第七单元 幂函数、函数的应用(一)
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025鲁山一高高一调研]已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则该函数的解析式为( )
A.f(x)= B.f(x)=x2
C.f(x)= D.f(x)=
2.[2024太原成成中学高一质量检测]若函数f(x)是幂函数,且f(4)=2f(1),则f(2)=( )
A. B. C. D.
3.[2025北大附中高一月考]如图所示的曲线是幂函数f(x)=xa在第一象限内的图象.已知a分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的a依次为( )
A.2,1,,-1 B.2,-1,1,
C.,1,2,-1 D.-1,1,2,
4.[2025重庆一中高一期末]“m=-2或m=3”是“幂函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递减”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2024江苏省南京市鼓楼区高一期中]学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是关于时间t(单位:min)的函数,则v(t)和S(t)的图象分别是下面四个图象中的( )
A.①② B.③④ C.①④ D.③②
6.[2024郑州七中高一质量测试]函数f(x)=(-x2+2x+3的单调递减区间为( )
A.[-1,1] B.(-∞,1]
C.(-1,1] D.(1,3)
7.[2025同济大学第一附属中学高一月考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
8.【情境创新】[2025新乡一中高一质量检测改编]某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0
A. B. C. D.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024金华一中高一期末]已知f(x)=xα(α∈R),则( )
A.当α=-1时,f(x)的定义域为R
B.当α=3时,f(π)>f(3)
C.当α=时,f(x2)是偶函数
D.当α=时,[f(x)]2是奇函数
10.[2025绵阳中学综合测试]国庆节期间,甲、乙两商场举行优惠促销活动,甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略,乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计划消费x(x>0)元,并且要利用商场的优惠活动,使消费更低一些,则( )
A.当0B.当200≤x<300时,应进乙商场购物
C.当400≤x<500时,应进乙商场购物
D.当x>500时,应进甲商场购物
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
11.[2024福州一中高一期中]已知a>0,函数f(x)=则以下说法正确的是( )
A.若f(x)有最小值,则a≥2
B.存在正实数a,使得f(x)是R上的减函数
C.存在实数a,使得f(x)的值域为R
D.若a=3,则存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2-x0)
12.[2025吉林省实验中学高一期中改编]已知f(x)为幂函数,则函数g(x)=f(x)+1的图象经过的定点坐标为 .
13.[2025锡山高级中学高一期末]已知幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,若>,则实数a的取值范围是 .
14.[2025岳麓实验中学高一期中改编]某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料,一上市就受到年轻人的喜爱,该公司统计了该饮料一年中每个月的盈利情况,得到月利润s(单位:万元)与销售月份t之间的关系为s(t)=(t∈N).
(1)一年中最高月利润对应的月份为 ;
(2)一年中该饮料月利润超过3万元的有 个月.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025北京市西城区高一期末]A,B两地相距520 km,货车从A地匀速行驶到B地,全程限速100 km/h.已知货车每小时的运输成本(单位:元)由固定成本和可变成本组成:固定成本为400元,可变成本与车速x(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为k(k>0).
(1)把货车的全程运输成本y(单位:元)表示为车速x的函数;
(2)为使全程运输成本最小,货车应以多大速度行驶
16.(15分)[2024金陵中学高一期中改编]已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上单调,求实数a的取值范围.
17.(15分)[2024北京理工大学附中高一月考]已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),且f(2)(1)求函数f(x)的解析式.
(2)试判断是否存在正数m,使得函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
18.(17分)[2024合肥一中高一期末]近年来,合肥市地铁轨道交通高质量发展,成为中国内地轨道交通新星,便捷的交通为市民出行带来极大便利,刷新了市民幸福指数.春节将至,为了提升人们的乘车体验感,合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行.已知地铁的发车时间间隔t(单位:min)满足3≤t≤18,t∈N*,通过调研,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤18时地铁可达到满载状态,载客量为1 250人,当3≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(11-t)的平方成正比,且发车时间间隔为3 min时载客量为610人,记地铁载客量为g(t).
(1)求g(t)的解析式;
(2)经过对该线路的数据分析,得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系Q(t)=-360,体验感指数越高,乘车体验感就越好,问:当发车时间间隔为多少时,市民乘车体验感最好
19.(17分)【探索新定义】[2025长沙一中高一期中改编]定义:对于定义在区间I上的函数f(x)和正数α(0<α≤1),若存在正数M,使不等式|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|α对任意x1,x2∈I恒成立,则称函数f(x)在区间I上满足α阶李普希兹条件.
(1)判断函数y=x,y=x3在R上是否满足1阶李普希兹条件,并说明理由;
(2)证明函数y=在区间[1,+∞)上满足阶李普希兹条件,并求出M的取值范围.第七单元 幂函数、函数的应用(一)
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025鲁山一高高一调研]已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则该函数的解析式为( )
A.f(x)= B.f(x)=x2
C.f(x)= D.f(x)=
1.A 因为函数f(x)为幂函数,故可设f(x)=xα,又函数f(x)的图象过点(2,),所以2α=,解得α=-2,所以f(x)=x-2,即f(x)=.
2.[2024太原成成中学高一质量检测]若函数f(x)是幂函数,且f(4)=2f(1),则f(2)=( )
A. B. C. D.
2.D 设f(x)=xa,因为f(4)=2f(1),所以4a=2,解得a=,故f(x)=,f(2)=.
3.[2025北大附中高一月考]如图所示的曲线是幂函数f(x)=xa在第一象限内的图象.已知a分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的a依次为( )
A.2,1,,-1 B.2,-1,1,
C.,1,2,-1 D.-1,1,2,
4.[2025重庆一中高一期末]“m=-2或m=3”是“幂函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递减”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.C 由幂函数的概念,可知系数为1,由f(x)在(0,+∞)上单调递减,可知指数为负.由幂函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递减,得解得m=-2,故“m=-2或m=3”是“幂函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递减”的必要不充分条件.
5.[2024江苏省南京市鼓楼区高一期中]学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是关于时间t(单位:min)的函数,则v(t)和S(t)的图象分别是下面四个图象中的( )
A.①② B.③④ C.①④ D.③②
6.[2024郑州七中高一质量测试]函数f(x)=(-x2+2x+3的单调递减区间为( )
A.[-1,1] B.(-∞,1]
C.(-1,1] D.(1,3)
6.C 由-x2+2x+3>0,得x2-2x-3<0,即(x+1)(x-3)<0,解得-17.[2025同济大学第一附属中学高一月考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
7.B 由f(x)=(m2-m-1)是幂函数,得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增( x1,x2∈D,x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0 f(x)在D上单调递增).①当m=-1时,f(x)=x0,不满足f(x)在(0,+∞)上单调递增,故m=-1不符合题意;②当m=2时,f(x)=x3为增函数,符合题意.综上,可知m=2,即f(x)=x3.又f(-x)=-x3=-f(x),所以f(x)在R上为奇函数且为增函数,又a+b<0,即a<-b,所以f(a)8.【情境创新】[2025新乡一中高一质量检测改编]某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0A. B. C. D.
8.D 由题意,知y=+,00,所以y=+=[x2+(1 350-x2)](+)=[2+50++]≥[52+2]=(52+20)=(看到两式子分母和为定值,想到利用基本不等式求最小值),当且仅当=,即x=15时取“=”,所以当x=15时,臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小,为.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024金华一中高一期末]已知f(x)=xα(α∈R),则( )
A.当α=-1时,f(x)的定义域为R
B.当α=3时,f(π)>f(3)
C.当α=时,f(x2)是偶函数
D.当α=时,[f(x)]2是奇函数
9.BC A( )当α=-1时,f(x)=,此时f(x)的定义域为{x|x≠0};
B(√)当α=3时,f(x)=x3在R上单调递增,所以f(π)>f(3);
C(√)当α=时, x∈R,f(x2)=f((-x)2),所以f(x2)是偶函数;
D( )当α=时,f(x)=(x≥0),则[f(x)]2=x(x≥0),定义域不关于原点对称(易错：判断函数奇偶性时要注意函数定义域是否关于原点对称),故为非奇非偶函数.
10.[2025绵阳中学综合测试]国庆节期间,甲、乙两商场举行优惠促销活动,甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略,乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计划消费x(x>0)元,并且要利用商场的优惠活动,使消费更低一些,则( )
A.当0B.当200≤x<300时,应进乙商场购物
C.当400≤x<500时,应进乙商场购物
D.当x>500时,应进甲商场购物
10.AC A(√)当00.84x,故应进甲商场购物.
B( )当200≤x<300时,在甲商场的消费费用为0.84x,在乙商场的消费费用为x-40,x-40-0.84x=0.16x-40,当200≤x<250时,0.16x-40<0,即x-40<0.84x,故应进乙商场购物;当2500.84x,故应进甲商场购物;当x=250时,x-40=0.84x,故可任意进其中一个商场购物.
C(√)当400≤x<500时,在甲商场的消费费用为0.84x,在乙商场的消费费用为x-80,x-80-0.84x=0.16x-80,因为400≤x<500,所以0.16x-80<0,故x-80<0.84x,所以应进乙商场购物.
D( )假设消费了600元,则在甲商场的消费费用为600×0.84=504(元),在乙商场的消费费用为600-120=48(元),所以在乙商场消费费用更低,故应进乙商场购物.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
11.[2024福州一中高一期中]已知a>0,函数f(x)=则以下说法正确的是( )
A.若f(x)有最小值,则a≥2
B.存在正实数a,使得f(x)是R上的减函数
C.存在实数a,使得f(x)的值域为R
D.若a=3,则存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2-x0)
11.AC 幂函数的性质+分段函数
思路导引 根据幂函数的性质可知f(x)在(1,+∞)上单调递增,由函数有最小值可得f(x)在(-∞,1]上的单调性和分段处函数值的大小关系,从而解不等式组求得a的范围,知A正确;由幂函数的性质知B错误;假设f(x)的值域为R,结合单调性和分段处函数值的大小关系可得a的范围,知C正确;将a=3代入,分别求出f(x0),f(2-x0)的表达式,比较可得二者值域没有交集,则D错误.
A(√)当a>0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,若f(x)有最小值,则解得a≥2.
B( )当x>1时,f(x)=xa,由幂函数的性质知,当a>0时,f(x)单调递增.
C(√)∵a>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当x>1时,f(x)>1;若f(x)的值域为R,则解得0D( )若a=3,则f(x)=当x0∈(1,+∞)时,f(x0)=>1,则2-x0∈(-∞,1),f(2-x0)=x0-2∈(-1,+∞),-(x0-2)=-x0+2>-x0=x(-1)>0恒成立,∴不存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2-x0).
12.[2025吉林省实验中学高一期中改编]已知f(x)为幂函数,则函数g(x)=f(x)+1的图象经过的定点坐标为 .
12.(1,2) 因为幂函数的图象过定点(1,1),即有f(1)=1,所以g(1)=f(1)+1=2,即g(x)的图象经过定点(1,2).
13.[2025锡山高级中学高一期末]已知幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,若>,则实数a的取值范围是 .
13.(0,) 流程化思维解题
14.[2025岳麓实验中学高一期中改编]某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料,一上市就受到年轻人的喜爱,该公司统计了该饮料一年中每个月的盈利情况,得到月利润s(单位:万元)与销售月份t之间的关系为s(t)=(t∈N).
(1)一年中最高月利润对应的月份为 ;
(2)一年中该饮料月利润超过3万元的有 个月.(本题第一空2分,第二空3分)
14.8月 5 分段函数的应用
思路导引 (1)对分段函数s(t)进行分段考虑,运用换元法和配方法分别求出s(t)的最大值,最后综合比较即得;
(2)根据(1)的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中,通过解不等式-t2+8t-25>3即可得解.
(1)当0(2)由(1)可知前5个月中,最大月利润为4月的3万元,故超过3万元的月份只可能在后面的7个月中,即53,可得t2-16t+56<0,解得8-2四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025北京市西城区高一期末]A,B两地相距520 km,货车从A地匀速行驶到B地,全程限速100 km/h.已知货车每小时的运输成本(单位:元)由固定成本和可变成本组成:固定成本为400元,可变成本与车速x(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为k(k>0).
(1)把货车的全程运输成本y(单位:元)表示为车速x的函数;
(2)为使全程运输成本最小,货车应以多大速度行驶
15.【解析】 (1)依题意,货车每小时的运输成本的可变成本为kx2,固定成本为400元,行驶时间为 h,(2分)
所以y=(kx2+400)=52(kx+),0(2)由(1)知,y=520k(x+),
由对勾函数的性质,知y=520k(x+)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,(8分)
而0当>100,即0所以当k≥时,货车应以 km/h的速度行驶,全程运输成本最小;当016.(15分)[2024金陵中学高一期中改编]已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上单调,求实数a的取值范围.
16.【解析】 (1)由f(x)为幂函数知-2m2+m+2=1,解得m=1或m=-.(2分)
当m=1时,f(x)=x2,f(x)是偶函数,符合题意;当m=-时,f(x)=,f(x)不是偶函数,不符合题意,舍去.(5分)
所以f(x)=x2.(7分)
(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,
函数图象的对称轴为直线x=a-1,(10分)
由题意知y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上单调,
所以a-1≤2或a-1≥3,即a≤3或a≥4,
所以实数a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).(15分)
17.(15分)[2024北京理工大学附中高一月考]已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),且f(2)(1)求函数f(x)的解析式.
(2)试判断是否存在正数m,使得函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
17.【解析】 (1)由题知,k2+k-1=1,解得k=-2或k=1.(3分)
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)所以f(x)=x2.(7分)
(2)第一步:求g(x)的表达式
g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1.(9分)
第二步:求出函数g(x)图象的对称轴,分0函数g(x)图象的对称轴为x=m,当0所以g(x)max=g(m)=m2+1=5,解得m=±2,不合题意;
当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上单调递增,
所以g(x)max=g(1)=2m=5,解得m=.(13分)
第三步:综合上述情况,得到m的值
综上所述,存在正数m=,使得g(x)在区间[0,1]上的最大值为5.(15分)
18.(17分)[2024合肥一中高一期末]近年来,合肥市地铁轨道交通高质量发展,成为中国内地轨道交通新星,便捷的交通为市民出行带来极大便利,刷新了市民幸福指数.春节将至,为了提升人们的乘车体验感,合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行.已知地铁的发车时间间隔t(单位:min)满足3≤t≤18,t∈N*,通过调研,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤18时地铁可达到满载状态,载客量为1 250人,当3≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(11-t)的平方成正比,且发车时间间隔为3 min时载客量为610人,记地铁载客量为g(t).
(1)求g(t)的解析式;
(2)经过对该线路的数据分析,得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系Q(t)=-360,体验感指数越高,乘车体验感就越好,问:当发车时间间隔为多少时,市民乘车体验感最好
18.【解析】 (1)由题意可设g(t)=
(k为常数),
因为g(3)=1 250-k(11-3)2=1 250-64k=610,所以k=10,
所以g(t)=(7分)
(2)由Q(t)=-360,结合(1)可知,
Q(t)=
整理得Q(t)=(12分)
①当3≤t<10,t∈N*时,Q(t)=960-6(t+)≤960-60×2=960-60×12=240,
当且仅当t=6时等号成立;
②当10≤t≤18,t∈N*时,Q(t)=-360在[10,18]上单调递减,
即当t=10时,Q(t)取最大值150.
由①②可知,当发车时间间隔为6 min时,市民乘车体验感最好 .(17分)
19.(17分)【探索新定义】[2025长沙一中高一期中改编]定义:对于定义在区间I上的函数f(x)和正数α(0<α≤1),若存在正数M,使不等式|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|α对任意x1,x2∈I恒成立,则称函数f(x)在区间I上满足α阶李普希兹条件.
(1)判断函数y=x,y=x3在R上是否满足1阶李普希兹条件,并说明理由;
(2)证明函数y=在区间[1,+∞)上满足阶李普希兹条件,并求出M的取值范围.
19.【解析】 (1)y=x满足1阶李普希兹条件,y=x3不满足1阶李普希兹条件.(1分)
理由如下:对于y=x,
|x1-x2|≤M|x1-x2|,只需M≥1,(2分)
所以存在正数M≥1,使|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|对任意x1,x2∈R恒成立,
所以y=x满足1阶李普希兹条件.(4分)
对于y=x3,
|-|≤M|x1-x2|,不妨设x1>x2,则M≥|+x1x2+|=|(x1+x2)2-x1x2|>(x1+x2)2,
y=(x1+x2)2∈[0,+∞),即不存在正数M,使不等式|-|≤M|x1-x2|对任意x1,x2∈R恒成立,
所以y=x3不满足1阶李普希兹条件.(8分)
(2)不妨设x1>x2≥1,则y=f(x)=时,|f(x1)-f(x2)|=-,
所以===∈(0,1)(),(12分)
故M≥1时,对任意x1,x2∈[1,+∞),均有|f(x1)-f(x2)|≤M,
故函数y=在区间[1,+∞)上满足阶李普希兹条件,(16分)
M的取值范围为[1,+∞).(17分)
