第六单元 函数的基本性质B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x B.y=
C.y= D.y=1-x2
2.已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(2,)和(3,+∞) B.(-∞,2)和(,3)
C.(-∞,) D.(,+∞)
已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+2x+1,则x<0时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=-x3-2x-1
B.f(x)=-x3-2x+1
C.f(x)=x3+2x-1
D.f(x)=-x3+2x+1
4.函数f(x)=的大致图象是( )
5.已知定义在区间[-2,2]上的偶函数f(x),当x∈[0,2]时,f(x)单调递增,若f(1-2m)>f(1),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(-,0)∪(1,]
C.[-,0)∪(1,] D.[-,0)∪(1,)
6.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:① x∈R,f(-x)=f(x);② x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,>0.记a=f(1),b=,c=,则( )
A.c
C.c7.已知函数f(x)=在[-1,m]上的最大值为f(m),则m的取值范围是( )
A.(-1,1]
B.(-1,1+2]
C.[1+2,+∞)
D.(-1,1]∪[1+2,+∞)
8.定义在R上的函数f(x)满足f(f(x))=x,但f(x)不恒等于x,则下列说法正确的是( )
A.f(x)可以是R上单调递增的一次函数
B.f(x)可以是偶函数
C.f(x)可以是奇函数
D.存在非零实数k,使得f(x+k)=f(x)
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则下列说法正确的是( )
A.f(f(-3))=1
B.f(x)是单调增函数
C.f(x)的定义域是(-∞,0]∪[2,3]
D.f(x)的值域是[1,5]
10.【探索创新】设函数f(x)=mid{|x-2|,x2,|x+2|},其中mid{x,y,z}表示x,y,z中的居中者,下列说法正确的有( )
A.f(x)只有一个最小值点
B.f(x)的值域为[1,+∞)
C.f(x)为偶函数
D.f(x)在(0,1)上单调递减
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x),则下列结论一定成立的是( )
A.f(2)=1
B.f(2 026)=0
C.(2,0)是f(x)图象的一个对称中心
D.f(3x+1)为偶函数
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.若函数f(x)=在[-3,2]上单调递减,则k的取值范围为 .
13.函数f(x)=x3+x+-8(a∈R)在区间[m,n]上的最大值为10,则函数f(x)在区间[-n,-m]上的最小值为 .
14.已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对于任意1四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)设f(x)为定义在R上的偶函数,如图是函数图象的一部分,当0≤x<2时,是线段OA;当x≥2时,图象是顶点为P(3,4),且过点(2,2)的二次函数图象的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)在[0,+∞)上的解析式;
(3)求函数f(x)的单调区间和最大值.
16.(15分)函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=.
(1)确定f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在(-3,3)上的单调性,并用定义证明.
17.(15分)11月3日,2024北京马拉松暨全国马拉松锦标赛(第3站)在天安门广场前鸣枪起跑,共有30 000名选手参加本次比赛.人类长跑运动一般分为两个阶段,第一阶段为前1小时的稳定阶段,第二阶段为疲劳阶段.现一名体重为60 kg的马拉松运动员进行4小时长跑训练,假设其稳定阶段做速度为v1=30 km/h的匀速运动,该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1=t1×2v1(t1表示该阶段所用时间),疲劳阶段由于体力消耗过大,变为v2=30-10t2的减速运动(t2表示该阶段所用时间).疲劳阶段速度降低,体力得到一定恢复,该阶段每千克体重消耗体力ΔQ2=,已知该运动员初始体力为Q0=10 000 kJ,不考虑其他因素,所用时间为t(单位:h),请回答下列问题:
(1)请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数Q(t);
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值,最低值为多少
18.(17分)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f()且当x∈(-1,0)时,f(x)>0.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并用定义证明;
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用单调性定义证明;
(3)解不等式f(x+1)+f()>0.
19.(17分)【探索新定义】定义:设函数f(x)的定义域为D,若存在实数m,M,对任意的实数x∈D,有f(x)≤M,则称函数f(x)为有上界函数,M是f(x)的一个上界;有f(x)≥m,则称函数f(x)为有下界函数,m是f(x)的一个下界.
(1)若函数f(x)=x2+cx-2在(0,1)上是以2为上界的有界函数,求实数c的取值范围.
(2)某同学在研究函数y=x+(b>0)的单调性时发现该函数在(0,]与[,+∞)上具有单调性,
(i)请直接写出函数y=x+(b>0)在(0,]与[,+∞)上的单调性,不必证明;
(ii)若函数g(x)=(a>0)的定义域为[4,16],m是函数g(x)的下界,请利用(i)的结论,求m的最大值m(a).第六单元 函数的基本性质B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x B.y=
C.y= D.y=1-x2
1.C B( )D( )函数y=,y=1-x2是偶函数,不符合题意.
A( )函数y=x是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
C(√)函数y=是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,符合题意.
2.已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(2,)和(3,+∞) B.(-∞,2)和(,3)
C.(-∞,) D.(,+∞)
已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+2x+1,则x<0时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=-x3-2x-1
B.f(x)=-x3-2x+1
C.f(x)=x3+2x-1
D.f(x)=-x3+2x+1
4.函数f(x)=的大致图象是( )
5.已知定义在区间[-2,2]上的偶函数f(x),当x∈[0,2]时,f(x)单调递增,若f(1-2m)>f(1),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(-,0)∪(1,]
C.[-,0)∪(1,] D.[-,0)∪(1,)
5.C 因为f(x)是[-2,2]上的偶函数,所以f(|1-2m|)>f(1)(偶函数具有性质f(x)=f(|x|),这是因为当x>0时必有f(x)=f(|x|);当x<0时,f(|x|)=f(-x)=f(x)),又f(x)在[0,2]上单调递增,所以解得-≤m<0或16.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:① x∈R,f(-x)=f(x);② x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,>0.记a=f(1),b=,c=,则( )
A.cC.c6.B 依题意, x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,>0 >0,所以函数在(0,+∞)上单调递增.又 x∈R,f(-x)=f(x),所以函数f(x)是R上的偶函数,所以=.显然有<<,所以a7.已知函数f(x)=在[-1,m]上的最大值为f(m),则m的取值范围是( )
A.(-1,1]
B.(-1,1+2]
C.[1+2,+∞)
D.(-1,1]∪[1+2,+∞)
7.D 题目关注的是区间[-1,m],因此我们只需考虑函数f(x)的第二个分段和第三个分段,再根据单调区间分-13三种情况讨论.由已知f(x)=得函数f(x)在(1,3)上单调递减,在(-1,1)和(3,+∞)上单调递增,所以当-1f(m),此时不符合题意;当m>3时,f(x)在(-1,1)和(3,m)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以若此时f(x)的最大值为f(m),则f(m)≥f(1),即解得m≥1+2.综上所述,m∈(-1,1]∪[1+2,+∞).
8.定义在R上的函数f(x)满足f(f(x))=x,但f(x)不恒等于x,则下列说法正确的是( )
A.f(x)可以是R上单调递增的一次函数
B.f(x)可以是偶函数
C.f(x)可以是奇函数
D.存在非零实数k,使得f(x+k)=f(x)
8.C A( )因为定义在R上的函数f(x)满足f(f(x))=x,设f(x)=kx+b,所以f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x,所以所以或所以f(x)=x或f(x)=-x+b,b∈R,但f(x)不恒等于x,所以f(x)=-x+b,b∈R,不是R上的增函数.
B( )因为f(f(-x))=-x,f(f(x))=x,所以f(f(-x))=-f(f(x)),所以f(x)不可以是偶函数.
C(√)当f(x)=-x时,满足f(f(x))=f(-x)=x=-f(x),故f(x)是奇函数.
D( )若存在非零实数k,使得f(x+k)=f(x),则f(f(x+k))=x+k=f(f(x)),与f(f(x))=x矛盾.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则下列说法正确的是( )
A.f(f(-3))=1
B.f(x)是单调增函数
C.f(x)的定义域是(-∞,0]∪[2,3]
D.f(x)的值域是[1,5]
9.AD A(√)由题图知f(-3)=2,因此f(f(-3))=f(2)=1.
B( )f(x)不是单调增函数,例如f(-1)>f(2)且f(2)C( )定义域是[-3,0]∪[2,3].
D(√)值域是[1,5].
10.【探索创新】设函数f(x)=mid{|x-2|,x2,|x+2|},其中mid{x,y,z}表示x,y,z中的居中者,下列说法正确的有( )
A.f(x)只有一个最小值点
B.f(x)的值域为[1,+∞)
C.f(x)为偶函数
D.f(x)在(0,1)上单调递减
10.BCD 先画出f1(x)=|x-2|,f2(x)=x2与f3(x)=|x+2|的图象,根据函数定义确定函数f(x)的图象,结合图象逐项判断即可.在同一坐标系中分别画出f1(x)=|x-2|,f2(x)=x2与f3(x)=|x+2|的图象,根据mid{x,y,z}表示x,y,z中的居中者知函数f(x)的图象(蓝线)如图:
A( )由图知,当x=±1时,f(x)取到最小值1,所以f(x)有两个最小值点.
B(√)由图知,函数f(x)的值域为[1,+∞).
C(√)由图知,函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)为偶函数.
D(√)由图知,函数f(x)在(0,1)上单调递减.
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x),则下列结论一定成立的是( )
A.f(2)=1
B.f(2 026)=0
C.(2,0)是f(x)图象的一个对称中心
D.f(3x+1)为偶函数
11.BCD A( )f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)满足f(-3x)=f(2+3x),令x=0,所以f(2)=f(0)=0.
B(√)由f(-3x)=f(2+3x),可知f(-x)=f(2+x),所以f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4),所以f(2 026)=f(4×506+2)=f(2)=0.
C(√)因为f(-x)=f(2+x),所以x=1是f(x)图象的对称轴,又(0,0)为f(x)图象的一个对称中心,所以(2,0)是f(x)图象的一个对称中心.
D(√)因为f(-x)=f(2+x),所以f(3x+1)=f(1-3x),即f(3x+1)为偶函数.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.若函数f(x)=在[-3,2]上单调递减,则k的取值范围为 .
13.函数f(x)=x3+x+-8(a∈R)在区间[m,n]上的最大值为10,则函数f(x)在区间[-n,-m]上的最小值为 .
14.已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对于任意114.(-∞,-] 函数的奇偶性、单调性综合
思路导引 先利用函数的奇偶性列出方程组,求得f(x)=x,g(x)=ax2+2,再由题设条件推得g(x1)+x1>g(x2)+x2,设h(x)=g(x)+x=ax2+x+2,可知其在区间(1,2)上单调递减,最后根据含参数a的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围.
因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于f(x)+g(x)=ax2+x+2 ①,用-x替换x,整理得f(x)-g(x)=-ax2+x-2 ②,联立①和②,解得f(x)=x,g(x)=ax2+2.1x2-x1,则g(x1)+x1>g(x2)+x2,记h(x)=g(x)+x,则h(x1)>h(x2),即h(x)=g(x)+x=ax2+x+2在区间(1,2)上单调递减,显然a≠0,y=ax2+x+2图象的对称轴为直线x=-.当a>0时,-<0,显然不符合题意;当a<0时,需使-≤1,解得a≤-.综上可得,实数a的取值范围是(-∞,-].
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)设f(x)为定义在R上的偶函数,如图是函数图象的一部分,当0≤x<2时,是线段OA;当x≥2时,图象是顶点为P(3,4),且过点(2,2)的二次函数图象的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)在[0,+∞)上的解析式;
(3)求函数f(x)的单调区间和最大值.
15.【解析】 (1)如图,根据函数为偶函数,函数的图象关于y轴对称,补充完整其图象如下:
(3分)
(2)当0≤x<2时,f(x)=x;
当x≥2时,依题设f(x)=a(x-3)2+4,
将点(2,2)代入,得a+4=2,解得a=-2,故此时f(x)=-2(x-3)2+4=-2x2+12x-14.
即函数f(x)在[0,+∞)上的解析式为
f(x)=(8分)
(3)由图知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3]和[0,3];单调递减区间为[-3,0]和[3,+∞).(10分)
函数f(x)在x=-3和x=3处取得最大值,且f(3)=f(-3)=4,所以函数f(x)的最大值为4.(13分)
16.(15分)函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=.
(1)确定f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在(-3,3)上的单调性,并用定义证明.
16.【解析】 (1)由函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数知f(0)==0,解得b=0.
经检验,当b=0时,f(x)=是(-3,3)上的奇函数,满足题意.(3分)
又f(1)==,解得a=1,
故f(x)=,x∈(-3,3).(7分)
(2)f(x)在(-3,3)上为增函数.证明如下:
在(-3,3)内任取x1,x2且x1因为x2-x1>0,9+x1x2>0,9->0,9->0,
所以f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(-3,3)上为增函数.(15分)
17.(15分)11月3日,2024北京马拉松暨全国马拉松锦标赛(第3站)在天安门广场前鸣枪起跑,共有30 000名选手参加本次比赛.人类长跑运动一般分为两个阶段,第一阶段为前1小时的稳定阶段,第二阶段为疲劳阶段.现一名体重为60 kg的马拉松运动员进行4小时长跑训练,假设其稳定阶段做速度为v1=30 km/h的匀速运动,该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1=t1×2v1(t1表示该阶段所用时间),疲劳阶段由于体力消耗过大,变为v2=30-10t2的减速运动(t2表示该阶段所用时间).疲劳阶段速度降低,体力得到一定恢复,该阶段每千克体重消耗体力ΔQ2=,已知该运动员初始体力为Q0=10 000 kJ,不考虑其他因素,所用时间为t(单位:h),请回答下列问题:
(1)请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数Q(t);
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值,最低值为多少
18.(17分)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f()且当x∈(-1,0)时,f(x)>0.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并用定义证明;
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用单调性定义证明;
(3)解不等式f(x+1)+f()>0.
18.【解析】 (1)函数f(x)是奇函数.(1分)
证明如下:
令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0,(2分)
x∈(-1,1)时,-x∈(-1,1),令y=-x,则f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.(4分)
∴f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数.(5分)
(2)函数f(x)在(-1,1)上单调递减.(6分)
证明如下:
设-1∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f().(7分)
∵-10,∴<0.
又-(-1)==>0,
∴-1<<0.(8分)
又当x∈(-1,0)时,f(x)>0,∴f()>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),(9分)
∴f(x)在(-1,1)上单调递减.(10分)
19.(17分)【探索新定义】定义:设函数f(x)的定义域为D,若存在实数m,M,对任意的实数x∈D,有f(x)≤M,则称函数f(x)为有上界函数,M是f(x)的一个上界;有f(x)≥m,则称函数f(x)为有下界函数,m是f(x)的一个下界.
(1)若函数f(x)=x2+cx-2在(0,1)上是以2为上界的有界函数,求实数c的取值范围.
(2)某同学在研究函数y=x+(b>0)的单调性时发现该函数在(0,]与[,+∞)上具有单调性,
(i)请直接写出函数y=x+(b>0)在(0,]与[,+∞)上的单调性,不必证明;
(ii)若函数g(x)=(a>0)的定义域为[4,16],m是函数g(x)的下界,请利用(i)的结论,求m的最大值m(a).
19.【解析】 (1)依题意得,对任意x∈(0,1),x2+cx-2≤2恒成立.
∴c≤-x对任意x∈(0,1)恒成立.(1分)
令h(x)=-x,显然函数h(x)=-x在(0,1)上单调递减,
∴当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=3,
∴c≤3,即实数c的取值范围为(-∞,3].(5分)
(2)(i)函数y=x+(b>0)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.(7分)
(ii)g(x)==x+(a>0).
①当≥16,即a≥128时,由(i)知g(x)在[4,16]上单调递减,
∴g(x)≥g(16)=16+,
∴m(a)=16+;(10分)
②当≤4,即0∴g(x)≥g(4)=4+,
∴m(a)=4+;(12分)
③当4<<16,即8当且仅当x=时等号成立,
∴m(a)=2.(15分)
综上所述,m(a)=
