第三章 函数的概念与性质
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1.[2025深圳实验学校高一阶段考试]函数f(x)=+的定义域为( )
A.[2,+∞) B.[2,3)
C.(3,+∞) D.[2,3)∪(3,+∞)
1.D 函数f(x)=+,若函数有意义,则解得x≥2且x≠3,所以函数f(x)=+的定义域是[2,3)∪(3,+∞).
2.[2025宜春中学高一期中]在下列函数中,与函数y=是同一个函数的为( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
2.A 当一个函数的对应关系和定义域确定后,其值域就随之确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应关系相同时,才为同一个函数.原函数可化简为y==x(x∈R).
A(√)y==x(x∈R),与原函数为同一个函数.
B( )y==x(x≠-1),与原函数不是同一个函数.
C( )y==|x|(x∈R),与原函数不是同一个函数.
D( )y==(x≠0),与原函数不是同一个函数.
3.[2025江苏淮安期中改编]若函数f(+1)=x+,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+x(x≥0)
B.f(x)=x2+x(x≥1)
C.f(x)=x2-x(x≥0)
D.f(x)=x2-x(x≥1)
3.D 因为f(+1)=x+,设t=+1,则t≥1(换元法,需注意新元的取值范围),所以f(t)=(t-1)2+(t-1)=t2-t,则f(x)=x2-x(x≥1).
4.[2024成都七中入学考试]若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f()=( )
A. B. C. D.2
4.D 偶函数+函数值的求解
思路导引 利用偶函数的定义可计算a,b的值,再根据解析式计算函数值即可.
因为函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数(注意:奇、偶函数的定义域关于原点对称),所以-b+2b-2=0且f(-x)=x2-ax+1=x2+ax+1=f(x),则所以f(x)=x2+1,则f()=f(1)=12+1=2.
5.[2024黄冈中学高一期末]函数f(x)=的图象大致是( )
5.A ∵1-x2≥0且|x+1|-1≠0,∴-1≤x≤1且x≠0,x≠-2,∴函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,f(x)=x,f(-x)=-x=-x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,排除C,D;f()=>0,排除B.故选A.
6.[2025武汉二中、孝感高中等校高一联考]已知幂函数f(x)=(3m2-m-1)x3m-1是定义域上的奇函数,则满足f(a+2)
A.(,+∞) B.(-∞,-2)∪(,2)
C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(-2,2)
6.B 因为f(x)=(3m2-m-1)x3m-1为幂函数,所以3m2-m-1=1,解得m=1或m=-.当m=1时,f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,不符合题意;当m=-时,f(x)=x-3,此时f(x)为奇函数,符合题意.所以f(x)=x-3,则f(x)的定义域为{x|x≠0},函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且函数值恒大于0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减且函数值恒小于0,所以不等式f(a+2)4-2a>0或0>a+2>4-2a或解得7.[2024东北师大附中高一期中]已知函数f(x)=的定义域为[0,+∞),则函数f(x)的值域为( )
A.[0,+∞) B.[2,+∞)
C.[0,] D.[,+∞)
7.C 函数的值域
思路导引 当x∈(0,+∞)时,f(x)=,利用对勾函数的单调性求得t(x)=x+的值域,进而求f(x)在(0,+∞)上的值域,最后结合f(0)=0进而得解.
f(x)=,定义域为[0,+∞),且f(0)=0,当x∈(0,+∞)时,f(x)==.令t(x)=x+,x∈(0,+∞),由对勾函数的单调性知,当x∈(0,1)时,函数t(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,函数t(x)单调递增.所以t(x)min=t(1)=2,即t(x)≥2,所以当x∈(0,+∞)时,08.[扬州中学高一期末]已知定义域为R的函数f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)内单调递减,记a=f(-),b=f(),c=f(-t2+t-1),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.c8.B 因为f(x)为偶函数且在[0,+∞)内单调递减,所以f(x)在(-∞,0)内单调递增.-t2+t-1=-(t-)2-≤-,而b=f()=f(-),因为->->-,所以f(-)>f(-)>f(-)≥f(-t2+t-1),所以b>a>c.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025铜陵一中高一期末]已知幂函数f(x)=xα,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象都经过点(0,0),(1,1)
B.函数y=f(x)的图象不经过第四象限
C.若α>0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.若α=2,则对任意实数x1,x2,有f()≤
9.BCD A( )当α=-1时,f(x)=,图象不经过点(0,0).
B(√)当x>0时,xα>0,故图象不经过第四象限.
C(√)若α>0,由幂函数的性质知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
D(√)f(x)=x2,f()=()2=,=,故f()-=-==≤0,当且仅当x1=x2时,等号成立,故f()≤.
10.[2025湘潭一中高一期末]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A.若f(f(0))=0,则a=
B.若f(x)在R上单调递增,则a的值可以为
C.存在a,使得f(x)在(-∞,3]上单调递减
D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[,+∞)
10.AD A(√)由题意得f(0)=3,得f(f(0))=f(3)=9-6a+2a=(求分段函数的函数值时,关键是判断出自变量的取值所处的区间,再代入相应的函数解析式),得a=.
B( )若f(x)在R上单调递增,则得 0C( )若f(x)在(-∞,3]上单调递减,则不等式组无解(单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数单调递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减(增),则指此区间是相应单调递减(增)区间的子区间,因此我们在解决函数的单调性问题时,不能混淆“单调区间”和“在区间上单调”这两个概念).
D(√)若f(x)的值域为R,则a>0,得f(x)在(-∞,2)上单调递增.当02时,f(x)在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则2a+3≥a2-2a2+2a,得a2+3≥0恒成立,即a>2符合题意.综上,a的取值范围为[,+∞).
11.[2025临川一中高一期末]已知函数f(x)的定义域是R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,且f(1)=0,当x>1时,f(x)>0,则下列结论正确的是( )
A.f(0)=-2 025
B.f(-2)=6 075
C.函数f(x)为R上的增函数
D.函数f(x)+2 025为奇函数
11.ACD 定义法判断函数的单调性+抽象函数的奇偶性
思路导引 令x=y=0,求出f(0)的值,可判断A选项;令x=1,y=-1可求出f(-1)的值,再令x=y=-1,可求出f(-2)的值,可判断B选项;推导出当x>0时,f(x)>-2 025,然后利用函数单调性的定义可判断C选项;令g(x)=f(x)+2 025,可知g(0)=0,再令y=-x,结合函数奇偶性的定义可判断D选项.
A(√)对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,令x=y=0可得f(0)=2f(0)+2 025,解得f(0)=-2 025.
B( )令x=1,y=-1可得f(0)=f(1)+f(-1)+2 025,即-2 025=0+f(-1)+2 025,解得f(-1)=-4 050,再令x=y=-1可得f(-2)=2f(-1)+2 025=2×(-4 050)+2 025=-6 075.
C(√)由题意可知,当x>1时,f(x)>0,即x-1>0时,f(x-1)=f(x)+f(-1)+2 025=f(x)-2 025>-2 025,故当x>0时,f(x)>-2 025.任取x1,x2∈R且x1-2 025+f(x1)+2 025=f(x1),即函数f(x)在R上为增函数(利用定义法判断抽象函数的单调性).
D(√)令g(x)=f(x)+2 025,由f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025可得f(x+y)+2 025=f(x)+2 025+f(y)+2 025,即g(x+y)=g(x)+g(y),且g(0)=f(0)+2 025=0,令y=-x,则g(x)+g(-x)=g(0)=0,即g(-x)=-g(x),所以函数g(x)=f(x)+2 025为奇函数.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025北大附中高一期中]函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是 .
12.(-∞,0],[1,2] 根据绝对值的性质作出函数图象,即可得函数的单调区间.把y=x(x-2)的图象位于x轴下方的部分翻折至x轴上方,其余部分不变,据此可得函数f(x)=|x(x-2)|的图象,如图所示:
由图可知函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是(-∞,0],[1,2].
13.[2025北京二中期中]已知函数f(x)=则函数f(x)的最小值为 ;若函数f(x)满足f(x)≤x+,则x的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
13.0 {x|-≤x≤3} 作出f(x)的图象如图所示:
所以当x=时,函数f(x)取得最小值0.当x<0时,f(x)≤x+即1≤x+,解得x≥-,又x<0,所以-≤x<0;当x≥0时,f(x)≤x+即(x-)2≤x+,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3,又x≥0,所以0≤x≤3.综上,x的取值范围是{x|-≤x≤3}.
14.[2025杭州师大附中高一期中]如图所示,某校园里有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(214. 利用函数单调性求最值+利用二次函数模型解决实际问题
思路导引 由y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF计算即可得到y关于x的函数关系式,再结合可求得其定义域,最后
研究函数的单调性,可求得其最大值.
由题意,得S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-2×x2-2×(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.又因为所以0四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024青岛五十八中高一期中]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
15.【解析】 (1)由题意,当x<0时,-x>0,可得f(-x)=,
因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=(6分)
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)===4-,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.(8分)
证明如下:设0≤x1因为0≤x10,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在[0,+∞)上单调递增.(13分)
16.(15分)[2024山东省德州市高一期末]已知幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上满足f(2)(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数k的取值范围.
16.幂函数+必要不充分条件
思路导引 (1)根据幂函数的定义求出m的值,再结合f(2)(2)求出集合A,B,根据题意可得出B A,得关于实数k的不等式组,即可求得实数k的取值范围.
【解析】 (1)因为函数f(x)=(m2-m-1)为幂函数,所以m2-m-1=1,
即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.(2分)
当m=-1时,f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(2)当m=2时,f(x)=x-16,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(2)>f(4),不符合题意.
综上所述,m=-1.(7分)
(2)由(1)得f(x)=x2,
当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4).(8分)
当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).(9分)
由p是q成立的必要不充分条件,知B A.(11分)
显然B≠ ,
则或解得0≤k≤1,
所以实数k的取值范围为[0,1].(15分)
17.(15分)[2025荆州中学高一月考]学习机是一种电子教学类产品,根据市场调查,某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万部时,公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大 并求出最大利润.
17.分段函数模型的应用+基本不等式的应用
思路导引 (1)根据题意求出a,b,根据W=xR(x)-(16x+20)分别求出当010时的年利润,即可求解;
(2)分类讨论,当010时,根据基本不等式求出最大值,综合分析即可求解.
【解析】 (1)因为当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元,
所以(a-4×8)×8-20-8×16=1 196,解得a=200.(2分)
又当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元,
所以(-)×20-20-20×16=2 960,
解得b=40 000.(4分)
当0当x>10时,W=xR(x)-(16x+20)=x(-)-(16x+20)=--16x+5 280.
综上,W=(8分)
(2)①当0②当x>10时,W=--16x+5 280,
由于+16x≥2=1 600,
当且仅当=16x,即x=50>10时取等号,
所以此时W的最大值为5 280-1 600=3 680.(14分)
综合①②知,当x=50时,W取得最大值,最大利润为3 680万元.(15分)
18.(17分)[2025上海实验学校高一期末]已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=,且f(x)+f()=-1(x≠0).
(1)求实数a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)判断函数y=f(x)的单调性,并证明;
(3)解关于x的不等式f(x)+f()+1<0.
18.【解析】 (1)f()==,
故f(x)+f()=+==1-a=-1,解得a=2.(2分)
则f(x)=,
故f(x)的定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)===f(x),
所以y=f(x)为偶函数.(5分)
(2)f(x)==-2在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0]上单调递增.(7分)
证明如下:
设x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=3×=3×=3×.
因为x1,x2∈[0,+∞),且x10,x2+x1>0,1+>0,1+>0,
所以3×>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2).
根据函数单调性的定义可知,函数f(x)在[0,+∞)上单调递减.
又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增(偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性).(11分)
(3)因为f(x)+f()=-1,所以f()=-1-f(x),
由f(x)+f()+1<0得f(x)<-1-f()=f(2x-1)(x≠),(13分)
由函数f(x)的性质得|x|>|2x-1|(x≠),
则
解得x∈(,)∪(,1).
故该不等式的解集为(,)∪(,1).(17分)
19.(17分)【探索新定义】[2024上海市行知中学高一期末]若函数y=f(x)与y=g(x)满足:对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.
(1)若f(x)=|x|,D=R,判断函数y=g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)=ax2+2x+1,g(x)=x2+ax,其中a>0,D=(0,+∞),求实数a的取值范围.
19.新定义+函数的奇偶性
思路导引 (1)先分析得到f(x)-f(-x)=0,然后根据|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|得到g(x),g(-x)的关系,由此完成证明;
(2)根据题设条件将问题转化为“0【解析】 (1)g(x)是偶函数.(1分)
理由如下:因为f(x)=|x|,
所以对任意x∈R有f(x)-f(-x)=0,
令x1=x,x2=-x,且x1,x2∈R,
因为|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,
所以|f(x)-f(-x)|≥|g(x)-g(-x)|,
所以|g(x)-g(-x)|≤0,
所以g(x)=g(-x),且定义域R关于原点对称,
所以g(x)是偶函数.(5分)
(2)因为a>0,所以f(x)=ax2+2x+1图象的对称轴为x=-<0,且图象开口向上,g(x)=x2+ax图象的对称轴为x=-<0,且图象开口向上,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,+∞)上单调递增.(8分)
不妨假设0所以|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)| f(x2)-f(x1)≥g(x2)-g(x1),
即f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1).(9分)
设h(x)=f(x)-g(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1,
当a=1时,h(x)=x+1,在(0,+∞)上单调递增,显然满足要求;(11分)
当a>1时,h(x)为二次函数,其图象的对称轴为x=-,图象开口向上,故只需-≤0即可,解得1当a<1时,h(x)为二次函数,其图象的对称轴为x=->0,图象开口向下,此时不满足要求.(15分)
综上可知,a的取值范围是[1,2].(17分)第三章 函数的概念与性质
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1.[2025深圳实验学校高一阶段考试]函数f(x)=+的定义域为( )
A.[2,+∞) B.[2,3)
C.(3,+∞) D.[2,3)∪(3,+∞)
2.[2025宜春中学高一期中]在下列函数中,与函数y=是同一个函数的为( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
3.[2025江苏淮安期中改编]若函数f(+1)=x+,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+x(x≥0)
B.f(x)=x2+x(x≥1)
C.f(x)=x2-x(x≥0)
D.f(x)=x2-x(x≥1)
4.[2024成都七中入学考试]若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f()=( )
A. B. C. D.2
5.[2024黄冈中学高一期末]函数f(x)=的图象大致是( )
6.[2025武汉二中、孝感高中等校高一联考]已知幂函数f(x)=(3m2-m-1)x3m-1是定义域上的奇函数,则满足f(a+2)A.(,+∞) B.(-∞,-2)∪(,2)
C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(-2,2)
7.[2024东北师大附中高一期中]已知函数f(x)=的定义域为[0,+∞),则函数f(x)的值域为( )
A.[0,+∞) B.[2,+∞)
C.[0,] D.[,+∞)
8.[扬州中学高一期末]已知定义域为R的函数f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)内单调递减,记a=f(-),b=f(),c=f(-t2+t-1),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.c选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025铜陵一中高一期末]已知幂函数f(x)=xα,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象都经过点(0,0),(1,1)
B.函数y=f(x)的图象不经过第四象限
C.若α>0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.若α=2,则对任意实数x1,x2,有f()≤
10.[2025湘潭一中高一期末]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A.若f(f(0))=0,则a=
B.若f(x)在R上单调递增,则a的值可以为
C.存在a,使得f(x)在(-∞,3]上单调递减
D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[,+∞)
11.[2025临川一中高一期末]已知函数f(x)的定义域是R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,且f(1)=0,当x>1时,f(x)>0,则下列结论正确的是( )
A.f(0)=-2 025
B.f(-2)=6 075
C.函数f(x)为R上的增函数
D.函数f(x)+2 025为奇函数
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025北大附中高一期中]函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是 .
13.[2025北京二中期中]已知函数f(x)=则函数f(x)的最小值为 ;若函数f(x)满足f(x)≤x+,则x的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.[2025杭州师大附中高一期中]如图所示,某校园里有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(2四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024青岛五十八中高一期中]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
16.(15分)[2024山东省德州市高一期末]已知幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上满足f(2)(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数k的取值范围.
17.(15分)[2025荆州中学高一月考]学习机是一种电子教学类产品,根据市场调查,某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万部时,公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大 并求出最大利润.
18.(17分)[2025上海实验学校高一期末]已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=,且f(x)+f()=-1(x≠0).
(1)求实数a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)判断函数y=f(x)的单调性,并证明;
(3)解关于x的不等式f(x)+f()+1<0.
19.(17分)【探索新定义】[2024上海市行知中学高一期末]若函数y=f(x)与y=g(x)满足:对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.
(1)若f(x)=|x|,D=R,判断函数y=g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)=ax2+2x+1,g(x)=x2+ax,其中a>0,D=(0,+∞),求实数a的取值范围.
