第八单元指数、指数函数B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.已知a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )
A.a-1 B. C. D.
2.已知函数f(x)=-2ax+1-2(a>0且a≠1)的图象经过定点P(m,n),则m+n=( )
A.-1 B.-4
C.-5 D.3
3.已知函数f(x)=ax+1(a>0,且a≠1),若f(x)在[0,1]上的最大值为M,最小值为N,且M-N=,则实数a的值为( )
A. B.2或 C. D.或
4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b
C.c5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x·2|x|
6.【情境创新】德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=Ip·t,其中p为Peukert常数,不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池,第一块蓄电池的容量为C1,Peukert常数为p1;第二块蓄电池的容量为C2,Peukert常数为p2.第一块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h;第二块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t= h,则( )
A.p1>p2,C1>C2 B.p1C2
C.p1>p2,C17.【模块综合】已知幂函数f(x)的图象过点(,4),函数g(x)=则“ x1≠x2,<0”的一个必要不充分条件为( )
A.a∈(-,0) B.a∈[-,0)
C.a∈(-,0) D.a∈(0,]
8.已知实数a,b∈(0,3),且满足a2-b2-9=-3a-6b,则a2+2b的最小值为( )
A.6 B. C. D.5
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.若实数x1,x2,x3满足==,则下列不等关系可能成立的是( )
A.x1C.x310.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,g(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)+g(x)=2ex(其中e为常数,e≈2.718).函数F(x)=f(2x)-2mf(x)在[0,+∞)上的最小值为-11,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=ex+e-x
B.g(x)在R上单调递减
C.m=3
D.m=-3或
11.设常数a∈R,函数f(x)=32-x-3x-x+a,则( )
A.函数f(x)在R上单调递减
B.当a=1时,y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C.对任意a∈R,y=f(x)的图象是中心对称图形
D.若f(m)+f(n)>2a-2,则m+n<2
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.已知函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,则f(-2)= .
13.已知函数f(x)=,用[x]表示不超过x的最大整数,则[f(-1)]= ,函数y=[f(x)]的值域为 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.已知f(x)=(m2-2m-2)·mx+n-9(m>0且m≠1)是指数函数,若“ x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【教材变式】(1)计算:++(-0.52+(-1)0;
(2)已知25m=4,25n=7,求的值;
(3)已知-=1,求的值.
16.(15分)已知函数f(x)=a·2x+b的图象过点(0,2),且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=在平面直角坐标系中画出y=g(x)的图象,并根据图象写出该函数的单调递增区间.
17.(15分)已知函数f(x)=(.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈(-1,1)时,f(1-m)>f(2m),求m的取值范围.
18.(17分)设函数f(x)=,a∈R.
(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(2)若a=1,求f(x)的值域.
19.(17分)【探索新定义】已知函数f(x)=a-,其中a∈R.
(1)判断并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(2)我们知道,函数y=g(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=g(x+m)-n为奇函数,据此,证明:y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称;
(3)把集合{x∈I|φ(x)（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.已知a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )
A.a-1 B. C. D.
1.B 由于a>0,则=====(将根式化为分数指数幂形式,再进行指数运算).
2.已知函数f(x)=-2ax+1-2(a>0且a≠1)的图象经过定点P(m,n),则m+n=( )
A.-1 B.-4
C.-5 D.3
2.C 令x+1=0,得x=-1,此时f(-1)=-2a0-2=-4,所以定点P的坐标为(-1,-4),即m=-1,n=-4,所以m+n=-5.
3.已知函数f(x)=ax+1(a>0,且a≠1),若f(x)在[0,1]上的最大值为M,最小值为N,且M-N=,则实数a的值为( )
A. B.2或 C. D.或
3.D 由a的范围讨论单调性,确定最值即可求解.当a>1时,f(x)=ax+1单调递增,此时M=a2,N=a,所以M-N=a2-a=,解得a=;当04.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.c4.A ∵a==>=b,c==>=a,∴b5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x·2|x|
5.B 由f(x)的图象关于原点对称,可知f(x)为奇函数,对于A,f(-x)===f(x),为偶函数,排除A;对于C,f(x)=,为非奇非偶函数,排除C.由题图可知,f(x)在区间(0,+∞)上不单调,对于D,易知f(x)=x·2|x|在区间(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B.
6.【情境创新】德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=Ip·t,其中p为Peukert常数,不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池,第一块蓄电池的容量为C1,Peukert常数为p1;第二块蓄电池的容量为C2,Peukert常数为p2.第一块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h;第二块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t= h,则( )
A.p1>p2,C1>C2 B.p1C2
C.p1>p2,C16.D 根据条件,列出关于p1,p2,C1,C2的关系式,根据指数函数的单调性,判断它们的大小关系.由题意,得C1=×20=×10,所以(=;C2=×20=×,所以(=.因为指数函数y=()x在(-∞,+∞)上单调递减,且>,所以p17.【模块综合】已知幂函数f(x)的图象过点(,4),函数g(x)=则“ x1≠x2,<0”的一个必要不充分条件为( )
A.a∈(-,0) B.a∈[-,0)
C.a∈(-,0) D.a∈(0,]
7.C 根据幂函数图象过点(,4),求出f(x),得到g(x)的解析式,并根据条件得到g(x)在R上单调递减时a的取值范围,最后根据必要不充分条件的含义得答案.设幂函数f(x)=xα,因为其图象过点(,4),所以f()=()α=4,解得α=-2,所以f(x)=,所以g(x)=若g(x)满足 x1≠x2,<0,则g(x)在R上单调递减,所以(易错：已知分段函数单调递减求参数范围,除了要保证每一段函数在对应定义域上单调递减,还要注意连接点处左端的值要大于等于右端的值),所以a的取值范围是[-,0).又[-,0) (-,0),所以a∈(-,0)为一个必要不充分条件(若p是q的必要不充分条件,则q p,但pq).
8.已知实数a,b∈(0,3),且满足a2-b2-9=-3a-6b,则a2+2b的最小值为( )
A.6 B. C. D.5
8.D 由题意可得a2+3a=33-b+(3-b)2,构造函数f(x)=x2+3x,结合函数f(x)在(0,3)上的单调性可得a=3-b,即可得a2+2b=(a-1)2+5,即可得解.由a2-b2-9=-3a-6b可得a2+3a=+b2-6b+9=33-b+(3-b)2.由a,b∈(0,3),得3-b∈(0,3),令f(x)=x2+3x(对等式适当变形,构造函数),则f(x)在(0,3)上单调递增,又f(a)=f(3-b),故a=3-b,则a2+2b=a2+2(3-a)=a2-2a+6=(a-1)2+5≥5,当且仅当a=1时,等号成立,故a2+2b的最小值为5.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.若实数x1,x2,x3满足==,则下列不等关系可能成立的是( )
A.x1C.x39.ABC 如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=的图象,再作直线y=m,
变换m的值发现,x1,x2,x3的大小关系可能为x310.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,g(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)+g(x)=2ex(其中e为常数,e≈2.718).函数F(x)=f(2x)-2mf(x)在[0,+∞)上的最小值为-11,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=ex+e-x
B.g(x)在R上单调递减
C.m=3
D.m=-3或
10.AC A(√)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),因为f(x)+g(x)=2ex ①,所以f(-x)+g(-x)=2e-x,即f(x)-g(x)=2e-x ②,由①②得,f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x.B( )因为函数y=ex,y=-e-x在R上均为增函数,故g(x)=ex-e-x在R上单调递增.C(√)D( )因为f(2x)=e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2,所以F(x)=(ex+e-x)2-2m(ex+e-x)-2,又f(x)=ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时等号成立,所以t=ex+e-x∈[2,+∞),设h(t)=t2-2mt-2=(t-m)2-m2-2(t≥2),当m>2时,函数h(t)在[2,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(m)=-m2-2=-11,解得m=3或m=-3(舍去);当m≤2时,h(t)在[2,+∞)上单调递增,h(t)min=h(2)=2-4m=-11,解得m=>2,不符合题意.综上,m=3.
11.设常数a∈R,函数f(x)=32-x-3x-x+a,则( )
A.函数f(x)在R上单调递减
B.当a=1时,y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C.对任意a∈R,y=f(x)的图象是中心对称图形
D.若f(m)+f(n)>2a-2,则m+n<2
11.ACD 列表解析直观解疑惑
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.已知函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,则f(-2)= .
12. 由函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,得f(x)-f(-x)=0恒成立,即a·2x+21-x-a·2-x-21+x=0恒成立,即(a-2)(2x-2-x)=0恒成立,又2x-2-x不恒为0,所以a=2.f(-2)=2·2-2+23=.
13.已知函数f(x)=,用[x]表示不超过x的最大整数,则[f(-1)]= ,函数y=[f(x)]的值域为 .(本题第一空2分,第二空3分)
13.1 {0,1,2} f(-1)==,则[f(-1)]=1.因为f(x)==×=×=(1+),2 025x+1+1>1,所以0<<1,f(x)=(1+)∈(,3),若f(x)∈(,1),则[f(x)]=0,若f(x)∈[1,2),则[f(x)]=1,若f(x)∈[2,3),则[f(x)]=2,故函数y=[f(x)]的值域为{0,1,2}.
14.已知f(x)=(m2-2m-2)·mx+n-9(m>0且m≠1)是指数函数,若“ x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则实数a的取值范围是 .
14.() 由指数函数定义得又m>0且m≠1,所以m=3,n=9,则f(x)=3x.“ x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则“ x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)>[f(ax)]2恒成立”为真命题.注意到[f(x)]2=f(2x),所以可转化为不等式f(-x-2a2)>f(2ax)在[-1-a,a-2]上恒成立.又f(x)=3x在R上单调递增,所以-x-2a2>2ax(利用单调性脱掉“f”),即(2a+1)x+2a2<0在[-1-a,a-2]上恒成立.设函数g(x)=(2a+1)x+2a2,x∈[-1-a,a-2],由a-2>-1-a,得a>,所以g(x)单调递增,所以g(x)max<0,即(2a+1)(a-2)+2a2<0 4a2-3a-2<0,解得四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【教材变式】(1)计算:++(-0.52+(-1)0;
(2)已知25m=4,25n=7,求的值;
(3)已知-=1,求的值.
15.【解析】 (1)原式=π-3+2+[()3-+1=π+()-2-=π+2.(4分)
(2)∵25m=4,25n=7,
∴====.(8分)
(3)由于-=1,则a+a-1=(-)2+2=3,
a2+a-2=(a+a-1)2-2=7,-=(-)(a+1+a-1)=4,
所以=.(13分)
16.(15分)已知函数f(x)=a·2x+b的图象过点(0,2),且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=在平面直角坐标系中画出y=g(x)的图象,并根据图象写出该函数的单调递增区间.
16.【解析】 (1)当x无限减小时,2x无限接近0,但不会等于0,
由题设,因为f(x)=a·2x+b的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,
所以b=1.(5分)
由f(0)=2,得a+1=2,解得a=1,故f(x)=2x+1.(7分)
(2)由(1)知g(x)=
图象如下:
(13分)
由图象可得该函数的单调递增区间为(-∞,0].(15分)
17.(15分)已知函数f(x)=(.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈(-1,1)时,f(1-m)>f(2m),求m的取值范围.
17.【解析】 (1)函数f(x)=(,
设t=|x2-3|,则g(t)=()t,
∵t=|x2-3|=
∴t=|x2-3|在区间[-,0]和[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-]和[0,]上单调递减,(4分)
又g(t)=()t在R上单调递减,
18.(17分)设函数f(x)=,a∈R.
(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(2)若a=1,求f(x)的值域.
18.【解析】 (1)f(x)的定义域为R,即9x-a·3x+1≠0对于x∈R恒成立,(1分)
令t=3x(t>0),则t2-a·t+1≠0,即a≠t+对于t>0恒成立,(3分)
由对勾函数的性质可知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以a<(t+)min,又t+≥2=2,当且仅当t=1时等号成立,
所以a<2,
即a的取值范围为(-∞,2).(7分)
(2)当a=1时,f(x)==.(8分)
令t=3x(t>0),则g(t)==1+,
令m=t-2(m>-2),则h(m)=1+=1+(m>-2).(11分)
①当m=0时,h(m)=1;(12分)
②当m≠0时,h(m)=1+,
因为m∈(-2,+∞),所以由对勾函数的性质可得m++3∈(-∞,3-2]∪[3+2,+∞),
所以∈[,0)∪(0,],
即∈[--1,0)∪(0,-1],
所以h(m)=1+∈[-,1)∪(1,].(16分)
综上,f(x)的值域为[-,].(17分)
19.(17分)【探索新定义】已知函数f(x)=a-,其中a∈R.
(1)判断并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(2)我们知道,函数y=g(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=g(x+m)-n为奇函数,据此,证明:y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称;
(3)把集合{x∈I|φ(x)19.【解析】 (1)f(x)在(1,+∞)上单调递增.(1分)
证明如下:
x1,x2∈(1,+∞),且1有f(x2)-f(x1)=(a-)-(a-)
=-
=.(3分)
因为10,-1>0,-1>0.
故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.(4分)
(2)第一步:先求函数f(x)的定义域
函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).(5分)
第二步:令p(x)=f(x+1)-a-1,并化简
令p(x)=f(x+1)-a-1=.(6分)
第三步:判断p(x)的奇偶性
p(x)的定义域为{x|x≠0},
且p(-x)==-=-p(x),
所以p(x)=f(x+1)-a-1为奇函数.(9分)
第四步:得证
所以y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称.(10分)
(3)问题可转化为判断是否存在a,使a-假设存在a,使得y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集,
则不等式f(x)所以a-令t=2x(0即a(t-2)-4>a2t(t-2),
整理得a2t2-a(2a+1)t+(2a+4)<0.(12分)
设函数h(t)=a2t2-a(2a+1)t+(2a+4),则h(t)<0在(0,1)上有解.
若a=0,则h(t)=4>0,不合题意,所以a≠0,a2>0,所以y=h(t)的图象所在抛物线开口向上.
又因为h(t)<0有解,所以Δ=a2(2a+1)2-4a2(2a+4)>0,
化简得(2a+3)(2a-5)>0,解得a<-或a>.(13分)
①当a<-时,y=h(t)的图象所在抛物线的对称轴t==1+∈(,1).
所以h(t)<0在(0,1)内恒有解.(14分)
②当a>时,y=h(t)的图象所在抛物线的对称轴t==1+∈(1,).
要使h(t)<0在(0,1)内有解,则h(1)=-a2+a+4<0,
解得a<或a>.
又a>,所以a>.(16分)
综上,存在常数a,使y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集,a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(17分)
