第四单元 二次函数与一元二次方程、不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025上海中学高一期中改编]若要使有意义,则x的取值范围是( )
A.{x|-2≤x≤4}
B.{x|-2
C.{x|x<-2或x≥4}
D.{x|x≤-2或x≥4}
2.[2023新课标Ⅰ卷]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
3.[2024柳州铁一中高一期末]已知二次函数y=x2-mx+n的零点为-2和3,则m+n=( )
A.-5 B.-4 C.7 D.-6
4.[2024厦门一中高一期末]若命题“ x∈R,x2+ax+1=0”是假命题,则( )
A.a≥2
B.a<2
C.a≤-2或a≥2
D.-25.[2025合肥八中高一期末]已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为( )
A.{k|4≤k<5} B.{k|4C.{k|3≤k<4} D.{k|36.[2025吉安一中高一期末]设a∈R,则“-3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.[2025历城一中高一月考]若正实数x,y满足x+2y=4,不等式m2+m>+有解,则m的取值范围是( )
A.{m|-B.{m|m<-或m>1}
C.{m|-1D.{m|m<-1或m>}
8.【教材变式】[2025广州二中高一月考]在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其一边EF的长x(单位:m)的取值范围是( )
A.{x|15≤x≤20} B.{x|12≤x≤25}
C.{x|10≤x≤30} D.{x|20≤x≤30}
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025成都石室中学高一期末]已知a∈R,关于x的不等式>0的解集可能是( )
A.{x|1B.{x|x<1或x>a}
C.{x|x1}
D.
10.[2025盐城中学高一期末]已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.a<0
B.a+b+c<0
C.不等式bx>a+c的解集为{x|x>1}
D.不等式cx2-bx+a≤0的解集为{x|-≤x≤1}
11.【模块综合】[2025泉州五中高一月考]已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则( )
A.ab的最大值为4
B.(a+1)2+(b+1)2的最小值为18
C.a+b的最小值为4
D.+的最小值为
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【开放创新】[2025成都七中高一期末]已知一个关于x的一元二次不等式的解集为{x|x<-1或x>1},则该不等式可以为 .
13.[2025兰大附中高一期中]已知方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个比2大另一个比2小,则实数m的取值范围是 .
14.[2025东营一中高一期中]已知对任意x∈{x|2≤x≤3},y∈{y|3≤y≤6},不等式mx2-xy+y2≥0恒成立,则实数m的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025衡阳八中高一期末]已知集合A={x|-x2+8x+20≥0},集合B={x|x2-2x+1-m2≤0}.
(1)若m=4,求 R(A∩B);
(2)若m<0,且x∈A是x∈B的必要不充分条件,求m的取值范围.
16.(15分)[2025南师附中高一期末]已知不等式ax2-3x+b<0的解集为{x|1(1)求a,b的值;
(2)若不等式mx2+mx+3a≥0对任意x∈R均成立,求实数m的取值范围.
17.(15分)[2024华东师大二附中高一月考]已知关于x的一元二次方程kx2-2(3k-1)x+9k-1=0.
(1)若上述方程的两根都是正数,求实数k的取值范围.
(2)是否存在上述方程的两根恰有一个是正数,且k为整数 如果存在,直接写出实数k的取值;如果不存在,说明理由.
18.(17分)[2025青岛一中高一月考]某公司为了竞标某活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
19.(17分)[2024大连二十四中高一期中]已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+px+q≤0}.
(1)若A∪B=R,且A∩B={x|-2≤x<-1},求实数p及q的值;
(2)在(1)的条件下,若关于x的不等式组没有实数解,求实数a的取值范围;
(3)若B={x|-3≤x≤-1},且关于x的不等式kx2+kx+pq≤0的解集为 ,求实数k的取值范围.第四单元 二次函数与一元二次方程、不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025上海中学高一期中改编]若要使有意义,则x的取值范围是( )
A.{x|-2≤x≤4}
B.{x|-2C.{x|x<-2或x≥4}
D.{x|x≤-2或x≥4}
1.C 有意义,则有x2-2x-8≥0且x≠-2(不要忘记分母不能为零的限制条件),解得x<-2或x≥4,所以x的取值范围是{x|x<-2或x≥4}.
2.[2023新课标Ⅰ卷]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
2.C 通解(直接运算法) 因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2},所以M∩N={-2}.
光速解(排除法) 由于1 N,所以1 M∩N,排除A,B;由于2 N,所以2 M∩N,排除D.故选C.
3.[2024柳州铁一中高一期末]已知二次函数y=x2-mx+n的零点为-2和3,则m+n=( )
A.-5 B.-4 C.7 D.-6
3.A 由题意知二次函数y=x2-mx+n的零点为-2和3,所以y=x2-mx+n=[x-(-2)](x-3)=(x+2)(x-3)=x2-x-6,所以m=1,n=-6,m+n=-5.
4.[2024厦门一中高一期末]若命题“ x∈R,x2+ax+1=0”是假命题,则( )
A.a≥2
B.a<2
C.a≤-2或a≥2
D.-24.D 原命题与命题的否定真假性相反,由命题“ x∈R,x2+ax+1=0”是假命题,可知命题的否定“ x∈R,x2+ax+1≠0”是真命题,即Δ=a2-4<0,解得-25.[2025合肥八中高一期末]已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为( )
A.{k|4≤k<5} B.{k|4C.{k|3≤k<4} D.{k|35.B 由x2-x-6>0,即(x-3)(x+2)>0,解得x<-2或x>3.由2x2+(1-2k)x-k<0,即(2x+1)(x-k)<0,因为k>0,所以不等式(2x+1)(x-k)<0的解集为{x|-6.[2025吉安一中高一期末]设a∈R,则“-3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.A 按a=0和a≠0分类讨论,解出不等式恒成立时a的取值范围,再根据充分性和必要性的概念求解即可.由“ x∈R,不等式ax2+4ax-12<0恒成立”可得以下两种情况:①当a=0时,不等式ax2+4ax-12<0即为-12<0,恒成立,满足条件;②当a≠0时,则需满足解得-37.[2025历城一中高一月考]若正实数x,y满足x+2y=4,不等式m2+m>+有解,则m的取值范围是( )
A.{m|-B.{m|m<-或m>1}
C.{m|-1D.{m|m<-1或m>}
7.B 根据基本不等式“1”的代换求,即可求参数范围.由+=(+)[x+2(y+1)]=×[4++]≥×[4+2]=,当且仅当=,即x=3,y=时等号成立,得要使不等式m2+m>+有解,只需m2+m> 3m2+m-4=(3m+4)(m-1)>0,所以m的取值范围是{m|m<-或m>1}.
8.【教材变式】[2025广州二中高一月考]在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其一边EF的长x(单位:m)的取值范围是( )
A.{x|15≤x≤20} B.{x|12≤x≤25}
C.{x|10≤x≤30} D.{x|20≤x≤30}
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025成都石室中学高一期末]已知a∈R,关于x的不等式>0的解集可能是( )
A.{x|1B.{x|x<1或x>a}
C.{x|x1}
D.
9.BCD 当a<0时,不等式等价于(x-1)(x-a)<0,解得a0,解得x>1或x1时,不等式等价于(x-1)(x-a)>0,解得x>a或x<1.故选BCD.
10.[2025盐城中学高一期末]已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.a<0
B.a+b+c<0
C.不等式bx>a+c的解集为{x|x>1}
D.不等式cx2-bx+a≤0的解集为{x|-≤x≤1}
10.ACD 列表解析直观解疑惑
11.【模块综合】[2025泉州五中高一月考]已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则( )
A.ab的最大值为4
B.(a+1)2+(b+1)2的最小值为18
C.a+b的最小值为4
D.+的最小值为
11.ABC 由题意,a,b为正实数,且ab+a+b=8,
A(√)因为8=ab+a+b≥ab+2,当且仅当a=b=2时取等号,所以+2-8≤0,即(-2)(+4)≤0,解得≤2,即ab≤4,故当a=b=2时,ab取得最大值4.
B(√)(a+1)2+(b+1)2≥2(a+1)(b+1)=2(ab+a+b+1)=18,当且仅当a+1=b+1,即a=b=2时取等号,此时(a+1)2+(b+1)2取得最小值18.
C(√)由a+b=8-ab≥8-()2,当且仅当a=b=2时取等号,可得(a+b)2+4(a+b)-32≥0,即(a+b-4)(a+b+8)≥0,解得a+b≥4,即当a=b=2时,a+b取得最小值4.
D( )+≥2=2=,当且仅当a+1=b+1,即a=b=2时取等号,此时+取得最小值.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【开放创新】[2025成都七中高一期末]已知一个关于x的一元二次不等式的解集为{x|x<-1或x>1},则该不等式可以为 .
13.[2025兰大附中高一期中]已知方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个比2大另一个比2小,则实数m的取值范围是 .
14.[2025东营一中高一期中]已知对任意x∈{x|2≤x≤3},y∈{y|3≤y≤6},不等式mx2-xy+y2≥0恒成立,则实数m的取值范围是 .
14.{m|m≥0} ∵mx2-xy+y2≥0对任意x∈{x|2≤x≤3},y∈{y|3≤y≤6}恒成立,∴m≥-()2对任意x∈{x|2≤x≤3},y∈{y|3≤y≤6}恒成立.∵2≤x≤3,∴≤≤,又3≤y≤6,∴1≤≤3.令t=,则1≤t≤3,原题意等价于对于1≤t≤3,m≥t-t2恒成立.∵y=t-t2的图象开口向下,对称轴为t=,∴若1≤t≤3,则当t=1时,ymax=1-12=0,故实数m的取值范围是{m|m≥0}.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025衡阳八中高一期末]已知集合A={x|-x2+8x+20≥0},集合B={x|x2-2x+1-m2≤0}.
(1)若m=4,求 R(A∩B);
(2)若m<0,且x∈A是x∈B的必要不充分条件,求m的取值范围.
15.【解析】 (1)当m=4时,B={x|x2-2x-15≤0}={x|-3≤x≤5},
∵A={x|-x2+8x+20≥0}={x|x2-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10},(4分)
∴A∩B={x|-2≤x≤5},
∴ R(A∩B)={x|x<-2或x>5}.(6分)
(2)当m<0时,B={x|[x-(1+m)][x-(1-m)]≤0}={x|1+m≤x≤1-m},
∵x∈A是x∈B的必要不充分条件,∴B A,(9分)
∴其中等号不同时成立,
解得-3≤m<0,即m的取值范围是{m|-3≤m<0}.(13分)
16.(15分)[2025南师附中高一期末]已知不等式ax2-3x+b<0的解集为{x|1(1)求a,b的值;
(2)若不等式mx2+mx+3a≥0对任意x∈R均成立,求实数m的取值范围.
16.【解析】 (1)由题意知,1和2是方程ax2-3x+b=0的两根,
由根与系数的关系可得解得(7分)
(2)第一步:结合第(1)问具体化不等式
由(1)可知a=1,则不等式mx2+mx+3≥0对任意x∈R均成立,
第二步:分m=0和m≠0讨论不等式恒成立
则当m=0时,不等式0+0+3≥0恒成立;(10分)
当m≠0时,不等式mx2+mx+3≥0对任意x∈R均成立,
等价于解得0第三步:综合得结论
综上,实数m的取值范围为{m|0≤m≤12}.(15分)
17.(15分)[2024华东师大二附中高一月考]已知关于x的一元二次方程kx2-2(3k-1)x+9k-1=0.
(1)若上述方程的两根都是正数,求实数k的取值范围.
(2)是否存在上述方程的两根恰有一个是正数,且k为整数 如果存在,直接写出实数k的取值;如果不存在,说明理由.
17.【解析】 (1)由题意得k≠0,设此方程的两实数根分别为x1,x2,
由Δ=4(3k-1)2-4k(9k-1)=4(-5k+1)≥(保证有两根),解得k≤.(3分)
由题意得x1x2>(保证两根同号),x1+x2>(保证两根同正),
所以结合根与系数的关系可得解得k<0.
所以实数k的取值范围是{k|k<0}.(7分)
(2)不存在.
理由如下:
方程的两根恰有一个是正数,则Δ=4(3k-1)2-4k(9k-1)=4(-5k+1)>0,解得k<.(10分)
又k≠0,k∈Z,则可知k<0,此时x1x2=>0,
即x1,x2同号,不合题意,
所以符合条件的k不存在.(15分)
18.(17分)[2025青岛一中高一月考]某公司为了竞标某活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
18.一元二次不等式+基本不等式
思路导引 (1)设每件定价为t元,根据题意可得关于t的不等式,解之即可;
(2)根据题意可知,当x>25时,不等式ax≥25×8+50++x有解,结合参变量分离法以及基本不等式可求得a的取值范围,利用等号成立的条件求出x的值,即可得出结论.
【解析】 (1)设每件定价为t元,由题意知(8-)t≥25×8=20(价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件;则价格每提高5元,销售量将相应减少1万件),(2分)
整理可得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40,
故要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(7分)
(2)依题意,当x>25时,ax≥25×8+50++x=150+x+有解,
等价于当x>25时,a≥++有解.(11分)
由基本不等式可得++≥2+=10.2,
当且仅当=(x>25)时,即当x=30时,等号成立,则a≥10.2,
所以该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件,
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.(17分)
19.(17分)[2024大连二十四中高一期中]已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+px+q≤0}.
(1)若A∪B=R,且A∩B={x|-2≤x<-1},求实数p及q的值;
(2)在(1)的条件下,若关于x的不等式组没有实数解,求实数a的取值范围;
(3)若B={x|-3≤x≤-1},且关于x的不等式kx2+kx+pq≤0的解集为 ,求实数k的取值范围.
19.【解析】 (1)因为x2-2x-3>0,即(x-3)·(x+1)>0,解得x>3或x<-1,
所以集合A={x|x>3或x<-1}.(1分)
因为A∪B=R,A∩B={x|-2≤x<-1},
所以集合B={x|-2≤x≤3}.(2分)
因为集合B={x|x2+px+q≤0},
所以x=-2和x=3是方程x2+px+q=0的解,
则解得p=-1,q=-6(求解p,q时也可采用根与系数的关系).(4分)
(2)因为p=-1,q=-6,
所以x2-x-6≤0,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3,(6分)
故不等式组没有实数解,即没有实数解,(8分)
故a≥3,实数a的取值范围为{a|a≥3}.(9分)
(3)第一步:由集合B计算出p,q的值
因为B={x|-3≤x≤-1},所以x=-3和x=-1是方程x2+px+q=0的解,
则解得p=4,q=3.(11分)
第二步:由不等式的解集为 ,分类讨论,计算出k的取值范围
不等式kx2+kx+pq≤0,即x2+kx+12≤0,
因为x2+kx+12≤0的解集为 ,
所以若k≠0,则解得0若k=0,x2+kx+12≤0,即12≤0,解集为 .(16分)
综上所述,实数k的取值范围为{k|0≤k<4}.(17分)
