第四章 指数函数与对数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024西安高新一中高一期中]已知函数f(x)=则f(f())=( )
A. B. C. D.2
2.[2025东莞中学高一期中]函数f(x)=+lg(x+1)的定义域是( )
A.(-∞,1] B.(-1,1)
C.(-1,1] D.(-1,+∞)
3.[2025广东省广州市高一月考]函数f(x)=在区间[2,4]上的最大值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
4.[2025铜陵一中高一期末]某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
则该函数零点的近似值(精确度为0.1)可以是( )
A.1.2 B.1.21 C.1.27 D.1.32
5.[2025华南师大附中高一月考]在同一坐标系中,函数y=a-x(a>0且a≠1)与y=loga(x+)的图象可能是( )
6.[2024天一中学高一期末]已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则f(x)<0的解集为( )
A.(-3,0)∪(0,3)
B.(-3,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
7.[2024新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
8.[2025山西大学附中高一期中]已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-ln x)=1+e,则方程xf(x)-2x-1=0的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025山东新高考联合质量测评]已知lg a>lg b,则下列结论成立的是( )
A.2a-b>1 B.a+>b+
C.> D.πa-b>3a-b
10.[2025东北育才学校高一月考]已知函数f(x)=-,则( )
A.f(log23)=-
B.f(x)的值域为(-∞,1)
C.f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)的图象关于点(0,-)对称
11.[2025山西大同质量检测]已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>0,a≠1),则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象恒过某个定点
B.f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
C.f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称
D.若对任意x∈[-,2],f(x)<1恒成立,则实数a的取值范围是(0,)∪(3,+∞)
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025天津市南开中学高一期中]f(x)=的单调递增区间为 .
13.[2024全国甲卷理]已知a>1且-=-,则a= .
14.[2025南师附中高一期末]设t为实数,已知函数f(x)=ln(x+),g(x)=4x+t·2x,若存在实数a,b同时满足f(a)+f(b)=0和g(a)+g(b)=0,则实数t的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024长郡中学高一期末]计算:
(1)log432+lg 125+lg 8-+(-8-log92×log481;
(2)+(+2)0+(+;
(3)(log43+log83)(log32+log92)+log3-.
16.(15分)[2025南充高级中学高一下入学考试]已知函数f(x)=ln.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性;
(2)若f(x-3)+f(-)<0,求实数x的取值范围.
17.(15分)【情境创新】[2025吉林九师联盟联考]某制药厂临床试验一批新药的疗效(α-因子是主要成分),根据相关规定:服用新药后,100 mL血液中α-因子含量达到20 mg~79 mg认定为有效Ⅰ级,80 mg及以上认定为有效Ⅱ级,20 mg以下认定为无效.经过大量试验得知,服用该药后一开始血液中α-因子的浓度呈线性增长,当其上升到1.2 mg/mL时,血液中α-因子的浓度将会以每小时20%的速度减少(函数模型如图).
(1)请写出服用该药后血液中α-因子浓度y(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的关系式;
(2)服用该药后,至少要经过几小时血液中α-因子才能降至无效 (结果取整数)
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
18.(17分)[2025石家庄二中高一期末]函数f(x)=log4(4x+1+4)+kx-1是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)证明:f(x)≥;
(3)设g(x)=log4[a(2x-)],若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
19.(17分)【探索新定义】[2025华中师大一附中高一阶段检测]定义:若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都有唯一的x2,使得f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数f(x)为“伴随函数”.
(1)判断g(x)=ln x是否为“伴随函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=2 025x-2在定义域[a,b]上为“伴随函数”,求a+b的值;
(3)已知函数h(x)=(x-a)2(a≤2)在定义域[,3]上为“伴随函数”,若 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt16+log2t-x,求k的取值范围.第四章 指数函数与对数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2024西安高新一中高一期中]已知函数f(x)=则f(f())=( )
A. B. C. D.2
1.A 函数f(x)=则f()=log3<0,所以f(f())=f(log3)==()2=.
2.[2025东莞中学高一期中]函数f(x)=+lg(x+1)的定义域是( )
A.(-∞,1] B.(-1,1)
C.(-1,1] D.(-1,+∞)
2.C 由解得-1
3.[2025广东省广州市高一月考]函数f(x)=在区间[2,4]上的最大值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.B 由已知可得log0.5(2x)≤1,解得x≥0.25,即f(x)的定义域为[0.25,+∞),又y=log0.5(2x)在[0.25,+∞)上单调递减,则y=1-log0.5(2x)在[0.25,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在[0.25,+∞)上单调递增,即函数f(x)在区间[2,4]上单调递增,所以f(x)在区间[2,4]上的最大值为f(4)=2.
4.[2025铜陵一中高一期末]某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
则该函数零点的近似值(精确度为0.1)可以是( )
A.1.2 B.1.21 C.1.27 D.1.32
4.C f(1.25)≈-0.260<0,f(1.312 5)≈0.028>0,由函数零点存在定理得,区间(1.25,1.312 5)内存在零点,该区间长度为0.062 5,小于0.1.由于1.27∈(1.25,1.312 5),故该函数零点的近似值(精确度为0.1)可以是1.27.
5.[2025华南师大附中高一月考]在同一坐标系中,函数y=a-x(a>0且a≠1)与y=loga(x+)的图象可能是( )
5.C 对实数a的取值范围进行分类讨论,分析两个函数的单调性,即可得出这两个函数的图象.对于函数y=loga(x+),x+>0,可得x>-,即函数y=loga(x+)的定义域为(-,+∞).对于函数y=loga(x+),当x=时,y=loga1=0,即函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),排除A选项;当01,则函数y=a-x=()x为增函数,函数y=loga(x+)为减函数,没有选项合乎要求;当a>1时,0<<1,则函数y=a-x=()x为减函数,函数y=loga(x+)为增函数,C选项合乎要求(快解：函数y=a-x与y=loga(x+,一个为a,互为倒数,故两个函数的单调性相反,故排除B,D).
6.[2024天一中学高一期末]已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则f(x)<0的解集为( )
A.(-3,0)∪(0,3)
B.(-3,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
6.D 先由奇偶性求出f(x)的解析式,再由指数函数单调性求解不等式得解.函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则当x>0时,-x<0,有f(x)=-f(-x)=-(2-x-)=-2-x,显然f(0)=0,则不等式f(x)<0可转化为或解得x<-3或07.[2024新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
7.B 因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].
8.[2025山西大学附中高一期中]已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-ln x)=1+e,则方程xf(x)-2x-1=0的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025山东新高考联合质量测评]已知lg a>lg b,则下列结论成立的是( )
A.2a-b>1 B.a+>b+
C.> D.πa-b>3a-b
10.[2025东北育才学校高一月考]已知函数f(x)=-,则( )
A.f(log23)=-
B.f(x)的值域为(-∞,1)
C.f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)的图象关于点(0,-)对称
10.ACD A(√)f(log23)=-=-.
B( )2x+1>1,则0<<1,函数f(x)的值域为(-1,0).
C(√)函数y=2x+1在R上单调递增,y=在R上单调递减,因此f(x)是R上的增函数.
D(√)f(x)+f(-x)=--=-(+)=-1,所以函数f(x)的图象关于点(0,-)对称.
11.[2025山西大同质量检测]已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>0,a≠1),则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象恒过某个定点
B.f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
C.f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称
D.若对任意x∈[-,2],f(x)<1恒成立,则实数a的取值范围是(0,)∪(3,+∞)
11.ABD A(√)因为f(0)=|loga1|=0,所以f(x)的图象恒过原点(函数y=logax(a>0,a≠1)的图象过定点(1,0),则求函数y=m+loga f(x)(a>0,a≠1)的图象所过的定点时,只需令f(x)=1,求出方程的根x0,即得定点为(x0,m)).
B(√)若a>1,则f(x)=故f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.若0f(x)=故f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
C( )考虑f(-x)=f(x),x>-1,x≠0是否有解,而f(-x)=f(x),x>-1,x≠0等价于|loga(x+1)|=|loga(-x+1)|,x>-1,x≠0,也即等价于|ln(x+1)|=|ln(-x+1)|,x>-1,x≠0,也即等价于ln(x+1)=ln(-x+1),x>-1,x≠0或ln(x+1)=-ln(-x+1),x>-1,x≠0,两个方程均无解,故f(x)图象上不存在两个不同的点关于y轴对称.
D(√)若对任意x∈[-,2],f(x)<1恒成立,则对任意x∈[-,2],|loga(x+1)|<1恒成立,即|ln(x+1)|<|ln a|恒成立,故|ln a|>max{ln 3,|ln|}=ln 3,故ln a<-ln 3或ln a>ln 3,所以03.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025天津市南开中学高一期中]f(x)=的单调递增区间为 .
12.(-∞,1] 易知函数f(x)=是由指数函数y=0.7t和二次函数t=x2-2x复合而来,由复合函数单调性可知求出函数t=x2-2x的单调递减区间即可(复合函数单调性“同增异减”,函数y=0.7t单调递减,要求f(x)=的单调递增区间,只需求t=x2-2x的单调递减区间).利用二次函数性质可知,t=x2-2x在(-∞,1]上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为(-∞,1].
13.[2024全国甲卷理]已知a>1且-=-,则a= .
13.64 根据题意有-=-,即3loga2-=-,设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,得t=(t=-1舍去),所以loga2=,所以=2,所以a=64.
14.[2025南师附中高一期末]设t为实数,已知函数f(x)=ln(x+),g(x)=4x+t·2x,若存在实数a,b同时满足f(a)+f(b)=0和g(a)+g(b)=0,则实数t的取值范围是 .
14.(-∞,-1] 第一步:先利用函数f(x)的奇偶性和单调性判断a,b的关系
f(x)=ln(x+)=ln,因为-x>0,所以f(x)的定义域为R.又f(-x)=ln(-x+),所以f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.又因为f(a)+f(b)=0,所以a+b=0.
第二步:利用a,b的关系和g(x)=4x+t·2x化简g(a)+g(b)=0
则g(a)+g(b)=4a+t·2a+4-a+t·2-a=0,即4a+4-a+t(2a+2-a)=0.
第三步:将问题转化成方程有解问题
因为存在实数a,b满足g(a)+g(b)=0,所以方程4a+4-a+t(2a+2-a)=0有解.
第四步:分离参数,换元,利用单调性求出最值,即得参数范围
方法一 令s=2a+2-a≥2(当且仅当a=0时取等号)(换元应注意新元的取值范围),则t=-=-=-s+,y=-s+在[2,+∞)上单调递减,要使方程t=-s+在[2,+∞)上有解,则t≤(-s+)max,即t∈(-∞,-1].
方法二 令s=2a+2-a≥2(当且仅当a=0时取等号),则方程4a+4-a+t(2a+2-a)=0可化为s2+ts-2=0,故方程s2+ts-2=0在[2,+∞)上有解,即≥2,解得t≤-1.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024长郡中学高一期末]计算:
(1)log432+lg 125+lg 8-+(-8-log92×log481;
(2)+(+2)0+(+;
(3)(log43+log83)(log32+log92)+log3-.
15.【解析】 (1)log432+lg 125+lg 8-+(-8-log92×log481
=lo25+lg 53+lg 23-2-2-log92×lo92
=+3(lg 5+lg 2)-4-1
=.(4分)
(2)+(+2)0+(+
=+1++4-
=8.(8分)
(3)(log43+log83)(log32+log92)+log3-
=(+)(log32+)+log3-5
=(+)log23×(1+)log32+-5
=×+-5
=-3.(13分)
16.(15分)[2025南充高级中学高一下入学考试]已知函数f(x)=ln.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性;
(2)若f(x-3)+f(-)<0,求实数x的取值范围.
16.【解析】 (1)f(x)在(-1,1)上单调递增.(1分)
证明如下:令>0,解得-1得f(x2)-f(x1)=ln-ln=ln(×)=ln.(3分)
因为-11-x2+x1-x1x2=(1-x2)(1+x1)>0,
得f(x2)-f(x1)=ln>ln 1=0,
所以f(x)在(-1,1)上单调递增.(6分)
(2)f(x)=ln,定义域为(-1,1),
f(-x)=ln=-ln=-f(x),
所以f(x)是奇函数.(9分)
所以f(x-3)<-f(-),即f(x-3)又f(x)在(-1,1)上单调递增,所以-1解得2所以x的取值范围为(2,).(15分)
17.(15分)【情境创新】[2025吉林九师联盟联考]某制药厂临床试验一批新药的疗效(α-因子是主要成分),根据相关规定:服用新药后,100 mL血液中α-因子含量达到20 mg~79 mg认定为有效Ⅰ级,80 mg及以上认定为有效Ⅱ级,20 mg以下认定为无效.经过大量试验得知,服用该药后一开始血液中α-因子的浓度呈线性增长,当其上升到1.2 mg/mL时,血液中α-因子的浓度将会以每小时20%的速度减少(函数模型如图).
(1)请写出服用该药后血液中α-因子浓度y(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的关系式;
(2)服用该药后,至少要经过几小时血液中α-因子才能降至无效 (结果取整数)
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
17.【解析】 (1)开始时,血液中α-因子浓度呈线性增长,设y=kx+b(k≠0),
将(0,0),(0.25,0.3)代入,得解得k=1.2,b=0,因此y=1.2x.(3分)
当y=1.2时,x=1,又当α-因子浓度上升到1.2 mg/mL时,以每小时20%的速度减少,
则当x>1时,y=1.2(1-0.2)x-1=1.2×0.8x-1.(6分)
所以所求关系式为y=(7分)
(2)设经过x小时血液中α-因子降至无效,即1.2×0.8x-1<0.2,(9分)
整理得0.8x-1<,两边取常用对数,得lg 0.8x-1则x-1>=≈=7.8,解得x>8.8,
所以至少要经过9小时血液中α-因子才能降至无效.(15分)
18.(17分)[2025石家庄二中高一期末]函数f(x)=log4(4x+1+4)+kx-1是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)证明:f(x)≥;
(3)设g(x)=log4[a(2x-)],若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
18.【解析】 (1)函数f(x)=log4(4x+1+4)+kx-1=log4(4x+1)+kx.(1分)
方法一 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,
即log4(4x+1)-log4(4x+1)+log44x=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,所以k=-.(4分)
方法二 因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),
即log45+k=log4-k,解得k=-.
当k=-时,f(x)=log4(4x+1)-x,定义域为R,
f(-x)=log4(4-x+1)+x=log4(4x+1)-log44x+x=log4(4x+1)-x=f(x),
所以f(x)是偶函数,故k=-.(4分)
(2)方法一 要证f(x)≥,只需证log4(4x+1+4)≥(x+3),
因为(x+3)=log42x+3,
所以即证4x+1+4≥2x+3,即证-2·2x+1≥0,即证≥0,此式恒成立,得证.(10分)
方法二 f(0)=,证明f(x)的最小值为f(0)即可.
下面利用定义法证明f(x)在区间[0,+∞)上的单调性:
f(x)=log4(4x+1)-x=log4(4x+1)-log42x=log4(2x+2-x),
令h(x)=2x+2-x,任取0≤x1h(x1)-h(x2)=+--=(-)(1-),
因为0≤x1所以1->0,所以h(x1)-h(x2)<0,
所以h(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)≥f(0),即f(x)≥.(10分)
方法三 f(x)=log4(4x+1)-x=log4(4x+1)-log42x=log4(2x+2-x),
令h(x)=2x+2-x,可得2x+2-x≥2(当且仅当2x=1,即x=0时取等号),
所以f(x)=log4(2x+2-x)≥log42=.(10分)
(3)因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
所以方程log4(4x+1)-x=log4[a(2x-)]有且只有一个根,
即方程2x+=a(2x-)有且只有一个根,
令t=2x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.(14分)
当a=1时,解得t=-,不符合题意;
当a>1时,y=(a-1)t2-at-1的图象所在抛物线开口向上,且过定点(0,-1),故方程(a-1)t2-at-1=0恒有一个正实根;
当a<1时,解得a=-3.
综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).(17分)
19.(17分)【探索新定义】[2025华中师大一附中高一阶段检测]定义:若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都有唯一的x2,使得f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数f(x)为“伴随函数”.
(1)判断g(x)=ln x是否为“伴随函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=2 025x-2在定义域[a,b]上为“伴随函数”,求a+b的值;
(3)已知函数h(x)=(x-a)2(a≤2)在定义域[,3]上为“伴随函数”,若 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt16+log2t-x,求k的取值范围.
19.【解析】 (1)函数g(x)=ln x的定义域为(0,+∞),
取x1=1,则g(x1)=ln x1=ln 1=0,此时,不存在x2∈(0,+∞),使得g(x1)g(x2)=1,
因此,函数g(x)=ln x不是“伴随函数”.(3分)
(2)因为函数f(x)=2 025x-2在定义域[a,b]上单调递增且为“伴随函数”,
所以存在x1∈[a,b],使得f(a)f(x1)=1成立.
若x1∈[a,b),则f(a)f(x1)=1根据题意,存在x2∈[a,b],使得f(b)f(x2)=1成立,
若x2∈(a,b],则f(b)f(x2)=1>f(a)f(b),矛盾.(6分)
故x1=b,x2=a,f(a)f(b)=2 025a-2·2 025b-2=1,(8分)
所以a+b-4=0,a+b=4.(9分)
(3)第一步:分≤a≤2,a<两种情况讨论,根据“伴随函数”的定义求出a的值,得函数h(x)的解析式
若≤a≤2,则当x∈[,3]时,h(x)min=h(a)=0,
此时,不存在x0∈[,3],使得h(a)h(x0)=1,则函数h(x)不是“伴随函数”,
所以a<,所以函数h(x)=(x-a)2在[,3]上单调递增,
则h(x)min=h()=(-a)2,h(x)max=h(3)=(3-a)2.(11分)
由“伴随函数”的定义可得h()h(3)=(-a)2(3-a)2=1,
因为a<,所以a=0,即h(x)=x2,x∈[,3].(13分)
第二步:利用基本不等式求出logt16+log2t(t>1)的最小值
当t>1时,ln t>0,则logt16+log2t=+=+≥2=4,当且仅当=,即t=4时,等号成立.(14分)
第三步:利用参变量分离得出k≤-在[,3]上有解
因为 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt16+log2t-x,
所以kx2≤4-x,即k≤-在[,3]上有解.(15分)
第四步:利用换元法求出-的最大值
令q=∈[,3],则k≤4q2-q,则k≤,
令s(q)=4q2-q,q∈[,3],则函数s(q)在[,3]上单调递增,
所以s(q)max=s(3)=36-3=33.(16分)
第五步:得k的取值范围
则k≤33,因此实数k的取值范围是(-∞,33].(17分)
