第五章 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025宁波效实中学高一期末]函数f(x)=tan 2x的定义域为( )
A.{x|x≠+,k∈Z}
B.{x|x≠+kπ,k∈Z}
C.{x|x≠+,k∈Z}
D.{x|x≠+kπ,k∈Z}
1.A 因为2x≠kπ+,k∈Z,所以x≠+,k∈Z,则函数f(x)=tan 2x的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.
2.[2024北京十一学校高一期末]已知点P(cos ,-1)是角α终边上一点,则sin α=( )
A. B. C.- D.-
2.D 由点P(cos ,-1),即点P(,-1),可得|OP|==(O是坐标原点),又点P是角α终边上一点,所以sin α==-.
3.[2025衡水二中、石家庄二中等校高一期末]小明同学在公园散步时,对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣,并画出该扇形石雕的形状(如图2),在扇形AOB中,∠AOB=,OA=10 cm,则扇形AOB的面积为( )
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D.125π cm2
3.A 由已知可得扇形的圆心角α=,扇形半径r=10 cm,则扇形面积为S=αr2=××102=(cm2).
4.[2025北京市大兴区高一期末]设α,β均为锐角,则“2α<β”是“sin α
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.C 利用正弦函数的单调性以及充分、必要条件的判断可得结果.由α,β均为锐角且2α<β,得到0<α<β-α<,故sin α5.[2024南师附中高一月考]已知=,则sin 2θ=( )
A. B. C. D.
5.B 因为=,所以=,所以=,所以cos θ-sin θ=,所以(cos θ-sin θ)2=(sin 2θ=2sin θcos θ,遇见它要想到从式子(cos θ±sin θ)2中找突破口),即cos2θ-2sin θcos θ+sin2θ=,所以1-sin 2θ=,解得sin 2θ=.
6.[2025山西大学附中、太原五中等校高一期末]若函数f(x)=asin 2x+cos 2x在x=处取得最大值,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
6.D 因为当x=时函数f(x)取得最大值,所以a+=),解得a=,所以f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)=2sin(2x+2φ+),又函数g(x)为奇函数,则2φ+=kπ(k∈Z),所以φ=-(k∈Z),又φ>0,所以当k=1时,φ有最小值.
7.[2025兰州一中高一期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=( )
A. B.0 C.+2 D.-2
7.A 根据图象确定函数解析式+根据周期性求值
思路导引 根据图象求出函数f(x)的解析式,利用对称性求解一个周期内的值,进而利用周期性求解即可.
由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象可知,A=2,最小正周期T=8,故ω==,又f(0)=0且|φ|<,可得φ=0,故f(x)=2sinx.根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=,f(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]+f(1)=0+=.
8.[2025芜湖一中高一期末]在△ABC中,内角A,B,C满足sin C-3sin(B-A)=0,且tan B<4,则+的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025启东中学高一期末]下列四个函数中,周期为π,且在区间(,π)上单调递增的有( )
A.y=|sin x| B.y=cos 2x
C.y=tan x D.y=cos
9.BC A( )当x∈(,π)时,sin x>0,所以y=|sin x|=sin x,但是y=sin x在(,π)上单调递减,所以y=|sin x|在(,π)上单调递减.
B(√)函数y=cos 2x的最小正周期T==π,当x∈(,π)时,2x∈(π,2π),又y=cos x在(π,2π)上单调递增,所以y=cos 2x在(,π)上单调递增.
C(√)函数y=tan x的最小正周期为π且在(,π)上单调递增.
D( )函数y=cos 的最小正周期T==4π.
10.【情境创新】[2024雅礼中学月考]如图1是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道,建立平面直角坐标系如图2,h(单位:m)表示在时间t(单位:s)时,过山车(看作质点)离地平面的高度,轨道最高点P距离地平面50 m,最低点Q距离地平面10 m,入口处M距离地平面20 m.当t=4 s时,过山车到达最高点P,t=10 s时,过山车到达最低点Q.设h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),下列结论正确的是( )
A.函数h(t)的最小正周期为12
B.φ=
C.t=14 s时,过山车距离地平面40 m
D.一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
10.ACD 由题意可知,最小正周期T满足=10-4=6,得T=12,所以=12,得ω=,又所以解得A=20,B=30,所以h(t)=20sin(t+φ)+30,又h(0)=20,即20sin φ+30=20,所以sin φ=-,因为|φ|<,所以φ=-,所以h(t)=20sin(t-)+30.A(√)最小正周期T=12;B( )φ=-;C(√)h(14)=20sin(×14-)+30=20sin+30=40;D(√)由h(t)<20,得20sin(t-)+30<20,即sin(t-)<-,得+2kπ11.[2024重庆八中高一阶段测试]已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则下列结论正确的是( )
A.ω的值可能是3
B.f(x)在区间[0,]上单调递减
C.f(x)图象的对称轴可能是x=
D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移个单位长度,则不可能得到奇函数的图象
11.AB A(√)因为函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,且当0≤x≤π时,≤ωx+≤πω+,所以≤πω+<,解得≤ω<.B(√)当0≤x≤时,≤ωx+≤ω+,因为≤ω<,所以≤ω+<π,所以函数f(x)在区间[0,]上单调递减.C( )因为≤ω<,所以≤+<,所以f(x)图象的对称轴不可能是x=.D( )若将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度(看清题目条件中的“沿x轴平移个单位长度”,分向左平移和向右平移两种情况讨论),则得到的图象对应的函数为g(x)=cos[ω(x+)+]=cos(ωx++),若此函数为奇函数,则+=+kπ,k∈Z,即ω=+3k,k∈Z,又≤ω<,所以不存在对应的k满足题意;若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度,则得到的图象对应的函数为h(x)=cos[ω(x-)+]=cos(ωx-+),若此函数为奇函数,则-+=+kπ,k∈Z,即ω=--3k,k∈Z,又≤ω<,故k=-1,即存在k满足题意.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025昆明一中高一期末]函数f(x)=sin2x+4cos x(x∈[-,]),则f(x)的最小值为 .
12. f(x)=sin2x+4cos x=1-cos2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,因为x∈[-,],所以cos x∈[,1],cos x-2∈[-,-1],f(x)=-(cos x-2)2+5∈[,4],故f(x)的最小值为.
13.[2024新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
13.- 方法一 由题知tan(α+β)===-2,即sin(α+β)=-2cos(α+β),又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,可得sin(α+β)=±.由2kπ<α<2kπ+,k∈Z,2mπ+π<β<2mπ+,m∈Z,得2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z.又tan(α+β)<0,所以α+β是第四象限角,故sin(α+β)=-.
方法二 因为α为第一象限角,β为第三象限角,所以cos α>0,cos β<0,cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β====-.
14.[2025福建师大附中高一期末]函数f(x)=当a=1时,f(x)的零点个数为 ;若f(x)恰有4个零点,则a的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.1 (] 第一空:若a=1,当00,无零点.故此时f(x)的零点个数是1.
第二空:显然,y=x2-4ax+8(x≥a)至多有2个零点,故y=cos πx在(0,a)上至少有2个零点,所以a>.
如图1,若y=cos πx(0
如图2,若y=cos πx(0
当a>时,f(a)=8-3a2<0,所以y=x2-4ax+8(x≥a)恰有1个零点,而y=cos πx(0综上,四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025昆明三中高一期末改编]已知sin α=-cos α.
(1)求-tan(3π+α)的值;
(2)求的值.
15.【解析】 (1)因为sin α=-cos α,所以tan α=-,(1分)
所以-tan(3π+α)
=-tan α(3分)
=-tan α
=-(-)
=.(6分)
(2)
=(8分)
=
=(对于齐次式,考虑弦化切)(11分)
=
=.(13分)
16.(15分)[2025吕梁市高级中学高一期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)只满足以下四个条件中的三个:①f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)图象的两条对称轴之间的最小距离为;③f()=0;④f()=f()=.
(1)请找出这三个条件并说明理由,求出函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
16.【解析】 (1)由②,得函数f(x)的最小正周期为π,所以①②相互矛盾.(1分)
若选①③④,则ω=1,由f()=0,得sin(+φ)=0,又|φ|<,解得φ=-,
此时f()=Asin,f()=Asin,f()≠f(),故选②③④.(3分)
由②,得ω=2,由f()=0,得sin(+φ)=0,又|φ|<,解得φ=-.(5分)
此时f()=Asin,f()=Asin,满足f()=f().
由f()=,得A=2,
所以f(x)=2sin(2x-).(8分)
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.(11分)
又x∈[0,π],所以0≤x≤或≤x≤π.
所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].(15分)
17.(15分)[2025杭州二中高一期末]如图,在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,角α的终边OA与单位圆的交点为A,射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B,记点B的纵坐标y关于θ的函数为y=f(θ).
(1)若A(m,-),m<0,求α;
(2)对于(1)中的α,若f(θ)=,θ∈(π,),求tan θ;
(3)若<α<<θ<,A的纵坐标为,B的横坐标为-,求θ-α.
17.三角函数的定义+诱导公式+两角差的正切公式+二倍角的正、余弦公式+同角三角函数基本关系
思路导引 (1)根据三角函数的定义求解即可;
(2)根据诱导公式得sin(θ+)=-,利用同角三角函数的平方关系求出cos(θ+),进而求出tan(θ+),结合tan θ=tan[(θ+)-]和两角差的正切公式计算即可;
(3)根据三角函数的定义、同角三角函数的平方关系和二倍角的正、余弦公式求出sin 2α,cos 2α,sin(α+θ),结合cos(θ-α)=cos[(θ+α)-2α]和两角差的余弦公式计算即可求解.
【解析】 (1)因为A(m,-),所以sin α=-,又m<0,所以点A在第三象限,
所以α=+2kπ(k∈Z).(3分)
(2)由f(θ)=,得sin(+θ)=-sin(θ+)=,(4分)
即sin(θ+)=-,又θ∈(π,),
所以θ+∈(,),所以cos(θ+)<0,
得cos(θ+)=-=,
所以tan(θ+)==2+,(7分)
所以tan θ=tan[(θ+)-]===1.(9分)
(3)易知sin α=,cos(α+θ)=-,
由<α<<θ<可知,cos α=,<α+θ<2π,0<θ-α<,
所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=2cos2α-1=-.(11分)
由cos(α+θ)=->-,
可知<α+θ<,所以sin(α+θ)=-.(13分)
所以cos(θ-α)=cos[(θ+α)-2α]=cos(θ+α)cos 2α+sin(θ+α)sin 2α=-×(-)+(-)×=-,
故θ-α=.(15分)
18.(17分)[2025华中师大一附中期中]已知函数f(x)=(asin x+cos x)cos x(a>0),且f(x)≤f()恒成立.
(1)求a的值;
(2)设g(x)=b(sin x+cos x)-sin xcos x,若 x1∈[0,], x2∈[-,0],使得g(x1)≤f(x2),求实数b的取值范围.
18.由正弦型函数的最值求参数+三角恒等变换+不等式恒(能)成立问题
思路导引 (1)利用三角恒等变换得到f(x)=sin(2x+φ)+,其中tan φ=,根据f(x)≤f()恒成立,求出φ=+2kπ,k∈Z,故=tan(+2kπ)=,k∈Z,解得a=;
(2) x1∈[0,], x2∈[-,0],使得g(x1)≤f(x2),则只需g(x1)max≤f(x2)max.对于f(x),由正弦型函数的性质可求出f(x2)max=1;对于g(x),换元,令sin x+cos x=t,h(t)=-(t-b)2+,分b≤1,1【解析】 (1)f(x)=(asin x+cos x)cos x=asin xcos x+cos2x=asin 2x+=sin(2x+φ)+,其中tan φ=.(2分)
由于a>0,f(x)≤f()恒成立,故sin(+φ)=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,故φ=+2kπ,k∈Z.(5分)
=tan(+2kπ)=,k∈Z,解得a=.(7分)
(2)由(1)不妨取φ=,故f(x)=sin(2x+)+,
x1∈[0,], x2∈[-,0],使得g(x1)≤f(x2),
则只需g(x1)max≤f(x2)max(将不等式问题转化为函数最值问题).(9分)
当x∈[-,0]时,2x+∈[-,],故f(x)=sin(2x+)+∈[0,1],
则f(x)max=1,即f(x2)max=1.(10分)
令sin x+cos x=t,则sin xcos x=(同角三角函数基本关系的常用变形:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α),
19.(17分)【探索新定义】[2025广东省大湾区期末]人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为:cos(A,B)=×+×,余弦距离为1-cos(A,B).
(1)若A(-1,2),B(,),求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值;
(3)已知0<α<β<,M(5cos α,5sin α),N(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(M,P)=,cos(M,N)=,求M,P之间的曼哈顿距离.
19.【解析】 (1)d(A,B)=|-1-|+|2-|=.(1分)
cos(A,B)=×+×=,故余弦距离等于1-cos(A,B)=1-.(3分)
(2)cos(M,N)=·+·=sin αsin β+cos αcos β=,(5分)
cos(M,Q)=·+·=sin αsin β-cos αcos β=,(7分)
故sin αsin β=,cos αcos β=-,
则tan αtan β==-3.(9分)
(3)第一步:利用同角三角函数基本关系,两角和与差的正弦、余弦公式和余弦相似度求出点M,P的坐标
因为=5,
=5,
所以cos(M,P)=×+×=cos β=.
因为0<β<,所以sin β==.(11分)
因为=13,
所以cos(M,N)=×+×=cos(α-β)=.(13分)
因为0<α<β<,所以-<α-β<0,
所以sin(α-β)=-=-.(14分)
因为cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=×-(-)×=,
sin α==,所以M(3,4).(15分)
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,
所以P(-,).(16分)
第二步:结合题中新定义求出点M,P之间的曼哈顿距离
因为|3-(-)|+|4-|=+=,
所以M,P之间的曼哈顿距离是.(17分)第五章 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025宁波效实中学高一期末]函数f(x)=tan 2x的定义域为( )
A.{x|x≠+,k∈Z}
B.{x|x≠+kπ,k∈Z}
C.{x|x≠+,k∈Z}
D.{x|x≠+kπ,k∈Z}
2.[2024北京十一学校高一期末]已知点P(cos ,-1)是角α终边上一点,则sin α=( )
A. B. C.- D.-
3.[2025衡水二中、石家庄二中等校高一期末]小明同学在公园散步时,对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣,并画出该扇形石雕的形状(如图2),在扇形AOB中,∠AOB=,OA=10 cm,则扇形AOB的面积为( )
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D.125π cm2
4.[2025北京市大兴区高一期末]设α,β均为锐角,则“2α<β”是“sin αA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2024南师附中高一月考]已知=,则sin 2θ=( )
A. B. C. D.
6.[2025山西大学附中、太原五中等校高一期末]若函数f(x)=asin 2x+cos 2x在x=处取得最大值,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
7.[2025兰州一中高一期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=( )
A. B.0 C.+2 D.-2
8.[2025芜湖一中高一期末]在△ABC中,内角A,B,C满足sin C-3sin(B-A)=0,且tan B<4,则+的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025启东中学高一期末]下列四个函数中,周期为π,且在区间(,π)上单调递增的有( )
A.y=|sin x| B.y=cos 2x
C.y=tan x D.y=cos
10.【情境创新】[2024雅礼中学月考]如图1是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道,建立平面直角坐标系如图2,h(单位:m)表示在时间t(单位:s)时,过山车(看作质点)离地平面的高度,轨道最高点P距离地平面50 m,最低点Q距离地平面10 m,入口处M距离地平面20 m.当t=4 s时,过山车到达最高点P,t=10 s时,过山车到达最低点Q.设h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),下列结论正确的是( )
A.函数h(t)的最小正周期为12
B.φ=
C.t=14 s时,过山车距离地平面40 m
D.一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
11.[2024重庆八中高一阶段测试]已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则下列结论正确的是( )
A.ω的值可能是3
B.f(x)在区间[0,]上单调递减
C.f(x)图象的对称轴可能是x=
D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移个单位长度,则不可能得到奇函数的图象
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025昆明一中高一期末]函数f(x)=sin2x+4cos x(x∈[-,]),则f(x)的最小值为 .
13.[2024新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
14.[2025福建师大附中高一期末]函数f(x)=当a=1时,f(x)的零点个数为 ;若f(x)恰有4个零点,则a的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025昆明三中高一期末改编]已知sin α=-cos α.
(1)求-tan(3π+α)的值;
(2)求的值.
16.(15分)[2025吕梁市高级中学高一期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)只满足以下四个条件中的三个:①f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)图象的两条对称轴之间的最小距离为;③f()=0;④f()=f()=.
(1)请找出这三个条件并说明理由,求出函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
17.(15分)[2025杭州二中高一期末]如图,在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,角α的终边OA与单位圆的交点为A,射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B,记点B的纵坐标y关于θ的函数为y=f(θ).
(1)若A(m,-),m<0,求α;
(2)对于(1)中的α,若f(θ)=,θ∈(π,),求tan θ;
(3)若<α<<θ<,A的纵坐标为,B的横坐标为-,求θ-α.
18.(17分)[2025华中师大一附中期中]已知函数f(x)=(asin x+cos x)cos x(a>0),且f(x)≤f()恒成立.
(1)求a的值;
(2)设g(x)=b(sin x+cos x)-sin xcos x,若 x1∈[0,], x2∈[-,0],使得g(x1)≤f(x2),求实数b的取值范围.
19.(17分)【探索新定义】[2025广东省大湾区期末]人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为:cos(A,B)=×+×,余弦距离为1-cos(A,B).
(1)若A(-1,2),B(,),求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值;
(3)已知0<α<β<,M(5cos α,5sin α),N(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(M,P)=,cos(M,N)=,求M,P之间的曼哈顿距离.
