第十五单元 三角恒等变换B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.cos2-cos2=( )
A. B. C. D.
1.B cos2-cos2=-(涉及sin2α,cos2α等二次式化简时可考虑降次)=+cos--cos=×-×(-)=.
2.已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)=( )
A.- B.- C. D.
2.D 对已知条件两边同时平方,再将所得式子相加,结合两角差的余弦公式的逆用进行化简计算.因为sin α-sin β=1-,所以(sin α-sin β)2=sin2α-2sin αsin β+sin2β=-.因为cos α-cos β=,所以(cos α-cos β)2=cos2α-2cos αcos β+cos2β=.所以(cos2α+sin2α)+(cos2β+sin2β)-2(cos αcos β+sin αsin β)=+(-),所以1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-,所以2-2cos(α-β)=2-,故cos(α-β)=.
3.tan 35°+tan 100°+tan 35°tan 80°=( )
A.tan 65° B.-tan 65° C.-1 D.1
3.C 利用两角和的正切公式并结合诱导公式化简原式即得.由两角和的正切公式得tan 35°+tan 100°=tan(100°+35°)(1-tan 35°tan 100°)=tan 135°(1-tan 35°tan 100°)=-1×(1-tan 35°tan 100°)=tan 35°tan 100°-1,由诱导公式得tan 80°=tan(180°-100°)=-tan 100°,则原式可化为tan 35°tan 100°-1-tan 35°tan 100°=-1.
4.已知角α的终边按逆时针方向旋转后落在射线y=2x(x≥0)上,则sin 2α的值是( )
A. B.- C.- D.
5.已知sin α=,cos(α-β)=,且0<α<,0<β<,则sin β=( )
A. B. C. D.或
5.B 因为sin α=<且0<α<,所以0<α<,所以cos α==,又0<β<,所以-<α-β<,又cos(α-β)=,所以sin(α-β)=±=±.当sin(α-β)=时,sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=-,因为0<β<,所以sin β>0,所以sin β=-不符合题意,舍去;当sin(α-β)=-时,sin β=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×(-)=,符合题意.综上所述,sin β=.
6.a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有( )
A.c
C.b6.D 由三角恒等变换化简可得a=sin 24°,b=sin 26°,c=sin 25°,根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小.∵a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,b====2sin 13°cos 13°=sin 26°,c===sin 25°,0°<24°<25°<26°<90°,∴sin 24°7.在△ABC中,sin B=4sin Acos C,则当tan(C-A)取最大值时,C=( )
A. B. C. D.
7.A 由sin B=4sin Acos C,得sin(A+C)=4sin Acos C(在三角形中,要善于利用隐形条件sin B=sin(A+C)进行角的转化),即sin Acos C+cos Asin C=4sin Acos C,所以cos Asin C=3sin Acos C.易知cos Acos C≠0,则tan C=3tan A,所以tan(C-A)==.
方法一 易知tan A>0,所以tan(C-A)=≤=,当且仅当tan A=时,tan(C-A)取得最大值,此时tan C=3tan A=,所以C=.
方法二 易知tan A>0,所以tan(C-A)=,令t=tan A,f(t)=3t+,因为t>0,所以由对勾函数的性质易得f(t)的最小值为2,当且仅当t=时取最小值,所以tan(C-A)≤,此时tan C=3tan A=,所以C=.
8.【模块综合】定义域为R的奇函数f(x)=.若存在θ∈[-,0],使得f(sin θcos θ)+f(k-cos2θ)>0成立,则实数k的取值范围为( )
A.(2,+∞) B.(,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,)
8.D 第一步:根据函数的奇偶性确定a的值
∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)==0,解得a=1,检验当a=1时,f(x)是奇函数,∴f(x)==-=-=-+.
第二步:分析函数的性质
由指数函数的性质可得f(x)在R上为减函数.
第三步:对题干中不等式进行分析与转化
由f(sin θcos θ)+f(k-cos2θ)>0得f(sin θcos θ)>-f(k-cos2θ)=f(-k+cos2θ),∴sin θcos θ<-k+cos2θ(通过外层函数的单调性和奇偶性把“f”脱掉),即存在θ∈[-,0],使得k第四步:通过三角恒等变换化简第三步中的g(θ),并求其最大值
g(θ)=-sin 2θ=-sin(2θ-),∵θ∈[-,0],∴2θ-∈[-,-],∴sin(2θ-)∈[-1,-],∴g(θ)max=-(-1)=.
第五步:确定k的取值范围
∴k<,即实数k的取值范围为(-∞,).
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知tan α=4,tan β=-,则( )
A.α为第一象限角 B.tan(-α)tan β=1
C.tan(β+)= D.tan 2α=tan 2β
9.BCD A( )∵tan α=4>0,∴α为第一象限角或第三象限角.
B(√)∵tan α=4,tan β=-,∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1.
C(√)tan(β+)===.
D(√)∵tan α=4,tan β=-,∴tan 2α===-,tan 2β==-=tan 2α.
10.已知f(x)=cos x·sin(x-),则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ],k∈Z
B.若x为锐角,则函数f(x)的最大值是
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.若x为钝角,则函数f(x)没有最小值
10.BC f(x)=cos x·sin(x-)=cos x(sin xcos-cos xsin)=cos xsin x-cos2x=sin 2x-=(sin 2x-)-=sin(2x-)-.
A( )令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
B(√)当0C(√)当x=时,f()=sin(2×-)-=sin-=,此时函数取到最大值,故直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.
D( )当11.由两角和与差的余弦公式我们得到二倍角的余弦公式cos 2θ=2cos2θ-1,实际上cos 3θ也可以表示为cos θ的三次多项式,像18°,36°,54°,72°这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系,进而求出各自的三角函数值.则下列说法正确的是( )
A.cos 3θ=4cos3θ-3cos θ
B.cos 72°=
C.已知方程4x3-3x-=0在(-1,1)上有三个根,记为x1,x2,x3,则4+4+4=
D.对于任意的θ∈R,当α=72°时,一定有cos θ+cos(θ+α)+cos(θ+2α)+cos(θ+3α)+cos(θ+4α)=0
11.ACD 列表【解析】直观解疑惑
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.sin280°+sin240°-sin 40°cos 10°= .
12. 原式=cos210°+sin240°-sin 40°cos 10°=cos210°+sin2(30°+10°)-sin(30°+10°)cos 10°=cos210°+(cos 10°+sin 10°)2-(cos 10°+sin 10°)cos 10°=(sin210°+cos210°)=.
13.【数学文化】《九章算术》中“勾股”章有这样一个题(如图1):“今有井,径五尺,不知其深.立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸.问:井深几何 ”其算法为==5丈7尺5寸.如图2,已知一口井的井径AD=4-,立木ED=,从木末E望水岸B的俯角为75°,则这口井的井深AB为 .
13.5+ 由题意,∠CED=15°,在Rt△CDE中,CD=ED·tan∠CED=tan 15°=×tan(45°-30°)=×=×=2-3(利用角的拆分将非特殊角转化为特殊角的和、差形式求解),所以井深AB===5+.
14.已知函数f(x)=asin x+cos x,且满足f(x)≤f(),则a= ;若函数f(x)在区间[x1,x2]上单调,且f(x1)+f(x2)=0,则cos(x1+x2)= .(本题第一空2分,第二空3分)
14. 辅助角公式+正弦型函数图象的对称性
思路导引 利用辅助角公式得到f(x)=sin(x+φ),tan φ=.由f(x)≤f()得到方程+φ=+2kπ,k∈Z,求出φ=+2kπ,k∈Z,a=,从而得到f(x)=sin(x+).结合题目条件得到点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于f(x)图象的对称中心对称,故x1+x2=-+2kπ,k∈Z,从而求出cos(x1+x2).
因为f(x)=asin x+cos x=sin(x+φ),其中tan φ=,且f(x)≤f(),所以f(x)max=f()=sin(+φ)=,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以tan φ=tan(+2kπ)==,解得a=,所以f(x)=sin(x+).又因为f(x)在区间[x1,x2]上单调,且f(x1)+f(x2)=0,所以点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于f(x)图象的对称中心对称,易知f(x)图象的对称中心为(-+kπ,0),k∈Z,所以x1+x2=-+2kπ,k∈Z,所以cos(x1+x2)=cos(-+2kπ)=-.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3.
(1)求tan 4α的值;
(2)求tan的值.
15.【解析】 (1)tan 2α=tan[(α+β)-(β-α)]===-,(4分)
故tan 4α=tan(2×2α)==-.(7分)
(2)tan(α-β)=tan[-(β-α)]=-tan(β-α)=-3,(tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-3),(10分)
则有-3=,解得tan=.(13分)
16.(15分)已知cos(α+β)=,tan β=,且α,β∈(0,).
(1)求cos4β-sin4β+sin βcos β的值;
(2)求2α+β的值.
16.【解析】 (1)∵tan β=,
∴cos4β-sin4β+sin βcos β=(cos2β+sin2β)(cos2β-sin2β)+sin βcos β=cos2β-sin2β+sin βcos β====.(6分)
(2)方法一 ∵cos(α+β)=>0,且α+β∈(0,π),
∴α+β∈(0,),则sin(α+β)==,
∴cos 2(α+β)=2cos2(α+β)-1=2×-1=,
sin 2(α+β)=2sin(α+β)cos(α+β)=.(9分)
由tan β==,sin2β+cos2β=1,β∈(0,),解得
∴cos(2α+β)=cos[2(α+β)-β]=cos 2(α+β)cos β+sin 2(α+β)sin β=×+×=,(13分)
又α+β∈(0,),α∈(0,),∴2α+β∈(0,π),
∴2α+β=.(15分)
方法二 ∵cos(α+β)=>0,且α+β∈(0,π),
∴α+β∈(0,),则sin(α+β)==,
∴tan(α+β)==.(8分)
又∵tan(α+β)==,tan β=,
∴tan α=,(11分)
∴tan(2α+β)=tan(α+β+α)===1.
又α+β∈(0,),α∈(0,),∴2α+β∈(0,π),
∴2α+β=.(15分)
17.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,若f(-)=1,求sin B+sin C的最大值.
17.【解析】 (1)依题意,f(x)=sin(+x)sin[-(+x)]+sin 2x=sin(+x)cos(+x)+sin 2x=sin(+2x)+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
所以函数f(x)的最小正周期T==π.(7分)
(2)由(1)知,f(-)=sin[2(-)+]=sin(A+)=1,
在△ABC中,0sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+cos B+sin B=sin B+cos B=sin(B+),
显然0所以sin B+sin C的最大值为. (15分)
18.(17分)某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园,为了充分利用这块草坪,要求该矩形ABCD的四个顶点都落在边界上.经过测量,在扇形OMN中,OM=20 m,∠MON=,记∠MOD=α,共设计了两个方案.
方案一:如图1,点A,B在半径OM上,点C在半径ON上,D是扇形弧上的动点,此时矩形ABCD的面积记为S1;
方案二:如图2,点A,B分别在半径OM和ON上,点C,D在扇形弧上,AB∥MN,记此时矩形ABCD的面积为S2.
(1)分别用α表示两个方案中矩形ABCD的面积S1,S2;
(2)分别求出两个方案中矩形ABCD面积的最大值,若面积越大方案越好,你会选择哪个方案
18.【解析】 (1)如图1,在Rt△OAD中,∠MOD=α,OD=20,
所以OA=20cos α,BC=AD=20sin α.
在Rt△OBC中,OB=BC=sin α,AB=OA-OB=20cos α-sin α.
则S1=BC·AB=20sin α(20cos α-sin α),0<α<.(4分)
如图2,过点D作DE⊥OM于点E,过点O作CD的垂线,交弧于点P,
在Rt△ODE中,∠MOD=α,OD=20,所以OE=20cos α,DE=20sin α.
由扇形和矩形的对称性可得,∠NOP=∠MOP=∠MON=,
则在Rt△ADE中,∠MAD=∠POM=,则AD=2DE=40sin α,
AE=DE=20sin α,AB=OA=OE-AE=20cos α-20sin α.
则S2=AD·AB=40sin α(20cos α-20sin α),0<α<.(8分)
(2)方案一:
S1=20sin α(20cos α-sin α)=400[sin 2α-(1-cos 2α)]=sin(2α+)-,
由0<α<,得<2α+<,
当2α+=,即α=时,S1取最大值,最大值为 m2.(12分)
方案二:
S2=40sin α(20cos α-20sin α)=400[sin 2α-(1-cos 2α)]=800sin(2α+)-400,
由0<α<,得<2α+<π,
所以当2α+=,即α=时,S2取最大值,最大值为(800-400)m2.(15分)
因为(S1)max-(S2)max=-(800-400)=>0,
所以(S1)max>(S2)max,故选方案一.(17分)
19.(17分)【探索新定义】若函数f(x)满足:存在实数m(m≠0),k,使得对于定义域内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x+k)+f(x-k)成立,则称函数f(x)为“可平衡”函数,有序数对(m,k)称为函数f(x)的“平衡”数对.
(1)若m=,当k满足什么条件时,f(x)=sin x为“可平衡”函数 并说明理由.
(2)是否存在(m,k)为函数f(x)=cos2x(019.【解析】 (1)当f(x)=sin x为“可平衡”函数时,
由题意可得f(x)=f(x+k)+f(x-k)对于定义域内的任意实数x均成立,
即sin x=sin(x+k)+sin(x-k)对于定义域内的任意实数x均成立,(2分)
所以sin x=sin xcos k+cos xsin k+sin xcos k-cos xsin k,即(-2cos k)sin x=0对于定义域内的任意实数x均成立,(4分)
则-2cos k=0,即cos k=,解得k=2nπ±(n∈Z),
所以当m=,k=2nπ±(n∈Z)时,函数f(x)=sin x为“可平衡”函数.(7分)
(2)假设存在实数m(m≠0),k,使得f(x)=cos2x对于定义域内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x+k)+f(x-k)成立,
则mcos2x=cos2(x+k)+cos2(x-k)对于定义域内的任意实数x均成立,
即m·=+,(9分)
即m(1+cos 2x)=2+2cos 2xcos 2k,
即(m-2cos 2k)cos 2x+m-2=0对于定义域内的任意实数x均成立.(12分)
因为0所以即m=2,cos 2k=1,解得k=nπ(n∈Z).
所以存在m=2,k=nπ(n∈Z)使函数f(x)=cos2x为“可平衡”函数,即存在(2,nπ)(n∈Z)为函数f(x)=cos2x(0（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.cos2-cos2=( )
A. B. C. D.
2.已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)=( )
A.- B.- C. D.
3.tan 35°+tan 100°+tan 35°tan 80°=( )
A.tan 65° B.-tan 65° C.-1 D.1
4.已知角α的终边按逆时针方向旋转后落在射线y=2x(x≥0)上,则sin 2α的值是( )
A. B.- C.- D.
5.已知sin α=,cos(α-β)=,且0<α<,0<β<,则sin β=( )
A. B. C. D.或
6.a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有( )
A.cC.b7.在△ABC中,sin B=4sin Acos C,则当tan(C-A)取最大值时,C=( )
A. B. C. D.
8.【模块综合】定义域为R的奇函数f(x)=.若存在θ∈[-,0],使得f(sin θcos θ)+f(k-cos2θ)>0成立,则实数k的取值范围为( )
A.(2,+∞) B.(,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,)
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知tan α=4,tan β=-,则( )
A.α为第一象限角 B.tan(-α)tan β=1
C.tan(β+)= D.tan 2α=tan 2β
10.已知f(x)=cos x·sin(x-),则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ],k∈Z
B.若x为锐角,则函数f(x)的最大值是
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.若x为钝角,则函数f(x)没有最小值
11.由两角和与差的余弦公式我们得到二倍角的余弦公式cos 2θ=2cos2θ-1,实际上cos 3θ也可以表示为cos θ的三次多项式,像18°,36°,54°,72°这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系,进而求出各自的三角函数值.则下列说法正确的是( )
A.cos 3θ=4cos3θ-3cos θ
B.cos 72°=
C.已知方程4x3-3x-=0在(-1,1)上有三个根,记为x1,x2,x3,则4+4+4=
D.对于任意的θ∈R,当α=72°时,一定有cosθ+cos(θ+α)+cos(θ+2α)+cos(θ+3α)+cos(θ+4α)=0
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.sin280°+sin240°-sin 40°cos 10°= .
13.【数学文化】《九章算术》中“勾股”章有这样一个题(如图1):“今有井,径五尺,不知其深.立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸.问:井深几何 ”其算法为==5丈7尺5寸.如图2,已知一口井的井径AD=4-,立木ED=,从木末E望水岸B的俯角为75°,则这口井的井深AB为 .
14.已知函数f(x)=asin x+cos x,且满足f(x)≤f(),则a= ;若函数f(x)在区间[x1,x2]上单调,且f(x1)+f(x2)=0,则cos(x1+x2)= .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3.
(1)求tan 4α的值;
(2)求tan的值.
16.(15分)已知cos(α+β)=,tan β=,且α,β∈(0,).
(1)求cos4β-sin4β+sin βcos β的值;
(2)求2α+β的值.
17.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,若f(-)=1,求sin B+sin C的最大值.
18.(17分)某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园,为了充分利用这块草坪,要求该矩形ABCD的四个顶点都落在边界上.经过测量,在扇形OMN中,OM=20 m,∠MON=,记∠MOD=α,共设计了两个方案.
方案一:如图1,点A,B在半径OM上,点C在半径ON上,D是扇形弧上的动点,此时矩形ABCD的面积记为S1;
方案二:如图2,点A,B分别在半径OM和ON上,点C,D在扇形弧上,AB∥MN,记此时矩形ABCD的面积为S2.
(1)分别用α表示两个方案中矩形ABCD的面积S1,S2;
(2)分别求出两个方案中矩形ABCD面积的最大值,若面积越大方案越好,你会选择
哪个方案
19.(17分)【探索新定义】若函数f(x)满足:存在实数m(m≠0),k,使得对于定义域内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x+k)+f(x-k)成立,则称函数f(x)为“可平衡”函数,有序数对(m,k)称为函数f(x)的“平衡”数对.
(1)若m=,当k满足什么条件时,f(x)=sin x为“可平衡”函数 并说明理由.
(2)是否存在(m,k)为函数f(x)=cos2x(0
