第一单元 集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025大同一中高一月考]下列说法正确的是( )
A. ∈{0} B.0 {0}
C. {0,1,2} D.(1,2)={1,2}
1.C A( )应改为 {0}.
B( )应改为0∈{0}.
C(√)空集是任何集合的子集,故 {0,1,2}.
D( )(1,2)不是集合,而{1,2}是集合,故(1,2)={1,2}说法错误.
2.[2025辽宁省实验中学高一月考]已知集合A={x|-3≤x≤1},B={x||x|≤2},则A∪B=( )
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-3≤x≤1}
C.{x|-3≤x≤2} D.{x|1≤x≤2}
2.C 依题意,B={x|-2≤x≤2},而A={x|-3≤x≤1},在数轴上表示出集合A,B,如图,所以A∪B={x|-3≤x≤2}.
3.[2025永州四中高一下开学考试]已知全集U=R,集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x<0或x>},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{1,2,3} D.{-1,0,1,2}
3.A 由Venn图可知阴影部分表示的集合为A∩( UB),∵B={x|x<0或x>},∴ UB={x|0≤x≤},又集合A={-1,0,1,2,3},∴A∩( UB)={0}.
4.[2023新课标Ⅱ卷]设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=( )
A.2 B.1 C. D.-1
4.B 根据集合间的关系求参数
解题路线 从确定的数和关系入手 0∈B→集合B中哪个元素是0 a→务必验证是否满足A B.
依题意,有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.所以a=1.
5.[2025西工大附中高一月考]已知集合M={(1,0)},则下列与M相等的集合为( )
A.{(x,y)|}
B.{(x,y)|y=+}
C.{x|x=,n∈N}
D.{x|-15.B A( ){(x,y)|}={(0,1)}≠M.
B(√)由{(x,y)|y=+}可得解得x=1,故{(x,y)|y=+}={(1,0)}=M.
6.[2025河南省实验中学高一月考]已知全集U=A∪B,集合A={1,3,4},B={x∈N|∈N},则( )
A.集合A的子集有7个
B.{1}∈U
C.U中的元素个数为7
D.( UA) B
6.D 分析可知B中的元素x为自然数,且也为自然数,因为B={x∈N|∈N},所以B={1,2,4,8}.
A( )因为集合A={1,3,4},所以A中的元素个数为3,所以A的子集个数为23=8;
B( )由B={1,2,4,8},A={1,3,4},得U=A∪B={1,2,3,4,8},所以{1} U;
C( )由U=A∪B={1,2,3,4,8},得U中的元素个数为5;
D(√)由U=A∪B={1,2,3,4,8},A={1,3,4},得 UA={2,8},因为B={1,2,4,8},所以( UA) B.
7.[2025重庆十八中高一月考]已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,则m的取值范围是( )
A.{m|2≤m≤3} B.
C.{m|m≤3} D.{m|27.C 当B= 时( 是任何非空子集的真子集,若不考虑空集就会误选A),满足B A,此时m+1>2m-1,解得m<2.当B≠ 时,如图,若B A,则或解得2≤m≤3.综上,m的取值范围是{m|m≤3}.
8.[2025广东实验中学高一月考]已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.16 B.15 C.32 D.31
8.D 流程化思维解题集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0另寻思路→由{1,2} C你能得到什么
当集合C中不含其他元素时,C={1,2};当集合C中含有其他元素时,其他元素可以有哪些呢 集合C中除元素1,2外,还含有3或4或5或6或7,但不能同时全部含有→集合C的个数即为集合{3,4,5,6,7}的真子集的个数,即25-1=31.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.【数学文化】[2025珠海一中阶段考试]我国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何 ”现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N*},B={x|x=5n+3,n∈N*},C={x|x=7n+2,n∈N*},若a∈(A∩B∩C),则下列选项中符合题意的整数a为( )
A.23 B.44 C.68 D.128
9.AD A(√)由23=3×7+2,得23∈A,由23=5×4+3,得23∈B,由23=7×3+2,得23∈C,因此23∈(A∩B∩C);
B( )由44=5×8+4,得44 B;
C( )由68=7×9+5,得68 C;
D(√)由128=3×42+2,得128∈A,由128=5×25+3,得128∈B,由128=7×18+2,得128∈C,因此128∈(A∩B∩C).
10.[2025苏州一中高一月考改编]设全集为U,非空真子集A,B,C满足:A∩B=A,B∪C=B,则( )
A.A∩C≠ B. UB UA
C. U(A∪C)≠ D. UB U(A∩C)
10.BCD 由A∩B=A,可知A B;由B∪C=B,得C B.
A( )由题意可知,集合A,C都是集合B的子集,但是它们两个的关系无法确定.
B(√)由A B,可知 UB UA.
C(√)由A B和C B,知(A∪C) B,又因为集合B是全集U的非空真子集,故 U(A∪C)≠ .
D(√)由A B和C B,知(A∩C) B,所以 UB U(A∩C).
11.[2025南充高级中学高一月考]设集合M为实数集R的非空子集.若对任意x,y∈M,都有x+y,x-y,xy∈M,则称M为封闭集.以下结论正确的有( )
A.M={x|x=a+b,a,b∈Z}为封闭集
B.若M为封闭集,则一定有0∈M
C.若M为封闭集,则满足M T R的任意集合T也是封闭集
D.存在集合A RQ,A不为封闭集
11.ABD
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025合肥六中高一期中]若{1,a,}={0,,b},则b-a= .
12.2 第一步 若a=0,则无意义,此路不通.
第二步 由=0得b=1,故b=1,a=.
第三步 由a=且a≠1,可得a=-1.
第四步 由b=1,a=-1,可得b-a=1-(-1)=2.
13.[2024南昌一中高一月考]某网店统计连续三天售出商品的种类情况:第一天售出18种商品,第二天售出14种商品,第三天售出19种商品,前两天都售出的商品有5种,后两天都售出的商品有6种.则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种,这三天售出的商品最少有 种.
13.13 27 因为前两天都售出的商品有5种,所以第一天售出但第二天没有售出的商品有18-5=13(种).同理由后两天都售出的商品有6种,得第三天售出的商品中有19-6=13种第二天未售出,所以三天售出商品种数最少时,即第三天中这13种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的.用集合A,B,C分别表示第一、二、三天售出的商品,则商品最少时,第三天售出的商品均为前两天售出的,故求解总种数只考虑集合A,B即可.涉及两天售出的商品种数,彼此之间有重叠,可考虑画图分析,如图,此时商品总种数是13+5+9=27.
14.[2025北京师大附中高一期中]已知非空集合A,B满足以下四个条件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6};
②A∩B= ;
③A中的元素个数不是A中的元素;
④B中的元素个数不是B中的元素.
则有序集合对(A,B)的个数是 .
14.10 当集合A中有1个元素时,集合B中有5个元素,1 A,5 B,所以5∈A,此时B={1,2,3,4,6},有序集合对(A,B)为1个;当集合A中有2个元素时,集合B中有4个元素,2 A,4 B,所以4∈A,此时A={1,4},{3,4},{4,5},{4,6},共四种情况,对应的B={2,3,5,6},{1,2,5,6},{1,2,3,6},{1,2,3,5},有序集合对(A,B)为4个;当集合A中有3个元素时,集合B中也有3个
元素,3 A,3 B,不符合题意;当集合A中有4个元素时,集合B中有2个元素,4 A,2 B,故4∈B,2∈A,此时B={1,4},{3,4},{4,5},{4,6},共四种情况,对应的A={2,3,5,6},{1,2,5,6},{1,2,3,6},{1,2,3,5},有序集合对(A,B)为4个;当集合A中有5个元素时,集合B中有1个元素,此时5 A,故5∈B,有序集合对(A,B)为1个.综上,满足题意的有序集合对(A,B)共有1+4+4+1=10(个).
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025河北衡水中学高一素养测评]设全集U=R,集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x2+bx-2=0}.
(1)若集合A恰有一个元素,求实数a的值;
(2)若2∈B,-3∈A,求( UA)∩B.
15.【解析】 (1)因为集合A={x|x2+4x+a=0},且集合A恰有一个元素,
所以Δ=16-4a=0,解得a=4.(5分)
(2)因为集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x2+bx-2=0},且2∈B,-3∈A,
所以9-12+a=0,4+2b-2=0,
解得a=3,b=-1,(9分)
所以A={-3,-1},B={2,-1},(11分)
则( UA)∩B={2}.(13分)
16.(15分)[2024太原五中高一月考]已知A={x|-10}.
(1)求A∪B和( RA)∩( RB);
(2)若记符号A-B={x|x∈A且x B},在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑,并求出A-B.
16.【解析】 (1)由x-1>0得x>1,即B={x|x>1},(2分)
所以A∪B={x|x>-1}.(4分)
方法一 RA={x|x≥2或x≤-1}, RB={x|x≤1},(6分)
所以( RA)∩( RB)={x|x≤-1}.(8分)
方法二 ( RA)∩( RB)= R(A∪B)={x|x≤-1}.(8分)
(2)根据定义可知,集合A-B如图中阴影部分所示.
(11分)
因为A-B={x|x∈A且x B},A={x|-11},
所以A-B={x|-117.(15分)[2025郑州一中高一期中改编]设全集U=R,集合A={x|0(1)若A∪B=B,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
17.【解析】 (1)因为A∪B=B,所以A B,(2分)
又A={x|0所以解得-≤a≤1,
所以a的取值范围是{a|-≤a≤1}.(7分)
(2)因为A∩B=B,所以B A(B A,分为B= 与B≠ 两种情况讨论).(9分)
若B= ,则2a+3≤a-1,可得a≤-4,满足B A;(10分)
若B≠ ,要使B A,则不等式组无解.(13分)
综上,a的取值范围是{a|a≤-4}.(15分)
18.(17分)[2024扬州中学高一月考]已知全集U={x∈N|0(1)求 UB;
(2)若a2+1∈ UB且a∈U,求实数a的值;
(3)设集合C=A∩( UB),若C的真子集共有3个,求实数m的值.
18.【解析】 (1)因为U={x∈N|0所以 UB={2,3}.(4分)
(2)若a2+1∈ UB,则a2+1=2或a2+1=3,解得a=±1或a=±.(7分)
又a∈U,所以a=1.(10分)
(3)A={1,2,m2}, UB={2,3},
方法一 当m2≠3时,C={2},此时集合C共有1个真子集,不符合题意;(13分)
当m2=3时,C={2,3},此时集合C共有3个真子集,符合题意.
综上所述,m=±.(17分)
方法二 由集合C=A∩( UB) 的真子集共有3个,知A∩( UB)只有2个元素,(13分)
所以A∩( UB)= UB={2,3},(15分)
所以m2=3,所以m=±.(17分)
19.(17分)探索新定义[2024北京市密云区高一期末]对于由n个正整数构成的集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”,并说明理由;
(2)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数.
19.【解析】 (1)当集合{1,2,3,4,5}去掉元素2时,剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况:
{1,3},{4,5};{1,4},{3,5};{1,5},{3,4};{1},{3,4,5};{3},{1,4,5};{4},{1,3,5};{5},{1,3,4}.(3分)
经过计算可以发现每组两个集合的所有元素之和不相等,故集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”.(5分)
(2)设集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3)所有元素之和为M,
由题意可知M-ai(i=1,2,…,n)均为偶数,
因此任意一个元素ai(i=1,2,…,n)的奇偶性相同.(7分)
若M是奇数,则ai(i=1,2,…,n)也都是奇数,
因为M=a1+a2+…+an,所以n为奇数;(10分)
若M是偶数,则ai(i=1,2,…,n)也都是偶数,
设ai=2bi(i=1,2,…,n),
显然{b1,b2,…,bn}也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以得到各项都为奇数的“和谐集”,
此时各项的和也是奇数,所以n为奇数.(15分)
综上所述,若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数.(17分)第一单元 集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025大同一中高一月考]下列说法正确的是( )
A. ∈{0} B.0 {0}
C. {0,1,2} D.(1,2)={1,2}
2.[2025辽宁省实验中学高一月考]已知集合A={x|-3≤x≤1},B={x||x|≤2},则A∪B=( )
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-3≤x≤1}
C.{x|-3≤x≤2} D.{x|1≤x≤2}
3.[2025永州四中高一下开学考试]已知全集U=R,集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x<0或x>},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{1,2,3} D.{-1,0,1,2}
4.[2023新课标Ⅱ卷]设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=( )
A.2 B.1 C. D.-1
5.[2025西工大附中高一月考]已知集合M={(1,0)},则下列与M相等的集合为( )
A.{(x,y)|}
B.{(x,y)|y=+}
C.{x|x=,n∈N}
D.{x|-16.[2025河南省实验中学高一月考]已知全集U=A∪B,集合A={1,3,4},B={x∈N|∈N},则( )
A.集合A的子集有7个
B.{1}∈U
C.U中的元素个数为7
D.( UA) B
7.[2025重庆十八中高一月考]已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,则m的取值范围是( )
A.{m|2≤m≤3} B.
C.{m|m≤3} D.{m|28.[2025广东实验中学高一月考]已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.16 B.15 C.32 D.31
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.【数学文化】[2025珠海一中阶段考试]我国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何 ”现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N*},B={x|x=5n+3,n∈N*},C={x|x=7n+2,n∈N*},若a∈(A∩B∩C),则下列选项中符合题意的整数a为( )
A.23 B.44 C.68 D.128
10.[2025苏州一中高一月考改编]设全集为U,非空真子集A,B,C满足:A∩B=A,B∪C=B,则( )
A.A∩C≠ B. UB UA
C. U(A∪C)≠ D. UB U(A∩C)
11.[2025南充高级中学高一月考]设集合M为实数集R的非空子集.若对任意x,y∈M,都有x+y,x-y,xy∈M,则称M为封闭集.以下结论正确的有( )
A.M={x|x=a+b,a,b∈Z}为封闭集
B.若M为封闭集,则一定有0∈M
C.若M为封闭集,则满足M T R的任意集合T也是封闭集
D.存在集合A RQ,A不为封闭集
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025合肥六中高一期中]若{1,a,}={0,,b},则b-a= .
13.[2024南昌一中高一月考]某网店统计连续三天售出商品的种类情况:第一天售出18种商品,第二天售出14种商品,第三天售出19种商品,前两天都售出的商品有5种,后两天都售出的商品有6种.则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种,这三天售出的商品最少有 种.
14.[2025北京师大附中高一期中]已知非空集合A,B满足以下四个条件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6};
②A∩B= ;
③A中的元素个数不是A中的元素;
④B中的元素个数不是B中的元素.
则有序集合对(A,B)的个数是 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025河北衡水中学高一素养测评]设全集U=R,集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x2+bx-2=0}.
(1)若集合A恰有一个元素,求实数a的值;
(2)若2∈B,-3∈A,求( UA)∩B.
16.(15分)[2024太原五中高一月考]已知A={x|-10}.
(1)求A∪B和( RA)∩( RB);
(2)若记符号A-B={x|x∈A且x B},在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑,并求出A-B.
17.(15分)[2025郑州一中高一期中改编]设全集U=R,集合A={x|0(1)若A∪B=B,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
18.(17分)[2024扬州中学高一月考]已知全集U={x∈N|0(1)求 UB;
(2)若a2+1∈ UB且a∈U,求实数a的值;
(3)设集合C=A∩( UB),若C的真子集共有3个,求实数m的值.
19.(17分)探索新定义[2024北京市密云区高一期末]对于由n个正整数构成的集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”,并说明理由;
(2)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数.
