第八单元指数、指数函数A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025石家庄实验中学高一月考]化简:+=( )
A.1 B.-1 C.7-2π D.2π-7
2.[2024呼和浩特二中高一下开学考试]当a>0且a≠1时,f(x)=a|x-2|+5的图象恒过点( )
A.(2,5) B.(3,5) C.(2,6) D.(3,6)
3.[西安铁一中高一期中]设f(x)=则f(f())的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
4.[2025山西大学附中高一期中]函数y=的定义域是( )
A.[-2,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
5.[2025成都外国语学校高一期末]若正实数a,b满足a≠b,则函数f(x)=()x与函数g(x)=ax2+bx的图象可能是( )
6.[2023天津卷]若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
7.【情境创新】[2025重庆一中期中]某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律,根据实验数据可知,在相同条件下,这种植物每天以a%的增长率生长,8天后,该植物的长度是原来的倍,则24天后该植物的长度是原来的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
8.[2025河南省周口市期末]已知函数f(x)=a()|x|+b的图象过原点,且无限接近于直线y=3但又不与该直线相交,当x≥0时,函数g(x)=f(x)-3x+1有( )
A.最小值-3 B.最大值-3
C.最小值-2 D.最大值-2
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025合肥六中高一期中]设a>0,则下列运算正确的是( )
A.=a B.=
C.=a4 D.=
10.[2025深圳实验学校高一阶段测试]已知函数f(x)=5x-1,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的值域为(-1,+∞)
B.f(x+1)>4的解集为(1,+∞)
C.f(x)的图象与y=()x-1的图象关于y轴对称
D.若g(x)=10x-1,且f(a)=g(b)(a,b均不为0),则a>b
11.[2025西安高新一中高一期末]已知函数f(x)=(+b,则下列叙述正确的是( )
A.当a=0,b=1时,函数f(x)的图象过点(,2)
B.当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞)
C.当a=b=1时,函数f(x)的值域为(1,3]
D.当b=0时,若函数f(x)有最大值2,则a=1
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【开放创新】[2024潍坊一中高一期末]已知定义在R上的函数f(x)满足以下两个条件:①对任意x1,x2恒有f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f(x)在R上单调递减.则满足上述条件的一个函数f(x)= .(写出一个即可)
13.[信阳高级中学高一阶段测试]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=4x+3x+b(b为常数),则f(x)在[-3,-1]上的最大值为 .
14.【探索新定义】[2025福州一中高一模块考试]设函数y=f(x)和y=f(-x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相同,则把区间[m,n]叫做y=f(x)的“稳定区间”,已知区间[1,2 026]为函数y=|()x+a|的“稳定区间”,则实数a的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【教材变式】[2024南昌二中高一月考]回答下列问题:
(1)计算:(-(0.125+(1-)0;
(2)已知a+a-1=6,求-;
(3)若a>0,且a2x=+1,求代数式的值.
16.(15分)[吉林省实验中学高一期末]已知函数f(x)=(k+2)·ax+2-b(a>0,且a≠1)是指数函数.
(1)求k,b的值;
(2)求解不等式f(2x-5)>f(3x-1).
17.(15分)[2025河南省实验中学高一月考]已知函数f(x)=m·9x-3x+1-m,x>0.
(1)当m=时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)单调递增,求m的取值范围.
18.(17分)【模块综合】[2025成都十二中高一期末]已知函数f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,125),g(x)=()x-k.
(1)求m的值;
(2)当k=1时,解关于x的方程5f(x)=g(x)-3;
(3)记f(x),g(x)在区间[1,2)上的值域分别为集合A,B,若x∈A是x∈B的必要条件,求实数k的取值范围.
19.(17分)[2024广州二中高一期末]函数f(x)=a(1-)(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,判断f(x)的单调性,并证明;
(2)若对任意x∈[,2],λf(x)≥2x+1-4恒成立,求实数λ的取值范围.第八单元指数、指数函数A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025石家庄实验中学高一月考]化简:+=( )
A.1 B.-1 C.7-2π D.2π-7
1.A +=4-π+π-3=1.
2.[2024呼和浩特二中高一下开学考试]当a>0且a≠1时,f(x)=a|x-2|+5的图象恒过点( )
A.(2,5) B.(3,5) C.(2,6) D.(3,6)
2.C 对于函数f(x)=a|x-2|+5,令|x-2|=0,解得x=2,则f(2)=a0+5=6,所以f(x)=a|x-2|+5的图象恒过点(2,6).
3.[西安铁一中高一期中]设f(x)=则f(f())的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
3.C 因为f(x)=所以f()=2×()2-3×+1=1,所以f(f())=f(1)=21-1=1.
4.[2025山西大学附中高一期中]函数y=的定义域是( )
A.[-2,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
4.B 由根式的定义可得32x-1-≥(若根式的根指数为偶数,则被开方数大于等于零),即32x-1≥3-3,所以2x-1≥-3,解得x≥-1,所以函数y=的定义域是[-1,+∞).
5.[2025成都外国语学校高一期末]若正实数a,b满足a≠b,则函数f(x)=()x与函数g(x)=ax2+bx的图象可能是( )
5.A 令g(x)=ax2+bx=0,可得x=0或x=-.对于f(x)=()x,若0<<1,则g(x)的图象与x轴的一个交点的横坐标x=-∈(-1,0),A满足,B不满足;对于f(x)=()x,若>1,则g(x)的图象与x轴的一个交点的横坐标x=-∈(-∞,-1),C,D不满足.故选A.
6.[2023天津卷]若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
6.D 方法一 因为函数f(x)=1.01x是增函数(题眼),且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.
方法二 因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增(题眼),且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.
7.【情境创新】[2025重庆一中期中]某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律,根据实验数据可知,在相同条件下,这种植物每天以a%的增长率生长,8天后,该植物的长度是原来的倍,则24天后该植物的长度是原来的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
7.C 设植物原来长度为m,根据8天后,该植物的长度是原来的倍,求出1+a%,再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍.设植物原来长度为m,8天后,该植物的长度是原来的倍,故m(1+a%)8=m,即(1+a%)8=,即1+a%=(.24天后该植物的长度是m(1+a%)24,即为原来的(1+a%)24倍,又(1+a%)24=(=()3=,所以24天后该植物的长度是原来的倍.
8.[2025河南省周口市期末]已知函数f(x)=a()|x|+b的图象过原点,且无限接近于直线y=3但又不与该直线相交,当x≥0时,函数g(x)=f(x)-3x+1有( )
A.最小值-3 B.最大值-3
C.最小值-2 D.最大值-2
8.B 根据函数图象得f(x)的解析式,进而得当x≥0时g(x)的解析式,最后求最值即可.由题设f(0)=a()0+b=a+b=0,且b=3,则a=-3,所以f(x)=3-31-|x|.当x≥0时,g(x)=3-31-|x|-3x+1=3-31-x-3x+1,所以g(x)=3(1--3x).令t=3x≥1( 技巧：求y=f(ax)(a>0且a≠1)型函数的值域,令u=ax,先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性求出y=f(ax)的值域),则h(t)=3(1--t)≤3(1-2)=-3,当且仅当t=1时取等号,故g(x)的最大值为-3.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025合肥六中高一期中]设a>0,则下列运算正确的是( )
A.=a B.=
C.=a4 D.=
9.ACD A(√)==a.
B( )=a1-3=a-2.
C(√)==a4.
D(√)方法一(由内向外化) ====.
方法二(由外向内化) ===·=.
10.[2025深圳实验学校高一阶段测试]已知函数f(x)=5x-1,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的值域为(-1,+∞)
B.f(x+1)>4的解集为(1,+∞)
C.f(x)的图象与y=()x-1的图象关于y轴对称
D.若g(x)=10x-1,且f(a)=g(b)(a,b均不为0),则a>b
10.AC A(√)因为y=5x的值域为(0,+∞),所以f(x)=5x-1的值域为(-1,+∞).
B( )f(x+1)>4 5x+1>5 x+1>1 x>0.
C(√)与f(x)的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为y=f(-x)=5-x-1=()x-1,所以f(x)的图象与y=()x-1的图象关于y轴对称(y=ax(a>0且a≠1)与y=()x的图象关于y轴对称).
D( )作出函数f(x),g(x)的图象如图所示,由图可知,当a>0,b>0时,a>b;当a<0,b<0时,a
11.[2025西安高新一中高一期末]已知函数f(x)=(+b,则下列叙述正确的是( )
A.当a=0,b=1时,函数f(x)的图象过点(,2)
B.当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞)
C.当a=b=1时,函数f(x)的值域为(1,3]
D.当b=0时,若函数f(x)有最大值2,则a=1
11.CD 列表解析直观解疑惑
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【开放创新】[2024潍坊一中高一期末]已知定义在R上的函数f(x)满足以下两个条件:①对任意x1,x2恒有f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f(x)在R上单调递减.则满足上述条件的一个函数f(x)= .(写出一个即可)
12.()x(答案不唯一,底数在(0,1)内的指数函数均可) f(x)=()x在R上单调递减,且(=(·(,即满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),故f(x)=()x符合题意.
13.[信阳高级中学高一阶段测试]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=4x+3x+b(b为常数),则f(x)在[-3,-1]上的最大值为 .
13.-6 依题意,f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+b=0,b=-1,即当x≥0时,f(x)=4x+3x-1.
方法一 当x≥0时,f(x)单调递增,所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为f(1)=4+3-1=6,所以f(x)在区间[-3,-1]上的最大值为-6.
方法二 因为f(x)为奇函数,所以当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(4-x-3x-1)=-4-x+3x+1,此时f(x)在[-3,-1]上单调递增,所以f(x)在[-3,-1]上的最大值为f(-1)=-4-3+1=-6.
14.【探索新定义】[2025福州一中高一模块考试]设函数y=f(x)和y=f(-x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相同,则把区间[m,n]叫做y=f(x)的“稳定区间”,已知区间[1,2 026]为函数y=|()x+a|的“稳定区间”,则实数a的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【教材变式】[2024南昌二中高一月考]回答下列问题:
(1)计算:(-(0.125+(1-)0;
(2)已知a+a-1=6,求-;
(3)若a>0,且a2x=+1,求代数式的值.
15.【解析】 (1)(-(0.125+(1-)0=(-(+1=-2+1=-.(4分)
(2)(-)2=a+a-1-2=4,
所以-=±2.(8分)
(3)当a>0,a2x=+1时,
===+1.(13分)
16.(15分)[吉林省实验中学高一期末]已知函数f(x)=(k+2)·ax+2-b(a>0,且a≠1)是指数函数.
(1)求k,b的值;
(2)求解不等式f(2x-5)>f(3x-1).
16.【解析】 (1)因为f(x)=(k+2)·ax+2-b(a>0,且a≠1)是指数函数,
所以k+2=1,2-b=0,
所以k=-1,b=2.(6分)
(2)由(1)得f(x)=ax(a>0,且a≠1),
当a>1时,f(x)=ax在R上单调递增(底数中有参数时,切勿忽略对参数的分类讨论),
则由f(2x-5)>f(3x-1),可得2x-5>3x-1,
解得x<-4.(9分)
当0则由f(2x-5)>f(3x-1),可得2x-5<3x-1,
解得x>-4;(14分)
综上,可知当a>1时,原不等式的解集为{x|x<-4};
当0-4}.(15分)
17.(15分)[2025河南省实验中学高一月考]已知函数f(x)=m·9x-3x+1-m,x>0.
(1)当m=时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)单调递增,求m的取值范围.
17.指数型复合函数的值域+由指数型复合函数的单调性求参
思路导引 (1)将m=代入f(x),令t=3x得到二次函数,通过二次函数计算值域即可;
(2)由复合函数单调性可知只需y=mt2-3t-m在(1,+∞)上单调递增,分别讨论m=0,m<0和m>0即可.
【解析】 (1)当m=时,f(x)=×9x-3x+1-,x>0.(1分)
令t=3x,则t>1(换元时注意新元的范围),故y=t2-3t-=(t-1)2-3>-3,
所以f(x)的值域为(-3,+∞).(7分)
(2)由(1)可得y=mt2-3t-m,t>1.
因为t=3x在(0,+∞)上单调递增,
所以要使f(x)在(0,+∞)上单调递增,只需y=mt2-3t-m在(1,+∞)上单调递增即可.(10分)
①当m=0时,y=-3t在(1,+∞)上单调递减,不符合题意;
②当m<0时,y=mt2-3t-m在(1,+∞)上单调递减,不符合题意;
③当m>0时,则需≤1,解得m≥.(14分)
所以m的取值范围是[,+∞).(15分)
18.(17分)【模块综合】[2025成都十二中高一期末]已知函数f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,125),g(x)=()x-k.
(1)求m的值;
(2)当k=1时,解关于x的方程5f(x)=g(x)-3;
(3)记f(x),g(x)在区间[1,2)上的值域分别为集合A,B,若x∈A是x∈B的必要条件,求实数k的取值范围.
18.【解析】 (1)因为函数f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,125),
所以m3=125 m=5.(3分)
(2)当k=1时,方程5f(x)=g(x)-3可化为5·5x=()x-4 5·+4×5x-1=0 (5·5x-1)(5x+1)=0.(6分)
因为5x+1>0恒成立,所以5·5x-1=0 5x= x=-1.(10分)
(3)第一步:结合函数的单调性,求出两函数的值域A,B
由(1)得f(x)=5x,当x∈[1,2)时,函数单调递增,
因为f(1)=5,f(2)=25,所以函数f(x)在[1,2)上的值域A=[5,25).(12分)
当x∈[1,2)时,函数g(x)=()x-k单调递减,
因为g(1)=-k,g(2)=-k,所以函数g(x)在[1,2)上的值域B=(-k,-k].(14分)
第二步:根据条件,可得集合A,B的包含关系
因为x∈A是x∈B的必要条件,所以B A.(15分)
第三步:根据集合A,B的包含关系列不等式组,求解即可
所以 -所以实数k的取值范围为(-,-].(17分)
19.(17分)[2024广州二中高一期末]函数f(x)=a(1-)(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,判断f(x)的单调性,并证明;
(2)若对任意x∈[,2],λf(x)≥2x+1-4恒成立,求实数λ的取值范围.
19.函数的奇偶性+单调性+不等式恒成立
思路导引 (1)由奇函数的性质可得f(0)=0,求出a的值,再利用函数奇偶性的定义验证即可,判断出函数f(x)在R上为增函数,然后利用函数单调性的定义证明即可;(2)由(1)知f(x)在[,2]上单调递增,得f(x)≥f()>0,问题转化为λ≥=(2x-1)-+1,利用函数单调性求出最值即可得解.
【解析】 (1)由题意,得f(0)=a(1-)=0,解得a=2.(2分)
当a=2时,f(x)=2-,则f(-x)=2-=2-===-2+=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,符合题意,故a=2.(4分)
函数f(x)为R上的增函数.(5分)
证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)=2--(2-)=,
因为x10,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)为R上的增函数.(9分)
(2)由(1)得f(x)在[,2]上单调递增,所以当x∈[,2]时,f(x)≥f()=6-4>0,
所以对任意x∈[,2],λf(x)≥2x+1-4恒成立,等价于λ≥==(2x-1)-+1在x∈[,2]上恒成立.(13分)
当x∈[,2]时,令t=2x-1,则t∈[-1,3],易知y=t-+1在[-1,3]上单调递增,
所以t-+1≤3-+1=,即(2x-1)-+1≤,当且仅当x=2时等号成立,
所以λ≥,即实数λ的取值范围为[,+∞).(17分)
