第五单元 函数的概念及其表示
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025莆田一中高一期末]设函数f(x)=则f(-2)=( )
A.0 B.2 C.-4 D.-2
1.D f(-2)=f(-2+2)=f(0)=f(0+2)=f(2)=22-6=-2(求分段函数的函数值时,关键是判断出自变量的取值所处的区间,再代入相应的函数解析式).
2.[2024苏州中学高一月考]f(x)=的定义域为A,B={y|y=2x2,x≠1},则A∩B=( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
2.B 由f(x)=的定义域为A,得x-2≥0 x≥2,即A=[2,+∞),由B={y|y=2x2,x≠1}(集合B表示函数y=2x2,x≠1的值域),得B=[0,+∞),所以A∩B=[2,+∞).
3.[2025泸州高级中学高一月考]下列图象中,不能作为函数图象的是( )
3.C 根据函数的定义可知,C选项中存在一个x对应两个y值,不符合函数的定义.A,B,D选项中,对于定义域内每一个x值,都只有唯一的y值与之对应,满足函数的定义.故选C.
4.[2025绵阳中学高一期末]下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.B 当一个函数的对应关系和定义域确定后,其值域就随之确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应关系均相同时,才为同一个函数.易知y=x的定义域为R.
A( )y==|x|,对应关系不相同,与y=x不是同一个函数.
B(√)y==x,且定义域为R,与y=x是同一个函数.
C( )y==x,但定义域为[0,+∞),定义域不相同,与y=x不是同一个函数.
D( )y=的定义域为{x|x≠0},定义域不相同,与y=x不是同一个函数.
5.【教材变式】[2025马鞍山二中高一下开学考试]函数f(x+1)的定义域为[-3,1],函数g(x)=,则g(x)的定义域为( )
A.(-1,2] B.(-1,0]
C.[-1,2] D.[-1,0]
5.A 函数f(x+1)的定义域为[-3,1],则函数f(x)的定义域为[-2,2],函数g(x)=,则解得-16.[2025重庆南开中学质量检测]已知函数f(x)的定义域为R,2f(x+2)+f(1-x)=x2,则f(1)=( )
A. B. C. D.
6.A 借助赋值法,分别令x=0及x=-1,再解方程组即可.令x=0,则2f(2)+f(1)=0,令x=-1,则2f(1)+f(2)=1,故有解得
7.[2025临川一中高一阶段测试]函数f(x)的图象如图所示,则其对应的函数可能是( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
7.B 由题图知f(x)的定义域为{x|x≠±1},A中函数f(x)=的定义域为{x|x≠1},D中函数f(x)=的定义域为R,B中函数f(x)=与C中f(x)=的定义域均为{x|x≠±1},故排除选项A,D;对于f(x)=,当x=0时,f(0)=-1,不符合图象f(0)=1,所以排除选项C.故选B.
8.[2025广州二中高一期末]已知函数f(x)=x2+ax+b,若关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),则函数f(x)的值域为( )
A.[,+∞) B.[,+∞)
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
8.D 流程化思维解题关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2) m,m+2为方程f(x)-1=0的
两根f(x)-1=(x-m)(x-m-2)→f(x)=x2-(2m+2)x+m2+2m+1=x2-2(m+1)x+(m+1)2=(x-m-1)2→函数f(x)的值域为[0,+∞).
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024厦门六中高一期中]某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,车费y(单位:元)与路程x(单位:km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是( )
A.当路程为8 km时,乘客选择甲方案省钱
B.当路程为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当路程大于3 km时,每千米增加的车费甲方案比乙方案多
D.甲方案路程3 km内(含3 km)车费为5元,路程大于3 km每增加1 km车费增加0.7元
9.ABC A(√)当310.[2025荆州中学高一月考]已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),且f(+1)=x+2, 则( )
A.f(x)=x2+1(x≥1)
B.f(x)的值域为[0,+∞)
C.f(2x-3)的定义域为[2,+∞)
D.f()的值域为(0,+∞)
10.BC A( )依题意,f(+1)=()2+2=(+1)2-1(配凑法),则f(x)=x2-1,x≥1(求出f(x)的解析式是解题关键);B(√)当x≥1时,f(x)≥0,当且仅当x=1时取等号,因此f(x)的值域为[0,+∞);C(√)在f(2x-3)中,令2x-3≥1,解得x≥2,因此f(2x-3)的定义域为[2,+∞);D( )显然f()=-1,011.【探索创新】[2025白城一中高一期中]设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论正确的是( )
A.fp(f(0))=f(fp(0))
B.fp(f(1))=f(fp(1))
C.fp(fp(2))=f(f(2))
D.fp(f(3))=f(f(3))
11.ACD 因为f(x)=x2-2x-1,p=2,所以f2(x)=
列表解析直观解疑惑
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025珠海一中阶段考试]已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示,函数y=f(x)的图象如图所示,则g(f(2))的值为 .
13.【开放创新】[2024扬州中学高一期中]一次函数f(x)满足:f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式可以是 .(写出满足条件的一个解析式即可)
13.f(x)=2x+1(或f(x)=-2x-3) 设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+3,所以解得或即f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
14.[2025成都外国语学校高一期中]定义min{a,b}=若函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3},则f(x)的最大值为 ;若f(x)在区间[m,n]上的值域为[,2],则n-m的最大值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.3 当x2-3x+3=-|x-3|+3时,解得x=1或x=3,所以f(x)=作出f(x)的图象如图所示:
由图象可知:当x=3时,f(x)有最大值,所以f(x)max=f(3)=3.当f(x)=时,令-|x-3|+3=,注意x∈(-∞,1]∪[3,+∞),解得x=或;令x2-3x+3=,注意x∈(1,3),解得x=.当f(x)=2时,同理可得x=或x=4.由图象可知:当m∈[,],n=时,f(x)的值域为[,2],此时n-m的最大值为-=;当m=4,n=时,f(x)的值域为[,2],此时n-m=<.由上可知,n-m的最大值为.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025中山纪念中学高一段考改编]求下列函数的值域:
(1)y=(x>0);
(2)y=x-2.
(3)y=.
15.【解析】 (1)y==4x++4≥2+4=16,(2分)
当且仅当4x=,即x=时取等号,(3分)
所以函数的值域为[16,+∞).(4分)
(2)设t=,t≥0,则x=t2-1,(5分)
所以y=x-2=t2-1-2t=(t-1)2-2,(7分)
所以函数的值域为[-2,+∞).(8分)
(3)y==1-,(11分)
则y≠1,
所以函数的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).(13分)
16.(15分)[2025惠州一中高一期中]已知函数f(x)=
(1)求f(0),f(2)的值;
(2)若f(m)=-1,求m的值;
(3)作出函数f(x)的大致图象,并求f(x)≤8的解集.
16.【解析】 (1)因为f(x)=
所以f(0)=0,f(2)=×22-3×2=-4.(4分)
(2)当m<0时,f(m)==-1,解得m=-2;
当0≤m<2时,f(m)=-m=-1,解得m=1;
当m≥2时,f(m)=m2-3m=-1,解得m=3+或3-(舍去).
综上所述,m的值为-2或1或3+.(9分)
(3)作出函数f(x)的图象如图所示:
(11分)
当x∈(-∞,0)时,f(x)=≤8恒成立;
当x∈[0,2)时,f(x)=-x≤8恒成立;
当x∈[2,+∞)时,f(x)=x2-3x≤8,即x2-6x-16≤0,
得2≤x≤8.
综上所述,f(x)≤8的解集为(-∞,8].(15分)
17.(15分)[2024台州中学高一期中]下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/米3):
(1)试写出用户所交水费y(元)与用水量x(米3)的函数关系式;
(2)若某户居民一年交水费为1 110元,求其中水资源费和污水处理费各为多少
17.分段函数的实际应用
思路导引 (1)根据水价表写出函数解析式即可;
(2)由所交水费计算出用水量,再计算水资源费和污水处理费即可.
【解析】 (1)依题意,当0≤x≤180时,y=5x;(2分)
当180当x>260时,y=9(x-260)+5×180+7×(260-180)=9x-880.(6分)
所以用户所交水费y(元)与用水量x(米3)的函数关系式是y=(8分)
(2)当5x=1 110时,x=222 [0,180],不符合题意;
当7x-360=1 110时,x=210∈(180,260],符合题意;
当9x-880=1 110时,x= (260,+∞),不符合题意.
所以x=210.(12分)
所以水资源费为1.5×210=315(元),
污水处理费为1.4×210=294(元),
所以该户居民所交水资源费为315元,污水处理费为294元.(15分)
18.(17分)[2025河北衡水中学高一期中]已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围.
18.已知函数定义域求参
思路导引 (1)根据f(x)的定义域为[-1,2],可得-1和2是一元二次方程的两个实数根,即可利用根与系数的关系求解;
(2)将问题转化为(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0对任意的x∈R均成立,对x2的系数进行分类讨论,结合判别式即可求解.
【解析】 (1)由于f(x)=的定义域需要满足(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0,(1分)
结合f(x)的定义域为[-1,2],故-1和2是一元二次方程(m2-m-6)x2+(m+2)x+8=0的两个不相等实数根,(2分)
因此(5分)
解得m=2.(6分)
(2)f(x)的定义域为R,则(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0对任意的x∈R均成立.(7分)
当m=3时,m2-m-6=0,此时不等式为5x+8≥0,不等式的解集不是全体实数,不符合题意,舍去;(9分)
当m=-2时,m2-m-6=0,此时不等式为8≥0,恒成立,符合题意;(11分)
当m≠3且m≠-2时,m2-m-6≠0,此时不等式(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0为一元二次不等式,
要使其解集为全体实数,则
解得m≥或m<-2.(15分)
综上,可得实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[,+∞).(17分)
19.(17分)[2025广东实验中学高一期中]定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),且{f(x)|x>0}=(2,+∞).
(1)求f(0);
(2)证明:f(x)>0;
(3)若对任意的x∈R,f(x)+λf(-x)≥4恒成立,求实数λ的取值范围.
19.【解析】 (1)由f(x+y)=f(x)f(y),
令y=0,得f(x)=f(x)f(0),(2分)
因为f(x)不恒为0,所以f(0)=2.(4分)
(2)方法一 由(1)知当x=0时,f(x)=2;(5分)
又由题意,当x>0时,f(x)>2;(6分)
而当x<0时,-x>0,f(-x)>2,(7分)
令y=-x,可得f(x)f(-x)=4,所以f(x)=>0.(10分)
综上所述, x∈R,f(x)>0.(11分)
方法二 f(x)=f()f()=[f()]2≥0,(7分)
若存在x0∈R使f(x0)=0,则有f(x)=f(x0)f(x-x0)=0,这与题设矛盾,(10分)
所以 x∈R,f(x)>0.(11分)
(3)在f(x+y)=f(x)f(y)中令y=-x,可得f(x)f(-x)=4,(12分)
又由(2)知 x∈R,f(x)>0,所以f(-x)=.(13分)
令t=f(x),则对任意t>0,t+≥4,即λ≥t(4-t)恒成立.(14分)
记g(t)=t(4-t)=-(t-2)2+1,t>0,取t=f(0)=2时,g(t)有最大值1,(16分)
所以λ的取值范围为[1,+∞).(17分)第五单元 函数的概念及其表示
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025莆田一中高一期末]设函数f(x)=则f(-2)=( )
A.0 B.2 C.-4 D.-2
2.[2024苏州中学高一月考]f(x)=的定义域为A,B={y|y=2x2,x≠1},则A∩B=( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
3.[2025泸州高级中学高一月考]下列图象中,不能作为函数图象的是( )
4.[2025绵阳中学高一期末]下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
5.【教材变式】[2025马鞍山二中高一下开学考试]函数f(x+1)的定义域为[-3,1],函数g(x)=,则g(x)的定义域为( )
A.(-1,2] B.(-1,0]
C.[-1,2] D.[-1,0]
6.[2025重庆南开中学质量检测]已知函数f(x)的定义域为R,2f(x+2)+f(1-x)=x2,则f(1)=( )
A. B. C. D.
7.[2025临川一中高一阶段测试]函数f(x)的图象如图所示,则其对应的函数可能是( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
8.[2025广州二中高一期末]已知函数f(x)=x2+ax+b,若关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),则函数f(x)的值域为( )
A.[,+∞) B.[,+∞)
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024厦门六中高一期中]某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,车费y(单位:元)与路程x(单位:km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是( )
A.当路程为8 km时,乘客选择甲方案省钱
B.当路程为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当路程大于3 km时,每千米增加的车费甲方案比乙方案多
D.甲方案路程3 km内(含3 km)车费为5元,路程大于3 km每增加1 km车费增加0.7元
10.[2025荆州中学高一月考]已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),且f(+1)=x+2, 则( )
A.f(x)=x2+1(x≥1)
B.f(x)的值域为[0,+∞)
C.f(2x-3)的定义域为[2,+∞)
D.f()的值域为(0,+∞)
11.【探索创新】[2025白城一中高一期中]设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论正确的是( )
A.fp(f(0))=f(fp(0))
B.fp(f(1))=f(fp(1))
C.fp(fp(2))=f(f(2))
D.fp(f(3))=f(f(3))
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025珠海一中阶段考试]已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示,函数y=f(x)的图象如图所示,则g(f(2))的值为 .
13.【开放创新】[2024扬州中学高一期中]一次函数f(x)满足:f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式可以是 .(写出满足条件的一个解析式即可)
14.[2025成都外国语学校高一期中]定义min{a,b}=若函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3},则f(x)的最大值为 ;若f(x)在区间[m,n]上的值域为[,2],则n-m的最大值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025中山纪念中学高一段考改编]求下列函数的值域:
(1)y=(x>0);
(2)y=x-2.
(3)y=.
16.(15分)[2025惠州一中高一期中]已知函数f(x)=
(1)求f(0),f(2)的值;
(2)若f(m)=-1,求m的值;
(3)作出函数f(x)的大致图象,并求f(x)≤8的解集.
17.(15分)[2024台州中学高一期中]下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/米3):
(1)试写出用户所交水费y(元)与用水量x(米3)的函数关系式;
(2)若某户居民一年交水费为1 110元,求其中水资源费和污水处理费各为多少
18.(17分)[2025河北衡水中学高一期中]已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围.
19.(17分)[2025广东实验中学高一期中]定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),且{f(x)|x>0}=(2,+∞).
(1)求f(0);
(2)证明:f(x)>0;
(3)若对任意的x∈R,f(x)+λf(-x)≥4恒成立,求实数λ的取值范围.
