第十五单元 三角恒等变换A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025洛阳一高高一期末]sin 40°cos 20°+cos 40°cos 70°=( )
A. B. C. D.1
2.[2025深圳外国语中学高一期末]已知角α的终边过点(4,-3),则sin 2α=( )
A. B.- C. D.-
3.[2025山西大学附中高一期末]已知α为锐角,若cos(α+)=,则sin α=( )
A. B. C. D.
4.[2024新课标Ⅰ卷]已知cos(α+β)=m,tan α·tan β=2,则cos(α-β)=( )
A.-3m B.- C. D.3m
5.[2025云南省昭通市高一期末]若△ABC中,tan A和tan B是关于x的方程x2-sin2θ·x+cos2θ=0的两根,则C=( )
A. B. C. D.
6.[2025郑州外国语学校高一下开学考试]已知函数f(x)=2sin 2xcos 2x+sin42x-cos42x,则f(x)的最小正周期和最小值分别为( )
A.,--1 B.,-2 C.π,--1 D.π,-2
7.【数学文化】[2024青岛二中期末]1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割.在直角三角形中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc(角)表示,则csc 10°-sec 10°=( )
A. B.2 C.4 D.8
8.[2025福州一中高一期末]若α,β∈(,π),且tan α=,则下列结论正确的是( )
A.2α-β= B.2α+β= C.2α-β= D.2α+β=
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024安阳一中高一期末]下列各式的值为的是( )
A.sin B.2sin sin
C.(cos+sin ) D.
10.[2024九省区联考]已知函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )
A.函数f(x-)为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间(,)单调递增
D.f(x)的最小值为-2
11.[2025太原五中高一期末]已知tan α=3tan β,α,β∈(0,),则下列说法正确的是( )
A.若α=,则tan(α+β)=2
B.若α=2β,则α+β=
C.tan(α-β)的最大值为
D.=
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025长春市实验中学高一期末]已知sin α=,α∈(,π),cos β=-,β是第三象限角,则cos(α-β)的值是 .
13.【教材变式】[2024复旦大学附中开学考试改编]在等腰三角形中,已知顶角的余弦值是,则底角的余弦值是 .
14.[2024邯郸一中高一期末]某市规划局计划对一个扇形公园进行改造,经过对公园AOB区域(如图所示)测量得知,其半径为2 km,圆心角为,规划局工作人员在上取一点C,作CD∥OA,交线段OB于点D,作CE⊥OA,垂足为E,形成三角形CDE健步跑道,则跑道CD长度的最大值为 km.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025长郡中学高一期末]已知α,β为锐角,tan α=2,sin(α-β)=.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan β的值.
16.(15分)[2024深圳实验学校高一期末]化简或证明:
(1);
(2)=.
17.(15分)[2024辽宁省实验中学月考]已知α∈(0,π),sin α+cos α=,且cos α(1)求角α的大小;
(2)若x∈R,求函数f(x)=sin x+2sin2(+α)的值域.
18.(17分)[2025黑龙江省实验中学月考改编]如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点在坐标原点,以x轴非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆O分别交于A,B两点,x轴的非负半轴与单位圆O交于点M,已知S△OAM=,点B的横坐标是-.
(1)求点A的坐标;
(2)求cos(α-β)的值;
(3)求2α-β的值.
19.(17分)【模块综合】[2025许昌高级中学高一期末]若f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+cos 2x+a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)若<β<,且f(β)=-1,求角β;
(3)在(2)的条件下,若关于x的方程msin(x+β)+sin xcos x+=2m2(m>0)在区间[0,π]上有且仅有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.第十五单元 三角恒等变换A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025洛阳一高高一期末]sin 40°cos 20°+cos 40°cos 70°=( )
A. B. C. D.1
1.C 观察到题中所给式子前后角度不统一,故考虑先应用诱导公式,再逆用两角和的正弦公式求解.sin 40°cos 20°+cos 40°cos 70°=sin 40°cos 20°+cos 40°sin 20°=sin(40°+20°)=sin 60°=.
2.[2025深圳外国语中学高一期末]已知角α的终边过点(4,-3),则sin 2α=( )
A. B.- C. D.-
2.D 根据三角函数的定义求出sin α,cos α,结合二倍角的正弦公式计算即可求解.由题意知,sin α==-,cos α==,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-)×=-.
3.[2025山西大学附中高一期末]已知α为锐角,若cos(α+)=,则sin α=( )
A. B.
C. D.
3.A 因为α为锐角,所以α+∈(,),又cos(α+)=,所以sin(α+)==,所以sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=.
4.[2024新课标Ⅰ卷]已知cos(α+β)=m,tan α·tan β=2,则cos(α-β)=( )
A.-3m B.- C. D.3m
4.A 由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m ①.由tan αtan β=2得=2 ②,由①②得所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
5.[2025云南省昭通市高一期末]若△ABC中,tan A和tan B是关于x的方程x2-sin2θ·x+cos2θ=0的两根,则C=( )
A. B. C. D.
5.D 利用根与系数的关系并结合两角和的正切公式可求出tan(A+B)的值,再根据诱导公式得出tan C,即可求得角C的值.由题意,tan A+tan B=sin2θ,tan A·tan B=cos2θ,所以tan(A+B)===1,由于tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故tan C=-1,又06.[2025郑州外国语学校高一下开学考试]已知函数f(x)=2sin 2xcos 2x+sin42x-cos42x,则f(x)的最小正周期和最小值分别为( )
A.,--1 B.,-2
C.π,--1 D.π,-2
6.B 利用三角恒等变换把函数变形为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,利用T=求出最小正周期,利用整体法求出最小值.f(x)=sin 4x+(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=sin 4x-cos 4x=2sin(4x-),故f(x)的最小正周期为=,当4x-=-+2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值,最小值为-2.
7.【数学文化】[2024青岛二中期末]1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割.在直角三角形中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc(角)表示,则csc 10°-sec 10°=( )
A. B.2 C.4 D.8
7.C 依题意,10°角可视为某直角三角形的内角,由锐角三角函数定义及已知得csc 10°=,sec 10°=,所以csc 10°-sec 10°=-====4.
8.[2025福州一中高一期末]若α,β∈(,π),且tan α=,则下列结论正确的是( )
A.2α-β= B.2α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024安阳一中高一期末]下列各式的值为的是( )
A.sin
B.2sin sin
C.(cos+sin )
D.
9.ABD A(√)sin=sin=.
B(√)2sinsin=2sincos=sin=.
C( )(cos+sin)=cos +sin=sincos+cossin=sin(+)=sin=.
D(√)=×=tan=.
10.[2024九省区联考]已知函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )
A.函数f(x-)为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间(,)单调递增
D.f(x)的最小值为-2
10.AC f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+π)=-sin 2x(题眼).
A(√)f(x-)=-sin 2(x-)=-sin(2x-)=cos 2x,故函数f(x-)为偶函数.
B( )令2x=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,故曲线y=f(x)的对称轴为直线x=+,k∈Z.
C(√)令t=2x,则当x∈(,)时,t=2x∈(,π),因为y=sin t在(,π)单调递减,所以y=-sin t在(,π)单调递增,即f(x)在(,)单调递增.
D( )函数f(x)=-sin 2x的最小值为-.
11.[2025太原五中高一期末]已知tan α=3tan β,α,β∈(0,),则下列说法正确的是( )
A.若α=,则tan(α+β)=2
B.若α=2β,则α+β=
C.tan(α-β)的最大值为
D.=
11.ABD A(√)若α=,则tan α=1,tan β=tan α=,∴tan(α+β)===2.
B(√)若α=2β,则tan α=tan 2β==3tan β,由β∈(0,)得,tan β>0,故=3,解得tan β=,∴β=,α=,故α+β=.
C( )tan(α-β)===≤=,当且仅当tan β=时等号成立.
D(√)由tan α=3tan β得=,即sin αcos β=3sin βcos α,∴===.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025长春市实验中学高一期末]已知sin α=,α∈(,π),cos β=-,β是第三象限角,则cos(α-β)的值是 .
12.- 利用同角三角函数的基本关系得出cos α,sin β,再利用两角差的余弦公式求解即可.由sin α=,α∈(,π),得cos α=-=-=-,又由cos β=-,β是第三象限角,得sin β=-=-=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×(-)=-.
13.【教材变式】[2024复旦大学附中开学考试改编]在等腰三角形中,已知顶角的余弦值是,则底角的余弦值是 .
13. 设顶角为α,底角为β,则α+2β=π,cos α=,又∵cos α=1-2sin2,∈(0,),∴sin===,∴cos β=cos=sin=.
14.[2024邯郸一中高一期末]某市规划局计划对一个扇形公园进行改造,经过对公园AOB区域(如图所示)测量得知,其半径为2 km,圆心角为,规划局工作人员在上取一点C,作CD∥OA,交线段OB于点D,作CE⊥OA,垂足为E,形成三角形CDE健步跑道,则跑道CD长度的最大值为 km.
14. 三角恒等变换+三角函数在生活中的应用
解题路线 过点O作CD的垂线,垂足为F,连接OC,设∠COA=θ(0<θ≤)→CE=OF=2sin θ,OE=CF=2cos θ,且DF=sin θ→CD=CF+DF=sin(θ+)→结合三角函数的性质,即可求解.
如图所示,过点O作CD的垂线,垂足为F,连接OC,设∠COA=θ(0<θ≤),则CE=OF=2sin θ,OE=CF=2cos θ,又DF=OFtan=sin θ(因为CD∥OA,OF⊥CD,所以∠DOF=),所以CD=CF+DF=2cos θ+sin θ=(sin θ+cos θ)=sin(θ+).因为0<θ≤,所以<θ+≤,当θ+=,即θ=时,CD取到最大值 km.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025长郡中学高一期末]已知α,β为锐角,tan α=2,sin(α-β)=.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan β的值.
15.【解析】 (1)因为tan α=2,
所以cos 2α=cos2α-sin2α====-(已知tan α,求齐次式cos2α-sin2α的值,可借助1=cos2α+sin2α化弦为切).(5分)
(2)第一步:由sin(α-β)=,求得tan(α-β)的值
由α,β为锐角,知-<α-β<,而sin(α-β)=,
则cos(α-β)==,于是得tan(α-β)=.(9分)
第二步:根据tan β=tan[α-(α-β)]可求tan β的值
所以tan β=tan[α-(α-β)]===1.(13分)
16.(15分)[2024深圳实验学校高一期末]化简或证明:
(1);
(2)=.
16.【解析】 (1)原式=
=
=
=tan(α+β).(7分)
(2)左边=
(看到1+sin 2α这个结构,想到升次公式1±sin 2α=(sin α±cos α)2)
=
=
=
=右边.(15分)
17.(15分)[2024辽宁省实验中学月考]已知α∈(0,π),sin α+cos α=,且cos α(1)求角α的大小;
(2)若x∈R,求函数f(x)=sin x+2sin2(+α)的值域.
17.【解析】 (1)由sin α+cos α=,sin2α+cos2α=1,
得2sin αcos α=(sin α+cos α)2-1=()2-1=.(3分)
即sin 2α=2sin αcos α=,
所以2α=或,α=或.
又cos α所以α=.(7分)
(2)第一步:利用三角恒等变换与辅助角公式得到f(x)=sin(x+)+1
f(x)=sin x+2sin2(+α)=sin x+2sin2(+)=sin x+1-cos(x+)=sin x+cos x+1=sin(x+)+1.(13分)
第二步:结合正弦型函数的性质可得结果
因为x∈R,所以sin(x+)+1∈[-+1,+1],即f(x)的值域为[-+1,+1].(15分)
18.(17分)[2025黑龙江省实验中学月考改编]如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点在坐标原点,以x轴非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆O分别交于A,B两点,x轴的非负半轴与单位圆O交于点M,已知S△OAM=,点B的横坐标是-.
(1)求点A的坐标;
(2)求cos(α-β)的值;
(3)求2α-β的值.
18.两角差的正弦、余弦公式
思路导引 (1)根据已知条件求出α的正弦、余弦值,即得点A的坐标.
(2)求出β的正弦、余弦值,结合(1)利用两角差的余弦公式计算作答.
(3)利用(1)(2)中信息求出sin(2α-β),再讨论2α-β的范围求解作答.
【解析】 (1)由题意知,OA=OM=1,点A(cos α,sin α),则有S△OAM=OM·sin α=,解得sin α=,(2分)
又α为锐角,则cos α==.(3分)
所以A(,).(4分)
(2)因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是-,所以cos β=-,sin β==,(5分)
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×(-)+×=-.(8分)
(3)由(1)(2)知sin α=,cos α=,sin β=,cos β=-,
则sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×(-)-×=-,(10分)
从而sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=×(-)+×(-)=-.(13分)
因为α为锐角,sin α=>,所以α∈(,),即2α∈(,π),又β∈(,π),因此2α-β∈(-,),
所以2α-β=-.(17分)
19.(17分)【模块综合】[2025许昌高级中学高一期末]若f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+cos 2x+a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)若<β<,且f(β)=-1,求角β;
(3)在(2)的条件下,若关于x的方程msin(x+β)+sin xcos x+=2m2(m>0)在区间[0,π]上有且仅有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
19.三角恒等变换与三角函数性质的综合
思路导引 (1)利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,根据函数的最大值为1列方程可求常数a的值;
(2)根据f(β)=-1求出sin(2β+)=,再结合角的范围即可求角β的值;
(3)由(2)知β=,原方程通过t=sin(x+)换元可得关于t的方程,求出两根,再根据t=sin(x+)的范围及题意分类讨论m,即可求实数m的取值范围.
【解析】 (1)f(x)=sin 2x·cos+cos 2x·sin+sin 2x·cos-cos 2x·sin+cos 2x+a=2sin 2x·cos+cos 2x+a=sin 2x+cos 2x+a=2sin(2x+)+a,(2分)
∵x∈R,∴-1≤sin(2x+)≤1,
∴f(x)max=2+a=1,∴a=-1.(4分)
(2)∵f(β)=2sin(2β+)-1=-1,∴sin(2β+)=.
∵<β<,∴<2β<π,∴<2β+<,∴2β+=,
∴β=.(9分)
(3)由(2)知β=,则方程msin(x+)+sin xcos x+-2m2=0在[0,π]上有且仅有两个不同的实数根.
令t=sin(x+),t∈[-1,1],则t2=sin2(x+)=(sin x+cos x)2=(1+2sin xcos x),
∴sin xcos x=t2-(换元思想的应用).(11分)
∵x∈[0,π],
∴x+∈[,],∴t=sin(x+)∈[-,1],
则原方程可化为mt+t2-+-2m2=0,整理得t2+mt-2m2=0,
即(t-m)(t+2m)=0,∴t=m或t=-2m.(12分)
∵关于x的方程有且仅有两个根,且m>0,
∴易知m≥1时不满足题意,①当≤m<1时,-2<-2m≤-,
此时sin(x+)=m有两个根,sin(x+)=-2m无解,满足题意.(14分)
②当0要使原方程有两个根,则sin(x+)=-2m有1个根,
则需-≤-2m<0 0综上,m的取值范围为{m|≤m<1或0
