第十四单元 三角函数的图象与性质A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024西安一中高一期末]使得函数y=sin x为减函数,且函数值为负数的区间为( )
A.(0,) B.(,π)
C.(π,) D.(,2π)
2.[2024石家庄二中质量检测]已知函数f(x)=2cos(-2x),则函数f(x)在[-,]上的值域为( )
A.[-,1] B.[-,2]
C.[-1,2] D.[-2,2]
3.[2025哈尔滨九中高一期末]下列函数中,最小正周期为π的偶函数是( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=tan x D.y=|sin x|
4.[2024合肥一中高一期末]在[0,2π]内,函数f(x)=+ln(sin x-)的定义域是( )
A.(,] B.(,]
C.[,) D.[,)
5.[2025无锡一中高一月考]设a=cos,b=sin,c=log32,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
6.[2025深圳外国语学校高一期末]函数f(x)=的图象大致为( )
7.[2024新课标Ⅱ卷]设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=( )
A.-1 B. C.1 D.2
8.[2025金陵中学高一月考]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象过点(0,1),且f(x)在区间(,)上具有单调性,则ω的最大值为( )
A. B.4
C. D.8
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024武汉二中高一期末]已知函数f(x)=tan(2x-),则( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}
C.函数f(x)在[0,]上的最大值是
D.函数f(x)的单调递增区间为(-+,+),k∈Z
10.[2025江西师大附中月考]已知函数f(x)=cos(ωx+)(0<ω<4)的图象关于直线x=对称,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在区间(0,)上有且仅有2个零点
C.f(x-)是奇函数
D.当x∈(,)时,011.[2024杭州二中高一期末]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<)满足f(x)+f(--x)=2,且对任意x∈R,都有f(x)≥f(-),当ω取最小值时,下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于(-,1)对称
B.f(x)在[-,]上的值域为[+1,3]
C.f(x)在[0,2π]内取得2次最大值
D.f(x)在[,]上单调递减
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2024南山中学高一开学考试]若函数f(x)=tan(π+ωx)(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f()= .
13.[2024北京四中开学考试]设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-x)=f(--x),当-1≤x<0时,f(x)=log3(-6x+3),则f(2 026)的值为 .
14.【探索新定义】[2025东莞中学高一期末]设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,称y=[x]为取整函数,例如:[1]=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1.已知函数f(x)=2[sin x]+2[cos x],则f()= ;f(x)的值域为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025铜陵一中高一期末改编]已知函数f(x)=-tan(ωx+)(ω>0)的最小正周期为.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)解不等式:f(x)≤-.
16.(15分)[2024泰安一中高一期末]已知下列三个条件:①函数f(x-)为奇函数;②当x=时,f(x)=;③是函数f(x)的一个零点.从这三个条件中任选一个填在下面的横线处,并解答下列问题.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π, .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.
17.(15分)[2024四川省广安市高一期末]已知函数f(x)=+2sin(-x).
(1)将函数f(x)的解析式化简,并求f()的值;
(2)若x∈[-,],求函数f(x)的值域.
18.(17分)[2025泉州五中高一期末]已知函数f(x)=其中α∈(0,).
(1)当α=π时,
(i)按关键点列表,并画出函数f(x)的简图;
(ii)写出f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数α,使得f(x)(x≠α)的图象是中心对称图形 若存在,写出α的值并对图象的对称性加以证明;若不存在,说明理由.
19.(17分)[2025华中师大一附中高一期末]已知函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有4个零点.
(1)求ω的取值范围;
(2)当ω∈N*时,若不等式|f(x)-m|<3在区间[-,]上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)当ω∈N*时,若函数y=f(x)+t在区间[-,]内有2个不同的零点,求实数t的取值范围.第十四单元 三角函数的图象与性质A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024西安一中高一期末]使得函数y=sin x为减函数,且函数值为负数的区间为( )
A.(0,) B.(,π)
C.(π,) D.(,2π)
1.C 由y=sin x的图象与性质可知x∈(π,)时,函数单调递减,且函数值为负数.
2.[2024石家庄二中质量检测]已知函数f(x)=2cos(-2x),则函数f(x)在[-,]上的值域为( )
A.[-,1] B.[-,2]
C.[-1,2] D.[-2,2]
2.B 因为x∈[-,],所以-2x∈[-,],则cos(-2x)∈[-,1],则f(x)=2cos(-2x)∈[-,2].
3.[2025哈尔滨九中高一期末]下列函数中,最小正周期为π的偶函数是( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=tan x D.y=|sin x|
3.D A( )函数y=sin x是最小正周期为2π的奇函数.
B( )函数y=cos x是最小正周期为2π的偶函数.
C( )函数y=tan x是最小正周期为π的奇函数.
D(√)作出函数y=|sin x|的图象如下图所示,
由图可知,函数y=|sin x|是最小正周期为π的偶函数.
4.[2024合肥一中高一期末]在[0,2π]内,函数f(x)=+ln(sin x-)的定义域是( )
A.(,] B.(,]
C.[,) D.[,)
4.C 由题意得解得所以≤x<,即在[0,2π]内,函数f(x)的定义域为[,).
5.[2025无锡一中高一月考]设a=cos,b=sin,c=log32,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
5.D 根据题意,得a=cos=.因为y=sin x在(0,)上单调递增,所以b=sinlog3=,所以c>a>b.
6.[2025深圳外国语学校高一期末]函数f(x)=的图象大致为( )
6.A f(x)=,由ex-e-x≠0,可得x≠0,即f(x)的定义域为{x|x≠0}.又f(-x)===-f(x),可知函数f(x)为奇函数,图象关于坐标原点对称,排除B,D.又∈(1,2),且f()=<0,排除C.故选A.
7.[2024新课标Ⅱ卷]设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=( )
A.-1 B. C.1 D.2
7.D 由题意知f(x)=g(x),则a(x+1)2-1=cos x+2ax,即cos x=a(x2+1)-1.令h(x)=cos x-a(x2+1)+1.易知h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点,所以h(0)=0,即cos 0-a(0+1)+1=0,得a=2.
8.[2025金陵中学高一月考]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象过点(0,1),且f(x)在区间(,)上具有单调性,则ω的最大值为( )
A. B.4
C. D.8
8.C 因为函数f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1 sin φ=,因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin(ωx+).当x∈(,)时,ωx+∈(+,+),因为f(x)在区间(,)上具有单调性,所以(+,+) (-+kπ,+kπ),k∈Z,即+≥-+kπ且+≤+kπ,k∈Z,则-+8k≤ω≤+4k,k∈Z.因为-+8k≤+4k,k∈Z,所以k≤,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时,ω∈[-,],则ω∈(0,];当k=1时,ω∈[,].综上,ω∈(0,]∪[,],即ω的最大值为.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024武汉二中高一期末]已知函数f(x)=tan(2x-),则( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}
C.函数f(x)在[0,]上的最大值是
D.函数f(x)的单调递增区间为(-+,+),k∈Z
9.ABD 列表【解析】直观解疑惑
10.[2025江西师大附中月考]已知函数f(x)=cos(ωx+)(0<ω<4)的图象关于直线x=对称,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在区间(0,)上有且仅有2个零点
C.f(x-)是奇函数
D.当x∈(,)时,010.AC A(√)函数f(x)=cos(ωx+)(0<ω<4)的图象关于直线x=对称,则ω+=kπ,k∈Z,即ω=,k∈Z,因为0<ω<4,所以取k=1,则ω=2,则f(x)=cos(2x+),f(x)的最小正周期为T==π.
B( )f(x)=cos(2x+),令f(x)=0,得2x+=+nπ,n∈Z,所以x=+,n∈Z,当n=-1时,x=-<0;当n=0时,x=;当n=1时,x=>.所以f(x)在区间(0,)上只有1个零点.
C(√)因为f(x-)=cos[2(x-)+]=cos(2x-)=cos(-2x)=sin 2x,所以f(x-)为奇函数.
D( )当x∈(,)时,2x+∈(,π),因为y=cos x在(,π)上单调递减,所以f(x)在区间(,)上单调递减,又f()=0,f()=-1,所以-111.[2024杭州二中高一期末]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<)满足f(x)+f(--x)=2,且对任意x∈R,都有f(x)≥f(-),当ω取最小值时,下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于(-,1)对称
B.f(x)在[-,]上的值域为[+1,3]
C.f(x)在[0,2π]内取得2次最大值
D.f(x)在[,]上单调递减
11.ACD A(√)由函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<)满足f(x)+f(--x)=2,可得f(x)的图象关于(-,1)对称(若函数f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)图象的一个对称中心为(a,b)).则-ω+φ=k1π(k1∈Z),即φ=ω+k1π(k1∈Z),由于对任意x∈R,都有f(x)≥f(-),可得f(x)在x=-处取得最小值,即-ω+φ=-+2k2π(k2∈Z),可得φ=-+ω+2k2π(k2∈Z),则φ=-+ω+2k2π=ω+k1π(k1,k2∈Z),化简得ω=2+4(k1-2k2)(k1-2k2∈Z).因为ω>0,所以当ω取最小值时,k1-2k2=0,可得ω=2,则φ=+k1π(k1∈Z)且|φ|<,得φ=,所以f(x)=2sin(2x+)+1.
B( )当x∈[-,]时,2x+∈[,],可得sin(2x+)∈[,1],所以f(x)在[-,]上的值域为[2,3].
C(√)当x∈[0,2π]时,2x+∈[,],当2x+=或2x+=时,f(x)取得最大值.
D(√)当x∈[,]时,2x+∈[,],所以f(x)在[,]上单调递减.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2024南山中学高一开学考试]若函数f(x)=tan(π+ωx)(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f()= .
12.1 由题意知函数f(x)的最小正周期T==,所以ω=3,所以f()=tan(π+3×)=tan=1.
13.[2024北京四中开学考试]设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-x)=f(--x),当-1≤x<0时,f(x)=log3(-6x+3),则f(2 026)的值为 .
13.-2 由题设f(-x)=f(--x) f(x-)=f(x+) f(3+x)=f(x),所以f(x)是周期为3的奇函数,则f(2 026)=f(3×675+1)=f(1)=-f(-1)=-log39=-2.
14.【探索新定义】[2025东莞中学高一期末]设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,称y=[x]为取整函数,例如:[1]=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1.已知函数f(x)=2[sin x]+2[cos x],则f()= ;f(x)的值域为 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.,2,3} 将x=代入函数解析式,利用取整函数的定义即可求解函数值.因为f(x)=2[sin x]+2[cos x],所以f()=+=+=20+2-1=1+=.
根据三角函数的有界性分类讨论,利用取整函数的定义分别求出函数值即可求出函数的值域.当sin x=1,cos x=0或sin x=0,cos x=1时,f(x)=2[sin x]+2[cos x]=3;当sin x=-1,cos x=0或sin x=0,cos x=-1时,f(x)=2[sin x]+2[cos x]=;当0四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025铜陵一中高一期末改编]已知函数f(x)=-tan(ωx+)(ω>0)的最小正周期为.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)解不等式:f(x)≤-.
15.【解析】 (1)ω>0,故=,解得ω=2,
故f(x)=-tan(2x+).(3分)
由2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为(-,0),k∈Z(正切函数y=tan x图象的对称中心是(,0)(k∈Z),切勿记混).(6分)
(2)f(x)≤-,即-tan(2x+)≤-,故tan(2x+)≥,
则+kπ≤2x+<+kπ,k∈Z(求与正切函数有关的问题时,切记保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z),解得x∈[+,+),k∈Z.(13分)
16.(15分)[2024泰安一中高一期末]已知下列三个条件:①函数f(x-)为奇函数;②当x=时,f(x)=;③是函数f(x)的一个零点.从这三个条件中任选一个填在下面的横线处,并解答下列问题.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π, .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.
16.【解析】 ∵函数f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π,
∴函数f(x)的最小正周期T==2π,∴ω=1,
∴f(x)=2sin(x+φ).(3分)
选条件①,
(1)∵f(x-)=2sin(x+φ-)为奇函数,
∴f(-)=2sin(φ-)=0,
解得φ=+kπ,k∈Z,经检验,符合题意.(6分)
∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin(x+). (8分)
(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,(10分)
令k=0,得-≤x≤,令k=1,得≤x≤,(13分)
∴函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[0,],[,2π].(15分)
选条件②,
(1)f()=2sin(+φ)=,∴sin(+φ)=,
∴φ=2kπ,k∈Z或φ=+2kπ,k∈Z,(6分)
∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin(x+). (8分)
(2)同①.
选条件③,
(1)∵是函数f(x)的一个零点,∴f()=2sin(+φ)=0,
∴φ=kπ-,k∈Z.(6分)
∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin(x+).(8分)
(2)同①.
17.(15分)[2024四川省广安市高一期末]已知函数f(x)=+2sin(-x).
(1)将函数f(x)的解析式化简,并求f()的值;
(2)若x∈[-,],求函数f(x)的值域.
17.【解析】 (1)f(x)=+2sin(-x)=+2cos x=+2cos x=cos2x+2cos x(x≠kπ+,k∈Z),(4分)
故f()=cos2+2cos=+2×=+.(7分)
(2)由(1)知f(x)=cos2x+2cos x=(cos x+1)2-1,
x∈[-,]时,cos x∈[,1],(cos x+1)2-1∈[+,3],
故函数f(x)的值域为[+,3].(15分)
18.(17分)[2025泉州五中高一期末]已知函数f(x)=其中α∈(0,).
(1)当α=π时,
(i)按关键点列表,并画出函数f(x)的简图;
(ii)写出f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数α,使得f(x)(x≠α)的图象是中心对称图形 若存在,写出α的值并对图象的对称性加以证明;若不存在,说明理由.
18.【解析】 (1)(i)当α=π时,f(x)=列表如下:
(2分)
描点,连线如图:
(4分)
(ii)由图可知,f(x)的单调递增区间为[0,π],[,];
单调递减区间为[π,].(7分)
(2)存在实数α=,使得f(x)(x≠α)的图象是中心对称图形,对称中心为(,).(9分)
证明:①对于任意x∈[0,),-x∈(,],
所以f(-x)+f(x)=sin(-x)+1-cos x=sin(-x)+1-cos x=cos x+1-cos x=1;(13分)
②对于任意x∈(,],-x∈[0,),
所以f(-x)+f(x)=-cos(-x)+sin x+1=-cos(-x)+sin x+1=-sin x+sin x+1=1.
综上所述,对任意x∈[0,)∪(,],都有f(-x)+f(x)=1成立,故存在实数α=,使得f(x)(x≠α)的图象关于点(,)中心对称.(17分)
19.(17分)[2025华中师大一附中高一期末]已知函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有4个零点.
(1)求ω的取值范围;
(2)当ω∈N*时,若不等式|f(x)-m|<3在区间[-,]上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)当ω∈N*时,若函数y=f(x)+t在区间[-,]内有2个不同的零点,求实数t的取值范围.
19.【解析】 (1)设u=ωx+,当x∈[0,2π]时,u∈[,2ωπ+],
则y=2cos u,u∈[,2ωπ+](换元法,注意写出“新元”的取值范围).
因为函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有4个零点,
所以函数y=2cos u在区间[,2ωπ+]上有且仅有4个零点,
结合余弦函数的图象与性质可得≤2ωπ+<,(3分)
解得≤ω<,
所以ω的取值范围为[,).(4分)
(2)当ω∈N*时,由(1)可得ω=2,所以f(x)=2cos(2x+).(5分)
因为不等式|f(x)-m|<3在[-,]上恒成立,
所以m-3又因为当x∈[-,]时,2x+∈[-,],
所以cos(2x+)∈[-,1],所以2cos(2x+)∈[-,2],
则解得-1
