第二单元 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024长沙市德成学校高一月考]下列命题中是存在量词命题的是( )
A.有些自然数是13的约数
B.正方形是菱形
C.能被6整除的数也能被3整除
D. x∈R,|x|≤0
2.[2025枣庄八中高一期末]命题“ x∈R,x2-3x+4<0”的否定是( )
A. x R,x2-3x+4≥0
B. x∈R,x2-3x+4>0
C. x∈R,x2-3x+4≥0
D. x R,x2-3x+4≥0
3.[2025梅州东山中学高一期末]“x>0”是“x+2>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2025杭州二中、杭州学军中学等校高一联考]设a,b,c分别是△ABC的三条边,则“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2025郑州中学高一月考]下列命题中为真命题的是( )
A. x∈Q,x2∈Z
B. x∈R,x2+1<0
C. x∈R,|x|>3
D. x∈Z,3x+1是整数
6.[2025绥化一中高一月考]元末明初小说家罗贯中的作品《三国演义》第49回有以下内容“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.[2025江西师大附中高一月考]下列选项中,使|x-1|<2成立的一个必要不充分条件是( )
A.-1
C.08.[2025华中师大一附中高一月考]已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<3} B.{a|0≤a<3}
C.{a|0选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025宜春中学高一段考]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的充要条件,q是s的必要条件,则( )
A.q是s的充要条件
B.p是s的充分不必要条件
C.q是s的充分不必要条件
D.p是s的充要条件
10.【学科综合】[2025贵阳一中高一月考] 设计如图所示的四个电路图,p:“开关S闭合”,q:“灯泡L亮”,则p是q的充要条件的电路图是( )
11.【探索新定义】[2025东北师大附中高一阶段考试]用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=已知集合A={x|x2+x=0},B={x|(x2+ax)(x2+ax+1)=0},则下面结论正确的是( )
A. a∈R,C(B)=3
B. a∈R,C(B)≥2
C.“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件
D.若S={a∈R|A*B=1},则C(S)=4
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【开放创新】[2024景德镇一中高一期中改编]写出使命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题的实数a的一个值: .
13.[2025上海同济大学一附中月考]对于实数x,y,“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
14.[石家庄二中高一期中]已知条件p:条件q:1-m≤x≤1+m(m≥0),条件r:1-t四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025云南师大附中高一质量监测]写出下列命题的否定,并判断该命题否定的真假:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)非负数的平方是正数;
(3)有的四边形没有外接圆;
(4) x,y∈Z,使得x+y=5.
16.(15分)[2025合肥六中高一月考改编]已知p:-2≤x≤6,q:m≤x≤m+1.
(1)若m=2,那么p是q的什么条件;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
17.(15分)[2025贵阳六中、思南中学等校高一联考]已知命题p: x∈R,使得x2-12x+4n2=0,当命题p为真命题时,实数n的取值集合为A.
(1)求集合A;
(2)设非空集合B={a|3m≤a+2≤m+1},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数m的取值范围.
18.(17分)[2025青海湟川中学高一月考]已知集合A={x|1(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若命题“ x∈B,都有x∈A”是真命题,求实数m的取值范围;
(3)若命题“ x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围.
19.(17分)[2024新余一中高一开学考试]记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M,其中a,b∈R.
(1)求M恰有3个元素的充要条件;
(2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.第二单元 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024长沙市德成学校高一月考]下列命题中是存在量词命题的是( )
A.有些自然数是13的约数
B.正方形是菱形
C.能被6整除的数也能被3整除
D. x∈R,|x|≤0
1.A 有些自然数是13的约数,“有些”是存在量词,故A符合题意.
2.[2025枣庄八中高一期末]命题“ x∈R,x2-3x+4<0”的否定是( )
A. x R,x2-3x+4≥0
B. x∈R,x2-3x+4>0
C. x∈R,x2-3x+4≥0
D. x R,x2-3x+4≥0
2.C 全称量词命题的否定,先将“ ”改为“ ”,再否定结论.可得命题“ x∈R,x2-3x+4<0”的否定为“ x∈R,x2-3x+4≥0”.
3.[2025梅州东山中学高一期末]“x>0”是“x+2>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.A 方法一 解不等式x+2>1可得x>-1,因为x>0 x>-1,但x>-1 x>0,所以“x>0”是“x+2>1”的充分不必要条件.
方法二 解不等式x+2>1可得x>-1,因为{x|x>0} {x|x>-1},所以“x>0”是“x+2>1”的充分不必要条件.
4.[2025杭州二中、杭州学军中学等校高一联考]设a,b,c分别是△ABC的三条边,则“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.B 当a=5,b=4,c=3时,易知△ABC是直角三角形,但a2+b2≠c2,所以充分性不成立;根据勾股定理逆定理,由a2+b2=c2,可得△ABC是直角三角形,所以必要性成立.所以“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的必要不充分条件.
5.[2025郑州中学高一月考]下列命题中为真命题的是( )
A. x∈Q,x2∈Z
B. x∈R,x2+1<0
C. x∈R,|x|>3
D. x∈Z,3x+1是整数
5.D 列表【解析】直观解疑惑
6.[2025绥化一中高一月考]元末明初小说家罗贯中的作品《三国演义》第49回有以下内容“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.B “东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件,但不是充分条件.
7.[2025江西师大附中高一月考]下列选项中,使|x-1|<2成立的一个必要不充分条件是( )
A.-1C.07.B 必要不充分条件
解题路线 你能区分条件p与结论q吗 →p:选项,q:|x-1|<2→p是q的必要不充分条件告诉了你什么 不等式|x-1|<2的解集是选项构成的集合的真子集→判断.
由不等式|x-1|<2解得-1A( )-1B(√){x|-1C( ){x|0D( ){x|08.[2025华中师大一附中高一月考]已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<3} B.{a|0≤a<3}
C.{a|08.A 由“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题得“ m∈R,A∩B= ”为真命题,进而分A= 和A≠ 两种情况讨论求解即可.因为命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,所以命题“ m∈R,A∩B= ”为真命题.集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},当A={x|0≤x≤a}= 时,a<0,A∩B= 成立;当A={x|0≤x≤a}≠ 时,由“ m∈R,A∩B= ”得解得0≤a<3(提示:m2+3≥3).综上所述,实数a的取值范围为{a|a<3}.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025宜春中学高一段考]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的充要条件,q是s的必要条件,则( )
A.q是s的充要条件
B.p是s的充分不必要条件
C.q是s的充分不必要条件
D.p是s的充要条件
9.AB A(√)B(√)C( )D( )因为p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,所以p r,r p,q r.因为s是r的充要条件,所以s r.因为q是s的必要条件,所以s q.综上可得,q r s q,p r s,但s r p,即q是s的充要条件,p是s的充分不必要条件.
10.【学科综合】[2025贵阳一中高一月考] 设计如图所示的四个电路图,p:“开关S闭合”,q:“灯泡L亮”,则p是q的充要条件的电路图是( )
10.BD A( )A中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件.
B(√)B中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件.
C( )C中电路图,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件.
D(√)D中电路图,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件.
11.【探索新定义】[2025东北师大附中高一阶段考试]用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=已知集合A={x|x2+x=0},B={x|(x2+ax)(x2+ax+1)=0},则下面结论正确的是( )
A. a∈R,C(B)=3
B. a∈R,C(B)≥2
C.“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件
D.若S={a∈R|A*B=1},则C(S)=4
11.AC A(√)当a=2时,B={0,-2,-1},此时C(B)=3.
B( )当a=0时,B={0},此时C(B)=1.
C(√)当a=0时,由B知C(B)=1,而A={0,-1},C(A)=2,因此A*B=1,充分性成立.当A*B=1时,因为C(A)=2,所以C(B)=1或3,若C(B)=1,则解得a=0;若C(B)=3,因为方程x2+ax=0的两个根x1=0,x2=-a都不是方程x2+ax+1=0的根,所以x2+ax+1=0有两个相等实根,则a2-4=0,解得a=±2,必要性不成立.因此“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件.
D( )由C知当A*B=1时,a=0或a=±2,因此S={0,2,-2},C(S)=3.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【开放创新】[2024景德镇一中高一期中改编]写出使命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题的实数a的一个值: .
12.1(答案不唯一,满足a>即可) 由题意,“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题,则Δ=(-3)2-4×9a<0,解得a>.故a的一个值可以为1.
13.[2025上海同济大学一附中月考]对于实数x,y,“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
13.充分不必要 由x2+y2<1,可得x2<1且y2<1,所以|x|<1且|y|<1,所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分条件;x=y=满足|x|<1且|y|<1,但x2+y2=1,所以“x2+y2<1”不是“|x|<1且|y|<1”的必要条件.所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分不必要条件.
14.[石家庄二中高一期中]已知条件p:条件q:1-m≤x≤1+m(m≥0),条件r:1-t14.2 {m|0≤m<2} 由条件p可得-1四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025云南师大附中高一质量监测]写出下列命题的否定,并判断该命题否定的真假:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)非负数的平方是正数;
(3)有的四边形没有外接圆;
(4) x,y∈Z,使得x+y=5.
15.【解析】 (1)原命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”,(2分)
由平行四边形的定义知原命题的否定是假命题.(3分)
(2)原命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”(原命题省略了全称量词“所有”,若没有察觉到这点容易只把结论中的“是”改为“不是”,从而致错),(5分)
因为02=0,不是正数,所以原命题的否定是真命题.(6分)
16.(15分)[2025合肥六中高一月考改编]已知p:-2≤x≤6,q:m≤x≤m+1.
(1)若m=2,那么p是q的什么条件;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
16.【解析】 (1)当m=2时,q:2≤x≤3,(2分)
显然{x|2≤x≤3}是{x|-2≤x≤6}的真子集,所以p是q的必要不充分条件(注:必要条件也正确).(7分)
(2)若p是q的必要不充分条件,则{x|m≤x≤m+1}是{x|-2≤x≤6}的真子集,(10分)
则有或解得-2≤m≤5,
故实数m的取值范围为{m|-2≤m≤5}.(15分)
17.(15分)[2025贵阳六中、思南中学等校高一联考]已知命题p: x∈R,使得x2-12x+4n2=0,当命题p为真命题时,实数n的取值集合为A.
(1)求集合A;
(2)设非空集合B={a|3m≤a+2≤m+1},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数m的取值范围.
17.【解析】 (1)由题意可得方程x2-12x+4n2=0有解,(2分)
所以Δ=(-12)2-4×4n2≥0,即n2≤9,(5分)
解得-3≤n≤3,
所以A={n|-3≤n≤3}.(7分)
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A,(9分)
又因为B为非空集合,且B={a|3m-2≤a≤m-1},
所以解得-≤m≤,
所以实数m的取值范围为{m|-≤m≤}.(15分)
18.(17分)[2025青海湟川中学高一月考]已知集合A={x|1(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若命题“ x∈B,都有x∈A”是真命题,求实数m的取值范围;
(3)若命题“ x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围.
18.【解析】 (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A是B的真子集,(2分)
所以解得m≤-2,(4分)
所以实数m的取值范围为{m|m≤-2}.(5分)
(2)第一步:由已知条件得集合A,B的关系
若命题“ x∈B,都有x∈A”是真命题,则B是A的子集.(7分)
第二步:分B= ,B≠ 求解
当B= 时,满足B A,此时2m≥1-m,得m≥;(8分)
当B≠ 时,若B A,则不等式组无解.(9分)
第三步:得结论
综上,实数m的取值范围为{m|m≥}.(10分)
(3)方法一 “ x∈A,x∈B”是真命题,则A∩B≠ ,所以B≠ ,所以m<.(13分)
所以解得m<0,
所以实数m的取值范围为{m|m<0}.(17分)
方法二 “ x∈A,x∈B”是真命题,则A∩B≠ .(12分)
当A∩B= 时,
若B= ,则m≥;
若B≠ ,则或解得0≤m<.
综上,当A∩B= 时,m≥0.
所以当A∩B≠ 时,m<0,即实数m的取值范围为{m|m<0}.(17分)
19.(17分)[2024新余一中高一开学考试]记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M,其中a,b∈R.
(1)求M恰有3个元素的充要条件;
(2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.
19.【解析】 (1)原方程等价于x2+ax+b=2或x2+ax+b=-2,
即x2+ax+b-2=0或x2+ax+b+2=0,
由于Δ1=a2-4b+8>a2-4b-8=Δ2,
所以当Δ2=0时,M恰有3个元素,即M恰有3个元素的充要条件是a2-4b=8.(8分)
(2)必要性:由(1)知,方程x2+ax+-4=0或x2+ax+=0,
两个方程的三个根分别为--2,-+2,-,
若它们是直角三角形的三边长,则(-)2+(--2)2=(-+2)2,且--2>0,
解得a=-16,b=62.(14分)
充分性:若a=-16,b=62,可解得M={6,8,10},以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形.
所以a=-16,b=62为所求的充要条件.(17分)
