2025贵阳一中高一期中]已知3A.<<10 B.11<2a+b<50
C.211.[2025长郡中学高一期末]若实数a,b满足a2+b2-nab=9,n∈R,则下列说法正确的为( )
A.当n=1时,a2+b2的最大值为16
B.当n=1时,a+b的最小值为-6
C.当n=3时,ab的最小值为-9
D.当n=3时,a2+b2的最小值为
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025鹰潭一中检测改编]已知013.【教材变式】[2025昆明八中高一月考]某工厂一年需要购买某种原材料100吨,计划每次购买x吨.若每次的运费为5 000元,一年的储存费用为5 000x元,则每次购买 吨原材料,总费用(运费和储存费之和)最低,且最低总费用为 万元.(本题第一空2分,第二空3分)
14.[2025大连育明高中高一月考]设矩形ABCD(AB>BC)的周长为20,如图所示,把它沿对角线AC折叠后,AB交DC于点P,设AB=x,则△ADP面积的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024河南师大附中高一月考]选用恰当的证明方法,证明下列不等式.
(1)已知a>0,b>0,且a-b=2,求证:a+≥5;
(2)已知a>b>0,求证:a3+b3>ab2+a2b.
16.(15分)[2025重庆八中高一期中]已知0(1)求的取值范围.
(2)若将条件变为“-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1”.
(i)求x的取值范围;
(ii)求x-2y的取值范围.
17.(15分)[长安一中高一月考]用基本不等式证明不等式.
(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++;
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
18.(17分)[2025邯郸一中高一期末]关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的,但通过运算就会产生非常奇妙的变化,基本不等式就是其中之一.通过运算(代数变形)可以解决很多关于基本不等式的问题.
例如此题:已知a,b为正实数,且a+b=1,则+的最小值为 .
其解法如下:+=+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=b=时,等号成立,因此+的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:+≥4;
(2)已知a>0,b>0,且a+b=1,则+的最小值是多少
(3)某同学在解决题目“已知x为正实数,y为非负实数,且x+2y=2,则+的最小值是多少 ”时,给出如下解法:
令t=y+1(t≥1),则x+2y=2化为x+2t=4.
原式=+=x++2(t+-2)=(x+2t-4)++=+=(+)(x+2t)=(5++)≥,当且仅当=,即x=t=,即x=,y=时,等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维,解决如下问题:已知a,b∈R,a+b=4,则+的最大值是多少
19.(17分)[2025北京师大附中高一月考]高一的珍珍阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义A×B={(x,y)|x∈A且y∈B},将A×B称为“A与B的笛卡尔积”.
(1)若A={-1,0,1},B={-1,1},求A×B和B×A.
(2)若集合H是有限集,将集合H的元素个数记为|H|.已知|A1×A2|=m3(m∈N*),且存在实数a满足≥a对任意m∈N*恒成立,求a的取值范围,并指明当a取到最值时|A1|和|A2|满足的关系式及m应满足的条件.
