第十一单元 函数的应用(二) A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025龙岩一中月考]函数f(x)=的零点是( )
A.1 B.(1,0)
C.(-1,0) D.-1或1
2.【教材变式】[2024南昌二中高一月考]下列每个图象表示的函数都有零点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )
3.[2025滕州一中高一月考]函数f(x)=lg x-+1的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.[2024马鞍山二中高一开学考试]若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则 “f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2025河南省豫北名校高一联考]方程|x-2|=ln x的根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.【教材变式】[2025盘锦市高级中学高一期中]已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3在区间(0,2)内只有一个零点,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m=-1}
B.{m|m=-1或m=3}
C.{m|m=-1或-
D.{m|m=-1或-7.【情境创新】[2025雅礼中学高一期末]猪血木又名阳春红檀,是我国特有的单种属濒危植物,属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.某地引种猪血木1 000株,假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加,且该地的猪血木数量超过2 000株至少需要经过( )
参考数据:lg 2≈0.3,lg 11≈1.04.
A.9年 B.8年 C.7年 D.6年
8.[2025绍兴一中模拟]已知函数f(2x+1)为偶函数,若函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的零点个数为奇数,则f(1)=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024湖南省株洲市高一期末]已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则( )
A.a>0 B.b>0 C.c=0 D.b>c>a
10.[2025南阳一中高一期末]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且函数g(x)=ax2+bx+c,则下列判断正确的是( )
A.x0=-a
B.函数y=g(x)可能不存在零点
C.函数y=g(x)可能有一个零点
D.函数y=g(x)可能有两个零点
11.[2025天一中学高一期末]已知函数f(x)=若存在四个不同的值x1,x2,x3,x4,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1A.x1+x2=4 B.x3x4=-1
C.1三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【教材变式】[2025扬州中学高一月考]若在用二分法寻找函数f(x)=2x--2(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],[,b],[a,b-],则b-a= .
13.【情境创新】[2024人大附中高一期中]白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞,正常成人白细胞总数为(4.0~10.0)×109/L,可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高,则需进一步探查原因,进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现,在特定实验环境下的某段时间内,可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞数量W(m)(单位:109/L)随用药量m(单位:mg)的变化规律,其中W0(单位:109/L)为初始白细胞数量,K为参数.已知W0=20,用药量为50 mg时,在规定时间后测得白细胞数量为14×109/L,则K= (用含e的式子表示).若使白细胞数量达到正常值,则需将用药量至少提高到 mg(结果保留整数,参考数据:≈1.221).(本题第一空2分,第二空3分)
14.[2024杭州二中高一月考]已知函数f(x)=|-a|-x-1+a,且x∈(0,+∞),若函数y=f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025湖南师大附中高一期中]已知函数f(x)=|2x-2|.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出f(x)的大致图象,并写出f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+a-2的图象与x轴有两个不同的交点,求实数a的取值范围.
16.(15分)[2025福建师大附中高一期末]已知函数f(x)=-+,其中a为常数,且a>1.
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,2)上有唯一的零点.
17.(15分)[2025日照一中高一期末]日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一,因其独特的生长环境和气候条件,具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时,需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明,绿茶用85 ℃的水泡制,等到茶水温度降至55 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据,如下表:
这组数据可以用下图表示:
设茶水温度从85 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,为了刻画茶水温度随时间变化的规律,现给出以下三种函数模型:①y=kx+b(k<0,x≥0);②y=kax+b(k>0,00,0(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型(不需要说明理由),并利用前三组的数据求出相应的解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1).(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
18.(17分)[2024江西师大附中高一月考]已知函数f(x)=x2+ax+,g(x)=ln x.
(1)若函数y=g(f(x))在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值,设函数h(x)=max{f(x),g(x)},x∈(0,+∞),当a≤-2时,求h(x)的图象与x轴的交点个数.
19.(17分)【开放创新】[2024南宁二中高一月考]给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且 .
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈[,27],2f(log3x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若函数g(x)=(2t-1)f(3x)-2×3x-2有且仅有一个零点,求实数t的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.第十一单元 函数的应用(二) A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025龙岩一中月考]函数f(x)=的零点是( )
A.1 B.(1,0)
C.(-1,0) D.-1或1
1.A 令f(x)==0,解得x=1,所以函数f(x)=的零点是1.
2.【教材变式】[2024南昌二中高一月考]下列每个图象表示的函数都有零点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )
2.D 由二分法的定义,可知只有当函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)<0,即函数的零点是变号零点时,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各选项分析可知,选项A,B,C都符合,而选项D不符合,因为在零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求函数零点的近似值.故选D.
3.[2025滕州一中高一月考]函数f(x)=lg x-+1的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
3.C 根据解析式判断函数在定义域上的单调性,再根据函数零点存在定理判断零点所在区间即可.因为y=lg x在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=lg 1-3+1=-2<0,f(2)=lg 2-+1=lg 2-=lg<0,f(3)=lg 3-1+1=lg 3>0,则f(2)·f(3)<0,所以零点所在区间为(2,3).
4.[2024马鞍山二中高一开学考试]若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则 “f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.A 函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,由函数零点存在定理,得当f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立;而函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立,如函数y=x2,在区间(-1,1)内有零点x=0,但f(-1)·f(1)>0,必要性不成立. 则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.
5.[2025河南省豫北名校高一联考]方程|x-2|=ln x的根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B 将方程|x-2|=ln x的根的个数转化为函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)图象交点个数问题,画图分析即可.由题意可转化为函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)图象交点个数问题(对于形如f(x)=g(x)的方程,可依据函数f(x),g(x)的图象交点的个数来判断方程f(x)=g(x)根的个数),在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示,
由图得两个函数图象有2个交点,故原方程根的个数为2.
6.【教材变式】[2025盘锦市高级中学高一期中]已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3在区间(0,2)内只有一个零点,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m=-1}
B.{m|m=-1或m=3}
C.{m|m=-1或-D.{m|m=-1或-6.C 当函数f(x)只有一个零点且在区间(0,2)内时,解得m=-1;当函数f(x)有两个零点时,Δ=(2m)2-4(2m+3)=4m2-8m-12>0,解得m<-1或m>3,又在(0,2)内只有一个零点,则f(0)f(2)<0或或
(利用函数零点存在定理得f(0)f(2)<0,则f(0),f(2)异号,但f(x)有两个零点,f(0),f(2)都有可能是零点,故要考虑到后两种情况),即(2m+3)(7+6m)<0或或解得-7.【情境创新】[2025雅礼中学高一期末]猪血木又名阳春红檀,是我国特有的单种属濒危植物,属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.某地引种猪血木1 000株,假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加,且该地的猪血木数量超过2 000株至少需要经过( )
参考数据:lg 2≈0.3,lg 11≈1.04.
A.9年 B.8年 C.7年 D.6年
7.B 根据题意列出不等式,然后通过对数运算求解不等式得到取值.已知最初引种猪血木1 000株,每年以10%的比例增加,那么n(n∈N*)年后,猪血木的数量为1 000×(1+10%)n,令1 000×(1+10%)n>2 000,即1.1n>2,两边同时取对数,则nlg 1.1>lg 2,因为lg 1.1=lg=lg 11-lg 10≈1.04-1=0.04,所以0.04n>lg 2,即n>≈=7.5,又n∈N*,所以n≥8.
8.[2025绍兴一中模拟]已知函数f(2x+1)为偶函数,若函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的零点个数为奇数,则f(1)=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.D 因为函数f(2x+1)为偶函数,所以f(-2x+1)=f(2x+1),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.令h(x)=21-x+2x-1-5,则h(2-x)=2x-1+21-x-5=h(x),可得函数h(x)=21-x+2x-1-5的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的图象关于直线x=1对称,则函数g(x)的零点关于直线x=1对称,但g(x)的零点个数为奇数,则1为函数g(x)的零点,即g(1)=f(1)+1+1-5=0,所以f(1)=3.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024湖南省株洲市高一期末]已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则( )
A.a>0 B.b>0 C.c=0 D.b>c>a
9.BCD 在同一平面直角坐标系中画出y=2x和y=-x的图象(图略),可得a<0,用同样的方法可得b>0,c=0,所以 b>c>a,故选BCD.
10.[2025南阳一中高一期末]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且函数g(x)=ax2+bx+c,则下列判断正确的是( )
A.x0=-a
B.函数y=g(x)可能不存在零点
C.函数y=g(x)可能有一个零点
D.函数y=g(x)可能有两个零点
10.ACD 根据零点求函数解析式中的参数+函数零点个数
思路导引 根据函数f(x)零点的情况确定b=-1,c=-a,进而得到x0=-a可判断A;讨论a=0和a≠0两种情况可判断B,C,D.
A(√)因为-1和1是f(x)的零点,所以解得b=-1,c=-a,所以f(x)=x3+ax2-x-a=x(x2-1)+a(x2-1)=(x+a)(x2-1),因为x0为函数f(x)的零点,所以x0=-a.
C(√)当a=0时,g(x)=-x有一个零点0.
D(√)当a≠0时,对于g(x)=ax2-x-a,Δ=1+4a2>0,所以y=g(x)有两个零点.
B( )由C,D可知y=g(x)可能有一个零点或两个零点.
11.[2025天一中学高一期末]已知函数f(x)=若存在四个不同的值x1,x2,x3,x4,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1A.x1+x2=4 B.x3x4=-1
C.111.CD 作出f(x)的图象,设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则直线y=t与y=f(x)的图象4个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,再根据对称性和对数运算逐一判断即可.函数f(x)=的图象如图所示,
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0A( )因为y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称,所以x1+x2=-4.
B( )因为|log2x3|=|log2x4|,由图象可得-log2x3=log2x4,所以log2x4+log2x3=log2(x3x4)=0,解得x3x4=1.
C(√)由图象可得0D(√)由图象可知-4三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.【教材变式】[2025扬州中学高一月考]若在用二分法寻找函数f(x)=2x--2(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],[,b],[a,b-],则b-a= .
12.1 f(x)=2x--2(x>1),根据指数函数与反比例函数的性质,可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上至多有一个零点.又由二分法依次确定了零点所在区间为[a,b],[,b],[a,b-],可得=b-,化简得b-a=1.
13.【情境创新】[2024人大附中高一期中]白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞,正常成人白细胞总数为(4.0~10.0)×109/L,可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高,则需进一步探查原因,进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现,在特定实验环境下的某段时间内,可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞数量W(m)(单位:109/L)随用药量m(单位:mg)的变化规律,其中W0(单位:109/L)为初始白细胞数量,K为参数.已知W0=20,用药量为50 mg时,在规定时间后测得白细胞数量为14×109/L,则K= (用含e的式子表示).若使白细胞数量达到正常值,则需将用药量至少提高到 mg(结果保留整数,参考数据:≈1.221).(本题第一空2分,第二空3分)
13. 62 由已知W0=20,m=50,W(50)=14,代入W(m)=-W0ln(Km),则14=-20ln(50K),解得K=,则W(m)=-20ln().令W(m)=-20ln()≤10,即ln()≥-,解得m≥50≈50×1.221=61.05.所以若使白细胞数量达到正常值,则需将用药量至少提高到62 mg.
14.[2024杭州二中高一月考]已知函数f(x)=|-a|-x-1+a,且x∈(0,+∞),若函数y=f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
14.() 函数的零点
思路导引 根据给定条件,按a≤0与a>0讨论,当a>0时,分段去绝对值符号,讨论方程解的情况.
已知分段函数零点个数求参数范围问题,可以按各段零点个数和等于总的零点个数分段讨论解决.当x∈(0,+∞)时,>0,当a≤0时,f(x)=-x-1,且在(0,+∞)上单调递减,则函数y=f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点,不符合题意;当a>0时,f(x)=|-a|-x-1+a=由2a--x-1=0,得x2-(2a-1)x+1=0,此方程最多有两个不相等的实根,又y=-x-1在(0,]上单调递减,所以若函数y=f(x)在(0,+∞)上有三个不同的零点,则y=f(x)在(0,]上有一个零点,在(,+∞)上有两个零点,当x∈(0,]时,由-x-1=0,解得x=,由≤,得00)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,ymin=3,要使函数y=f(x)在(,+∞)上有两个零点,必有<1,此时y=x++1(x>0)在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此3<2a四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025湖南师大附中高一期中]已知函数f(x)=|2x-2|.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出f(x)的大致图象,并写出f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+a-2的图象与x轴有两个不同的交点,求实数a的取值范围.
15.【解析】 (1)因为y=2x-2的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度而得的,
而f(x)=|2x-2|的图象是由y=2x-2的图象保留x轴上方的图象,再将x轴下方的图象沿着x轴向上翻折而得的,
所以f(x)=|2x-2|的大致图象如图, (5分)
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(7分)
(2)因为函数g(x)=f(x)+a-2的图象与x轴有两个不同的交点,
所以f(x)+a-2=0有两个根,即f(x)与y=2-a的图象有两个交点,如图,
结合图象可知,0<2-a<2,解得0即实数a的取值范围为(0,2).(13分)
16.(15分)[2025福建师大附中高一期末]已知函数f(x)=-+,其中a为常数,且a>1.
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,2)上有唯一的零点.
16.【解析】 (1)函数f(x)=-+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),(1分)
f(x)=-+-,
由f(x)是奇函数,得f(-x)+f(x)=++-+-+-=++-1=-1=0,解得a=2(也可用特殊值计算a的值再进行检验).(7分)
(2)函数f(x)=--+,a>1,因为函数y=ax+1在(0,+∞)上单调递增,
所以y=-在(0,+∞)上单调递增,又y=-+在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,(11分)
而f(1)=-<0,f(2)=-+=>0,
所以f(x)在(0,2)上有唯一的零点(函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能判断出零点的个数,所以此处先判断函数f(x)的单调性,再确定零点的个数).(15分)
17.(15分)[2025日照一中高一期末]日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一,因其独特的生长环境和气候条件,具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时,需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明,绿茶用85 ℃的水泡制,等到茶水温度降至55 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据,如下表:
这组数据可以用下图表示:
设茶水温度从85 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,为了刻画茶水温度随时间变化的规律,现给出以下三种函数模型:①y=kx+b(k<0,x≥0);②y=kax+b(k>0,00,0(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型(不需要说明理由),并利用前三组的数据求出相应的解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1).(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
17.【解析】 (1)选择②y=kax+b(k>0,0将题表中前三组的数据代入,得解得(5分)
所以函数模型的解析式为y=60×()x+25(x≥0).(7分)
(2)由(1)中函数模型,得55=60×()x+25,即=()x,(9分)
所以lg=lg()x=xlg,x===≈≈6.5.(14分)
所以刚泡好的绿茶大约放置6.5 min能达到最佳饮用口感.(15分)
18.(17分)[2024江西师大附中高一月考]已知函数f(x)=x2+ax+,g(x)=ln x.
(1)若函数y=g(f(x))在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值,设函数h(x)=max{f(x),g(x)},x∈(0,+∞),当a≤-2时,求h(x)的图象与x轴的交点个数.
18.复合函数的单调性+函数的零点个数
思路导引 (1)由对数函数单调性、二次函数单调性,结合复合函数单调性列出不等式组求解即得.
(2)由x>1时,h(x)≥g(x)=ln x>0,得h(x)无零点,当x∈(0,1]时,g(x)≤0,再讨论f(x)在(0,1]上的零点个数即可求解
【解析】 (1)函数g(x)=ln x在(0,+∞)上是增函数,若g(f(x))=ln(x2+ax+)在(1,+∞)上单调递增,
则f(x)=x2+ax+在(1,+∞)上单调递增,且f(1)≥0,(4分)
.
于是解得a≥-,
所以实数a的取值范围是[-,+∞).(8分)
(2)h(x)的图象与x轴的交点个数即h(x)的零点个数,分类讨论即可.当x>1时,h(x)≥g(x)=ln x>0,因此h(x)在(1,+∞)上无零点.
则只需讨论h(x)在(0,1]上的零点个数,又当x∈(0,1]时,g(x)≤0,所以只需讨论f(x)在(0,1]上的零点个数.(12分)
对于f(x),f(0)=,f(1)=+a,f(x)图象的对称轴为x=-,Δ=a2-1,
当a≤-2时,-≥1,所以f(x)在(0,1]上单调递减,显然f(1)<0,f(0)>0,
则存在唯一的x0∈(0,1),有f(x0)=h(x0)=0,且h(1)=g(1)=0,因此h(x)有2个零点.
综上,当a≤-2时,h(x)的图象与x轴的交点个数为2.(17分)
19.(17分)【开放创新】[2024南宁二中高一月考]给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且 .
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈[,27],2f(log3x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若函数g(x)=(2t-1)f(3x)-2×3x-2有且仅有一个零点,求实数t的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.【解析】 (1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,
f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b,
所以2x-1=2ax+a+b,所以解得
所以二次函数f(x)=x2-2x+c.(4分)
选①.
因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x.(6分)
选②.
设 x1,x2是函数f(x)的两个零点,则|x1-x2|=2,
由根与系数的关系可知x1+x2=2,x1x2=c,
所以|x1-x2|===2,解得c=0,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x.(6分)
(2)由2f(log3x)+m≤0, 得m≤-2f(log3x),
当x∈[,27]时,log3x∈[-2,3],令h=log3x,h∈[-2,3],
所以对任意x∈[,27],2f(log3x)+m≤0恒成立等价于m≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒成立,(8分)
所以m≤[-2f(h)]min=-2f(-2)=-16,
所以实数m的取值范围为(-∞,-16].(9分)
(3)因为函数g(x)=(2t-1)f(3x)-2×3x-2有且仅有一个零点,
令n=3x>0,
所以关于n的方程(2t-1)f(n)-2n-2=0有且仅有一个正实根,
因为f(x)=x2-2x,
所以(2t-1)n2-4tn-2=0有且仅有一个正实根.
当2t-1=0,即t=时,方程可化为-2n-2=0,解得n=-1,不符合题意;(12分)
当2t-1>0,即t>时,
函数y=(2t-1)x2-4tx-2的图象是开口向上的抛物线,且恒过点(0,-2),
所以方程(2t-1)n2-4tn-2=0恒有一个正实根;(14分)
当2t-1<0,即t<时,
要想(2t-1)n2-4tn-2=0有且仅有一个正实根,
则解得t=.(16分)
综上,实数t的取值范围为{t|t>或t=}.(17分)
