第六单元 函数的基本性质A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025天津市耀华中学高一期中]下列函数在区间(0,1)上单调递增的是( )
A.y=1-x B.y=x2-2x
C.y=x D.y=
1.C y=1-x为R上的减函数;y=x2-2x=(x-1)2-1,在(0,1)上单调递减;y=x为R上的增函数;y=在(0,1)上单调递减.
2.[2025承德一中高一期中]已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则f(-2)=( )
A.- B.- C.3 D.-3
2.D 由题意可知f(2)=22-1=3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-3.
3.[2025东莞中学高一期中]函数f(x)=x+在[3,4]上的最小值是( )
A.4 B. C. D.5
4.B 因为x0+1>x0>0,所以结合f(x)在(0,+∞)上单调递减,则必有f(x0+1)
5.[2025南充高级中学高一月考]函数f(x)=的大致图象为( )
6.[2025银川一中高一期中]已知函数f(x)=在(m,m+1)上单调递增,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-2]∪[1,+∞)
B.[-2,1]
C.(-∞,-1]∪[2,+∞)
D.[-1,2]
6.A 作出函数f(x)的图象,由图象得到f(x)的单调递增区间,根据条件列出关于m的不等式,解不等式即可得到m的取值范围.作出函数f(x)=的图象,如图,
要使函数f(x)在(m,m+1)上单调递增,则m≥1或m+1≤-1,解得m≥1或m≤-2,∴实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[1,+∞).
7.[2025吉林四中高一月考]已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数,又g(x)=f(x+1),则g(-),g(0),g(3)的大小关系为( )
A.g(0)>g(-)>g(3)
B.g(0)>g(3)>g(-)
C.g(-)>g(0)>g(3)
D.g(3)>g(-)>g(0)
7.C 流程化思维解题 函数f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数4a+a+5=0→a=-1→f(x)=-x2-2,x∈[-4,4]→g(x)=f(x+1)=-(x+1)2-2,x∈[-5,3]→二次函数y=-(x+1)2-2的图象开口向下,对称轴为x=-1 g(-)>g(0)>g(3).
8.[2024哈尔滨三中高一寒假验收考试]设f(x)是R上的奇函数,且满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2都有<0,f(1)=0,则xf(x)<0的解集是( )
A.{x|-1B.{x|x<-1或0C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|-11}
8.C 对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2都有<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,又f(x)是R上的奇函数,且f(1)=0,所以可以画出f(x)的草图如下:
要使xf(x)<0,则x与f(x)的符号相反,由图易知,当x>1时,f(x)<0,此时xf(x)<0;当x<-1时,f(x)>0,此时xf(x)<0.故不等式xf(x)<0的解集为{x|x<-1或x>1}.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
[2024南宁三中高一期中]已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],其图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A.f(x)的单调递减区间为(0,2)
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的最小值为-1
D.f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,5)
9.ACD A(√)由图象可知,f(x)的单调递减区间为(0,2).
B( )当x=0时,f(x)max=3.
C(√)当x=2时,f(x)min=-1.
D(√)由图象可知,f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,5).
10.[2024宁波效实中学高一期中]下列函数中是偶函数并且值域为[0,+∞)的有( )
A.f(x)= B.f(x)=|x2-2|
C.f(x)=x2+-2 D.f(x)=
10.BCD A( )对于函数f(x)=,定义域为{x|x≠0},值域为(0,+∞).
B(√)对于函数f(x)=|x2-2|,定义域为R,且f(-x)=|(-x)2-2|=|x2-2|=f(x),故f(x)为偶函数,又f(x)=|x2-2|≥0,当且仅当x=±时等号成立,所以值域为[0,+∞).
C(√)对于函数f(x)=x2+-2,定义域为{x|x≠0},且f(-x)=(-x)2+-2=x2+-2=f(x),故函数f(x)为偶函数,又f(x)=x2+-2≥2-2=0,当且仅当x=±1时,等号成立,故函数f(x)的值域为[0,+∞).
D(√)对于函数f(x)=,令x2-2|x|≥0,得x=0或x≥2或x≤-2,故函数的定义域为{x|x=0或x≥2或x≤-2},关于原点对称,且f(-x)===f(x),故函数f(x)为偶函数,又f(x)==≥0,所以函数f(x)的值域为[0,+∞).
11.[2025重庆八中高一阶段测试]如图,一座小岛与海岸线上的点P距离最近,最近距离是2 km,从P点沿海岸线正东12 km处有一个城镇.假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上,再步行去城镇,驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸线处距P点的距离,d1表示他驾驶小船的行驶距离.设u=+x,v=-x,则( )
A.函数v=f(u)为增函数
B.15t-u-4v=36
C.当x=2时,此人从小岛到城镇花费的时间最少
D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间超过3 h
11.BD A( )由0≤x≤12,u=+x单调递增,可得u∈[2,2+12],v=-x==,则v=f(u)在[2,2+12]上单调递减.
B(√)t=+=+,所以15t-u-4v=5+3(12-x)-(+x)-4(-x)=(5-1-4)+36+(-3-1+4)x=36.
C( )由B可得15t=u+4v+36=u++36≥2+36=44,当且仅当u=4时,取等号,此时x+=4,即x=.
D(√)当x=4时,t=+=+,t-3=-=>0,即t>3.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025西宁二中期末]已知函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为5,则a= .
12.3 因为f(x)==a+在区间[0,1]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=a+2=5,解得a=3.
13.[2025赤峰二中高一月考]已知函数f(x)和g(x)分别是相同定义域上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x2+-2,则g(x)= .
13.- 流程化思维解题
→[f(x)-g(x)]-[f(-x)-g(-x)]=[f(x)-g(x)]-[f(x)+g(x)]=-2g(x)→-2g(x)=(x2+-2)-(x2--2)=→g(x)=-.
14.【探索创新】[2024上海市宜川中学月考]黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家黎曼发现并提出,在高等数学中被广泛应用.其定义为:R(x)=则R()= ;若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f()-f(-)= .(本题第一空2分,第二空3分)
14. ∵R(x)=
∴R()=.∵f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,∴f(2-x)=f(-x),∴f(x+2)=f(x).∵当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),故f()-f(-)=0-f(-+2)=-f()=-.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025文昌中学高一期中]已知函数f(x-1)=,且f(-1)=-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[,2]上的最值.
15.【解析】 (1)方法一 因为f(x-1)=,f(-1)=-2,
所以令x-1=-1,则x=0,所以f(-1)==-a,则-a=-2,解得a=2,(2分)
可得f(x-1)=,令t=x-1,t≠0,则x=t+1,
则f(t)===t+,t≠0,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x+(x≠0).(6分)
方法二 f(x-1)==,所以f(x)=.(2分)
又f(-1)=-2,所以=-2,解得a=2,(3分)
所以f(x)==x+,
即函数f(x)的解析式为f(x)=x+(x≠0).(6分)
(2)由(1)知f(x)=x+(x≠0),任取x1,x2∈[1,2],且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·<0,则f(x1)即函数f(x)在[1,2]上单调递增;(9分)
同理,可证f(x)在[,1]上单调递减,
故f(x)在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
又f(1)=2,f()=f(2)=.
故f(x)在[,2]上的最小值为2,最大值为.(13分)
16.(15分)[2025常州高级中学高一期中]已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(0)=4,求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
16.【解析】 (1)f(x+1)-f(x)=(x+1)2+a(x+1)+b-(x2+ax+b)=2x+1+a=2x-1,(3分)
所以1+a=-1,解得a=-2,(6分)
又f(0)=b=4,所以f(x)=x2-2x+4.(7分)
(2)f(x)的图象为抛物线,开口向上且对称轴为x=-,因为f(x)在[1,2]上不单调,
所以1<-<2 -4即实数a的取值范围为(-4,-2).(15分)
(15分)[2025东莞中学期中]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)画出f(x)在y轴右侧的图象并写出函数f(x)(x∈R)的增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)+(4-2a)x+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
18.(17分)[2025太原五中高一月考改编]已知定义在R上的函数f(x)在区间[0,3]上单调递减,且3f(1)=1. x,y∈R,f(x-y)=3f(x)f(y)-f(x+y).
(1)证明:f(x)≥-;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(3)当x∈[-3,3]时,求不等式f(2x)≤3f(x)-4f(1)的解集.
18.【解析】 (1)令x=y=,则有f(t)+f(0)=3f()·f()=3[f()]2,(1分)
由[f()]2≥0,
得f(t)+f(0)≥0,
即f(t)≥-f(0),所以f(x)≥-f(0).(2分)
令x=1,y=0,则f(1)=3f(1)f(0)-f(1),
【关键提醒】也可以令x=y=0,但得到f(0)的增解需注意排除.
即2f(1)=3f(1)f(0),
因为f(1)=,所以f(0)=,(4分)
所以f(x)≥-.(5分)
(2)函数f(x)为偶函数.(6分)
证明如下:
由(1)知,f(0)=,
取x=0,
【关键提醒】观察等式f(x-y)=3f(x)f(y)-f(x+y)与奇偶性的自变量互为相反数,故只需令x=0.
则f(-y)=3f(0)f(y)-f(0+y),(8分)
所以f(-y)=3×f(y)-f(y),
所以f(-y)=f(y),
所以函数f(x)为偶函数.(11分)
(3)令x=y=m,
【指点迷津】用赋值法,将f(2x)转化为[f(x)]2,从而把不等式转化为关于f(x)的一元二次不等式.
则f(0)=3f(m)f(m)-f(2m),
所以f(2m)=3[f(m)]2-,所以f(2x)=3[f(x)]2-.(12分)
因为f(2x)≤3f(x)-4f(1),所以3[f(x)]2-≤3f(x)-,
所以9[f(x)]2-9f(x)+2≤0,即[3f(x)-2][3f(x)-1]≤0,
即≤f(x)≤,
又f(1)=,f(0)=,
所以f(1)≤f(x)≤f(0).(14分)
当x∈[-3,3]时,因为f(x)在区间[0,3]上单调递减,且由(2)知函数f(x)为偶函数,所以f(x)在[-3,0]上单调递增,
所以f(1)≤f(|x|)≤f(0),所以|x|≤1,解得-1≤x≤1.
【突破瓶颈】f(x)在区间[0,3]上单调递减,在区间[-3,0]上单调递增,利用绝对值,可避开分类讨论.
所以当x∈[-3,3]时,不等式f(2x)≤3f(x)-4f(1)的解集为[-1,1].(17分)
19.(17分)【教材变式】[2025枣庄八中诊断]已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=φ(a+x)-b是奇函数,给定函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性(只写出结论即可);
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m,若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围.
19.【解析】 (1)方法一 设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),则由题意得f(a+x)+f(a-x)-2b=0,(1分)
即(x+a)-+(-x+a)--2b=0,
整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1),
可得解得a=b=-1,
所以f(x)图象的对称中心为(-1,-1).(4分)
方法二 设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),
因为f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以a=-1.(1分)
则由题意可知y=f(x-1)-b为奇函数,
设φ(x)=f(x-1)-b=x-1--b,
则φ(1)+φ(-1)=0,即1-1-6-b-1-1+6-b=0,解得b=-1.
则φ(x)=x-,经检验φ(x)是奇函数,所以b=-1.(3分)
所以函数f(x)图象的对称中心为(-1,-1).(4分)
(2)函数f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增.(6分)
(证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=x1-],
因为x1,x2∈(0,+∞)且x10,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增.)
(3)由对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),
可得函数g(x)在[0,2]上的值域为f(x)在[1,5]上的值域的子集.
由(2)知f(x)在[1,5]上单调递增,故f(x)在[1,5]上的值域为[-2,4],
所以原问题转化为g(x)在[0,2]上的值域A [-2,4].(8分)
当≤0,即m≤0时,g(x)在[0,1]上单调递增,
又g(1)=1,所以函数g(x)=x2-mx+m的图象恒过对称中心(1,1),
所以g(x)在(1,2]上也单调递增,故g(x)在[0,2]上单调递增,
又因为g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-m,故A=[m,2-m],
因为[m,2-m] [-2,4],所以所以-2≤m≤0;(10分)
当0<<1,即0因为g(x)的图象过对称中心(1,1),所以g(x)在(1,2-)上单调递增,在(2-,2]上单调递减,
故A=[min{g(2),g()},max{g(0),g(2-)}],
欲使A [-2,4],
只需
且
解得2-2≤m≤4,又因为0当≥1,即m≥2时,g(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减,
所以g(x)在[0,2]上单调递减,所以A=[2-m,m],
因为[2-m,m] [-2,4],所以所以2≤m≤4.(16分)
综上可得,实数m的取值范围是[-2,4].(17分)第六单元 函数的基本性质A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025天津市耀华中学高一期中]下列函数在区间(0,1)上单调递增的是( )
A.y=1-x B.y=x2-2x
C.y=x D.y=
2.[2025承德一中高一期中]已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则f(-2)=( )
A.- B.- C.3 D.-3
3.[2025东莞中学高一期中]函数f(x)=x+在[3,4]上的最小值是( )
A.4 B. C. D.5
4.[2024深圳中学适应性考试]已知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且x0>0,则下列结论中一定成立的是( )
A.f(x0+1)>f(x0) B.f(x0+1)C.f(x0-1)>f(x0) D.f(x0-1)5.[2025南充高级中学高一月考]函数f(x)=的大致图象为( )
6.[2025银川一中高一期中]已知函数f(x)=在(m,m+1)上单调递增,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-2]∪[1,+∞)
B.[-2,1]
C.(-∞,-1]∪[2,+∞)
D.[-1,2]
7.[2025吉林四中高一月考]已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数,又g(x)=f(x+1),则g(-),g(0),g(3)的大小关系为( )
A.g(0)>g(-)>g(3)
B.g(0)>g(3)>g(-)
C.g(-)>g(0)>g(3)
D.g(3)>g(-)>g(0)
8.[2024哈尔滨三中高一寒假验收考试]设f(x)是R上的奇函数,且满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2都有<0,f(1)=0,则xf(x)<0的解集是( )
A.{x|-1B.{x|x<-1或0C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|-11}
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
[2024南宁三中高一期中]已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],其图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A.f(x)的单调递减区间为(0,2)
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的最小值为-1
D.f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,5)
10.[2024宁波效实中学高一期中]下列函数中是偶函数并且值域为[0,+∞)的有( )
A.f(x)= B.f(x)=|x2-2|
C.f(x)=x2+-2 D.f(x)=
11.[2025重庆八中高一阶段测试]如图,一座小岛与海岸线上的点P距离最近,最近距离是2 km,从P点沿海岸线正东12 km处有一个城镇.假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上,再步行去城镇,驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸线处距P点的距离,d1表示他驾驶小船的行驶距离.设u=+x,v=-x,则( )
A.函数v=f(u)为增函数
B.15t-u-4v=36
C.当x=2时,此人从小岛到城镇花费的时间最少
D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间超过3 h
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025西宁二中期末]已知函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为5,则a= .
13.[2025赤峰二中高一月考]已知函数f(x)和g(x)分别是相同定义域上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x2+-2,则g(x)= .
14.【探索创新】[2024上海市宜川中学月考]黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家黎曼发现并提出,在高等数学中被广泛应用.其定义为:R(x)=则R()= ;若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f()-f(-)= .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025文昌中学高一期中]已知函数f(x-1)=,且f(-1)=-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[,2]上的最值.
16.(15分)[2025常州高级中学高一期中]已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(0)=4,求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
(15分)[2025东莞中学期中]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)画出f(x)在y轴右侧的图象并写出函数f(x)(x∈R)的增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)+(4-2a)x+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
18.(17分)[2025太原五中高一月考改编]已知定义在R上的函数f(x)在区间[0,3]上单调递减,且3f(1)=1. x,y∈R,f(x-y)=3f(x)f(y)-f(x+y).
(1)证明:f(x)≥-;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(3)当x∈[-3,3]时,求不等式f(2x)≤3f(x)-4f(1)的解集.
19.(17分)【教材变式】[2025枣庄八中诊断]已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=φ(a+x)-b是奇函数,给定函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性(只写出结论即可);
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m,若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围.
