第十四单元 三角函数的图象与性质B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.函数f(x)=cos(x+1)的最小正周期为( )
A.4 B.4π C.π D.1
1.A f(x)=cos(x+1)的最小正周期T==4.
2.已知函数f(x)=lg(tan 2x),则f(x)的定义域为( )
A.(kπ,+kπ),k∈Z
B.(,+),k∈Z
C.(2kπ,+2kπ),k∈Z
D.(,+),k∈Z
2.D 由题意可得tan 2x>0,则kπ<2x<+kπ,k∈Z
3.已知a=sin 54°,b=cos 54°,c=tan 54°,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b3.C sin 54°>sin 45°=,cos 54°tan 45°=1,又sin 54°<1,∴b4.函数f(x)=的部分图象大致是( )
4.B 因为f(x)==(x≠0),f(-x)=-=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,由此排除A,C选项.当00,排除D选项.故选B.
5.函数f(x)=min{sin|x|,|cos x|}的最小值和最大值分别为( )
A.-1,1 B.-1,
C.0,1 D.0,
5.B 画出y=sin|x|的图象如图1,
画出y=|cos x|的图象如图2,
将两个图象画在一起,取下方图象即可得到f(x)=min{sin|x|,|cos x|}的图象,如图3,
根据图象可知,函数f(x)=min{sin|x|,|cos x|}的最小值和最大值分别为-1,.
6.已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,当-5≤x≤0时,f(x)的图象如图所示,则不等式<0的解集为( )
A.(-π,-2)∪(0,2)∪(π,5]
B.(-π,-2)∪(π,5]
C.[-5,-2)∪(0,π)∪(π,5]
D.[-5,-2)∪(π,5]
6.A f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,观察图象结合偶函数性质,得f(x)>0的解集为[-5,-2)∪(2,5],f(x)<0的解集为(-2,2).当x∈[-5,5]时,sin x>0的解集为[-5,-π)∪(0,π),sin x<0的解集为(-π,0)∪(π,5].不等式<0等价于或由得其解集为(-π,-2)∪(π,5];由得其解集为(0,2).综上,不等式<0的解集为(-π,-2)∪(0,2)∪(π,5].
7.设ω>0,已知f(x)=sin(3ωx+)cos(2ωx-)在(0,2π)上有10个零点,则ω的取值范围是( )
A.(,] B.(,]
C.(,] D.(,]
7.C 令f(x)=0,则sin(3ωx+)=0或cos(2ωx-)=0,∴3ωx+=k1π或2ωx-=+k2π,k1,k2∈Z,即x=-+或x=+,k1,k2∈Z,则当x>0,ω>0时,零点从小到大依次为x=,,,,,,,,,,,…,∴<2π≤,解得<ω≤,即ω的取值范围为(,].
8.已知点A(,0)在函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的图象上,若f(x)≤f()恒成立,且f(x)在区间(,)上单调,则=( )
A.- B.- C.- D.-
8.B 设f(x)的最小正周期为T,∵f(x)在区间(,)上单调,∴-=≤,即T≥.∵点A(,0)在函数f(x)的图象上,∴A(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心.又∵f(x)≤f()恒成立,∴x=是函数f(x)图象的一条对称轴.-=,则=T,k∈Z,则T=,k∈Z,又T≥,∴k=0,T=,则=,可得ω=4,则f(x)=cos(4x+φ).由题意,f(x)max=f()=cos(+φ)=1,则+φ=2kπ,k∈Z,φ=-+2kπ,k∈Z,∵-π<φ<0,∴φ=-,故==-.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列关于函数f(x)=cos 2x+1的表述正确的是( )
A.在[0,π]上单调递减
B.当x=时,函数f(x)取得最大值2
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的值域为[0,2]
9.CD A( )x∈[0,π],则2x∈[0,2π],则f(x)=cos 2x+1在[0,π]上不单调.
B( )当x=时,f()=cos π+1=0.
C(√)因为f(-x)=cos(-2x)+1=cos 2x+1=f(x),且函数f(x)的定义域为R,所以函数f(x)是偶函数.
D(√)y=cos 2x的值域为[-1,1],所以f(x)=cos 2x+1的值域为[0,2].
10.已知函数f(x)=tan(3x+φ)(0<φ<),则下列结论正确的是( )
A.若φ=1,则f(1)B.若φ=,则不等式f(x)≥1的解集为{x|≤x<+,k∈Z}
C.若f(x1)=f(x2),则x1-x2是的整数倍
D.若f(x)在(0,)上单调递增,则φ∈(0,]
10.BCD 列表【解析】直观解疑惑
11.已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),下列关于该函数结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的一个周期是2π
C.f(x)的最大值为
D.f(x)在区间(0,)上为减函数
11.AB A(√)f(π-x)=sin[sin(π-x)]+cos[cos(π-x)]=sin(sin x)+cos(-cos x)=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称.
B(√)f(x+2π)=sin[sin(x+2π)]+cos[cos(x+2π)]=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),所以f(x)的一个周期是2π.
C( )-1≤sin x≤1,所以y=sin(sin x)的最大值为sin 1,当sin x=1时,y=cos(cos x)=cos 0=1,取得最大值,所以f(x)的最大值为sin 1+1.
D( )y=sin x在(0,)上单调递增,sin=1<,所以y=sin(sin x)在(0,)上单调递增,y=cos x在(0,)上单调递减,且值域为(0,1),根据复合函数的单调性易知,y=cos(cos x)在(0,)上单调递增,所以f(x)在区间(0,)上为增函数.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.函数f(x)=-2tan2x+3tan x-1,x∈[-,]的值域为 .
12.[-6,] 因为x∈[-,],所以tan x∈[-1,1],
f(x)=-2tan2x+3tan x-1=-2(tan x-)2+,则当tan x=时,f(x)max=,当tan x=-1时,f(x)min=-6,所以函数f(x)的值域为[-6,].
13.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-,]上单调递增,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是 .
14.【模块综合】已知函数y=sin x·f(x+2)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=f(7-x),当x∈[0,4]时,f(x)=4cos x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= .
14.2 首先根据函数的奇偶性和所给等式推出函数f(x)的一个周期,再结合已知区间的函数表达式求出一个周期内函数值的和,最后利用周期性计算所给式子的和.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知函数f(x)=tan(-2x+θ),其中θ为三角形的一个内角,且2cos2θ-cos θ-1=0.
(1)求函数f(x)的解析式及定义域;
(2)求函数f(x)的单调区间及图象的对称中心.
15.【解析】 (1)2cos2θ-cos θ-1=0,则(2cos θ+1)(cos θ-1)=0,得cos θ=-或cos θ=1,
又θ为三角形内角,所以cos θ=-,故θ=,
则f(x)=tan(-2x+)=-tan(2x-).(4分)
令2x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
即函数f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.(7分)
(2)令kπ-<2x-即函数f(x)的单调递减区间为(+,+),k∈Z,无单调递增区间.(10分)
令2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)的图象的对称中心为(+,0),k∈Z.(13分)
16.(15分)已知函数f(x)=2sin x,g(x)=f(2x+).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在[0,2π]上的大致图象(先列表,再画图);
(2)求g(x)的单调递增区间;
(3)若函数g(x)在[-,t]上的值域为[-1,2],求t的取值范围.
16.【解析】 (1)列表如下:
在平面直角坐标系中描点连线,如图所示:
(4分)
(2)g(x)=f(2x+)=2sin(2x+).(5分)
因为y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z,
所以令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,(7分)
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.(9分)
(3)因为x∈[-,t],所以2x+∈[-,2t+],
又g(-)=-1,所以≤2t+≤,解得≤t≤,
所以t的取值范围为[,].(15分)
17.(15分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)-1(ω>0,|φ|<),其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为π.
(1)若φ=-,求f(x)在[0,]上的最大值;
(2)若f(x)>0对x∈(-,)恒成立,求φ的取值范围.
17.【解析】 (1)由题意,知f(x)的最小正周期T=2×=,
则ω==,
又φ=-,所以f(x)=2cos(x-)-1.(2分)
因为0≤x≤,所以-≤x-≤0,
所以f(x)在[0,]上单调递增,最大值为f()=2-1=1.(6分)
(2)当x∈(-,)时,-π+φ因为-<φ<,所以-π<-π+φ<-π,<π+φ<,
所以函数f(x)在(-,)上先单调递增,再单调递减.(10分)
若f(x)>0对x∈(-,)恒成立,
则即
即又-<φ<,
所以解得-<φ≤-,
故φ的取值范围为(-,-].(15分)
18.(17分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<),且f()=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设常数ω>0,若函数f(ωx)在[-,]上单调递增,求ω的取值范围;
(3)若函数y=f(nx),n>0的最小正周期为,当x∈[]时,方程2f(nx)-m+1=0恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
18.【解析】 (1)∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<),且f()=0,
∴f()=sin(+φ)=0,则+φ=kπ,k∈Z,
即φ=-+kπ,k∈Z.(3分)
∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=sin(2x+).(4分)
(2)第一步:求出f(ωx)的表达式
∵f(x)=sin(2x+),∴f(ωx)=sin(2ωx+).(5分)
第二步:根据正弦函数的单调递增区间,再结合在给定的区间[-,]上单调递增,列出关于ω的不等式组,并求解
当-+2kπ≤2ωx+≤+2kπ,k∈Z,即-+≤x≤+,k∈Z时,f(ωx)=sin(2ωx+)单调递增.
∵f(ωx)=sin(2ωx+)在[-,]上单调递增,
∴(k∈Z),
解得(k∈Z).(8分)
第三步:讨论k的值,得ω的取值范围
∵ω>0,∴当k=0时,0<ω≤,当k≠0时,ω无解.
综上,ω的取值范围是(0,].(10分)
(3)第一步:由函数f(nx)的最小正周期得出n
f(nx)=sin(2nx+),
∵函数f(nx)=sin(2nx+)的最小正周期为,且n>0,∴=,解得n=.(12分)
第二步:令t=3x+,将问题转化为函数y=sin t的图象和直线y=的交点问题
则f(nx)=sin(3x+),令t=3x+(换元法),由x∈[],得t=3x+∈[-,],
∴由2sin t-m+1=0恰有两个不同的解,可得sin t=恰有两个不同的解,即函数y=sin t的图象和直线y=有两个交点.(14分)
第三步:作出函数y=sin t在t∈[-,]上的图象,数形结合,得出m的取值范围
当t∈[-,]时,函数y=sin t的图象如图所示,
由图得,若函数y=sin t的图象和直线y=有两个交点,则∈[,1),解得m∈[+1,3),即实数m的取值范围为[+1,3).(17分)
19.(17分)【探索新定义】对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质.
(1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围.
(2)已知a>0,f(x)为定义在R上的奇函数,且满足:
①在[0,2a]上,当且仅当x=时,f(x)取得最大值1;
②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0.
求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.
19.新定义+正弦函数、余弦函数的最值
思路导引 (1)根据函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质的定义,结合正、余弦函数的性质,即可得答案.(2)根据f(x)满足的性质,推出其图象的对称性以及周期,可得f(x)∈[-1,1],再结合正、余弦函数的性质推出sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4,即说明不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,即可得结论.
【解析】 (1)由题意可知f(x1)=sin x1∈[-1,1],g(x2)=cos 2x2∈[-1,1],
故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],
则m的取值范围为[-2,2].(5分)
(2)因为在[0,2a]上,当且仅当x=时,f(x)取得最大值1,
且f(x)为定义在R上的奇函数,
所以在[-2a,0]上,当且仅当x=-时,f(x)取得最小值-1.(6分)
由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称,
又f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x),
故2a为函数f(x)的周期,
故f(x)∈[-1,1].(8分)
sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1],
当f(x1)=1时,x1=+2na,n∈Z,
sin πx1=1时,x1=+2k,k∈Z,
若+2na=+2k,a=,k,n∈Z,此时有y1=sin πx1+f(x1)=2,为最大值;(10分)
当f(x2)=-1时,x2=-+2ma,m∈Z,
cos πx2=1时,x2=2t,t∈Z,
若-+2ma=2t,a=,t,m∈Z,此时有y2=cos πx2-f(x2)=2,为最大值.(13分)
由于a=≠,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4,
即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,
所以y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.(17分)第十四单元 三角函数的图象与性质B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.函数f(x)=cos(x+1)的最小正周期为( )
A.4 B.4π C.π D.1
2.已知函数f(x)=lg(tan 2x),则f(x)的定义域为( )
A.(kπ,+kπ),k∈Z
B.(,+),k∈Z
C.(2kπ,+2kπ),k∈Z
D.(,+),k∈Z
3.已知a=sin 54°,b=cos 54°,c=tan 54°,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b4.函数f(x)=的部分图象大致是( )
5.函数f(x)=min{sin|x|,|cos x|}的最小值和最大值分别为( )
A.-1,1 B.-1,
C.0,1 D.0,
6.已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,当-5≤x≤0时,f(x)的图象如图所示,则不等式<0的解集为( )
A.(-π,-2)∪(0,2)∪(π,5]
B.(-π,-2)∪(π,5]
C.[-5,-2)∪(0,π)∪(π,5]
D.[-5,-2)∪(π,5]
7.设ω>0,已知f(x)=sin(3ωx+)cos(2ωx-)在(0,2π)上有10个零点,则ω的取值范围是( )
A.(,] B.(,]
C.(,] D.(,]
8.已知点A(,0)在函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的图象上,若f(x)≤f()恒成立,且f(x)在区间(,)上单调,则=( )
A.- B.- C.- D.-
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列关于函数f(x)=cos 2x+1的表述正确的是( )
A.在[0,π]上单调递减
B.当x=时,函数f(x)取得最大值2
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的值域为[0,2]
10.已知函数f(x)=tan(3x+φ)(0<φ<),则下列结论正确的是( )
A.若φ=1,则f(1)B.若φ=,则不等式f(x)≥1的解集为{x|≤x<+,k∈Z}
C.若f(x1)=f(x2),则x1-x2是的整数倍
D.若f(x)在(0,)上单调递增,则φ∈(0,]
11.已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),下列关于该函数结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的一个周期是2π
C.f(x)的最大值为
D.f(x)在区间(0,)上为减函数
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.函数f(x)=-2tan2x+3tan x-1,x∈[-,]的值域为 .
13.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-,]上单调递增,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是 .
14.【模块综合】已知函数y=sin x·f(x+2)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=f(7-x),当x∈[0,4]时,f(x)=4cos x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知函数f(x)=tan(-2x+θ),其中θ为三角形的一个内角,且2cos2θ-cos θ-1=0.
(1)求函数f(x)的解析式及定义域;
(2)求函数f(x)的单调区间及图象的对称中心.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin x,g(x)=f(2x+).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在[0,2π]上的大致图象(先列表,再画图);
(2)求g(x)的单调递增区间;
(3)若函数g(x)在[-,t]上的值域为[-1,2],求t的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)-1(ω>0,|φ|<),其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为π.
(1)若φ=-,求f(x)在[0,]上的最大值;
(2)若f(x)>0对x∈(-,)恒成立,求φ的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<),且f()=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设常数ω>0,若函数f(ωx)在[-,]上单调递增,求ω的取值范围;
(3)若函数y=f(nx),n>0的最小正周期为,当x∈[]时,方程2f(nx)-m+1=0恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
19.(17分)【探索新定义】对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质.
(1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围.
(2)已知a>0,f(x)为定义在R上的奇函数,且满足:
①在[0,2a]上,当且仅当x=时,f(x)取得最大值1;
②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0.
求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.
