第一章 集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025河北武邑中学月考]已知集合A={x∈Z||x|≤3},B={x|2
A.{x|-1C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
2.[2024长沙市明德中学高一下开学考试]设m∈R,命题“存在m≥0,使mx2-mx-1=0有实根”的否定是( )
A.任意m≥0,mx2-mx-1=0无实根
B.任意m<0,mx2-mx-1=0有实根
C.存在m≥0,使mx2-mx-1=0无实根
D.存在m<0,使mx2-mx-1=0有实根
3.[2024新课标Ⅱ卷]已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则( )
4.[2025华中师大一附中期中]已知A,B是全集U的两个子集,则如图所示的阴影部分所表示的集合是( )
A.( UA)∩( UB) B.( UA)∪( UB)
C.(A∪B)∩ U(A∩B) D.(A∩B)∪ U(A∪B)
5.[2024广雅中学模拟]已知集合A={x|xA.{a|a≤-1} B.{a|-1C.{a|-1≤a<2} D.{a|a≥2}
6.[2025常德一中高一素养测评]已知x,y均为实数,则“x2+y2≠0”是“xy≠0”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.[2025南昌二中高一月考]已知非空数集T满足:任意的x∈T,有∈T,若集合T中含有4个元素,则这四个元素之积为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8.[2025运城中学高一月考]阅读不仅可以获取知识,还可以陶冶人的情操,培养人独立思考的能力.某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动,据统计,周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是15,12,9,若这三天中只有一天参加阅览的同学有20人,则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024南师附中高一期中]下列各个选项中,p是q的充分不必要条件的有( )
A.在△ABC中,p:∠A是钝角,q:△ABC是钝角三角形
B.p:a,b均为无理数,q:ab为无理数
C.p:≤0,q:(x-1)(x+2)≤0
D.p:>1,q:a>b
10.[2025孝义中学高一质量检测]若集合A={x|ax-2=0},B={x|x2+3x+2=0},且A B,则实数a的取值可以为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
11.[2024重庆一中高一月考]若 x∈A,∈A,则称集合A为幸福集合.对集合M={-1,0,,1,2,3}的所有非空子集,下列叙述正确的是( )
A.幸福集合个数为8
B.含-1的幸福集合个数为4
C.不含1的幸福集合个数为4
D.元素个数为3的幸福集合有2个
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025海南华侨中学高一期中]已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤5},A∩( UB)={1,3,5},则B= .
13.【探索创新】[2025聊城一中高一月考]设集合U={2,3,4},对其子集引进“势”的概念:①空集的“势”最小;②非空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是 .
14.[2025上海中学高一阶段检测]已知α:x<3m-4或x>-m,β:x<2或x≥4.若α是β的充分条件,则实数m的最大值为 ;若α是β的必要条件,则实数m的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024广东仲元中学高一期中]已知命题p: x∈R,2x≠-x2+m,命题q: x∈R,x2+2x-m-1=0.
(1)写出命题p的否定;
(2)若命题p为假命题,命题q为真命题,求实数m的取值范围.
16.(15分)[2025华中师大一附中检测]已知集合A={a-3,2a+1,a2+1},集合B={0,1,x}.
(1)若-3∈A,求a的值;
(2)是否存在a和x使得A=B 若存在,求出a和x的值;若不存在,请说明理由.
17.(15分)[2025南安一中高一月考]已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1}.
(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件 若存在,求出实数m的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件 若存在,求出实数m的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的必要不充分条件 若存在,求出实数m的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
18.(17分)[2025重庆南开中学检测]已知集合A={x|x2-3x+b=0},B={x|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)当b=2时,求A∪B, BA;
(2)若b=4时,存在集合M,使A M B,求出所有的集合M;
(3)集合A,B能否满足( RB)∩A= 若能,求出实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
19.(17分)【探索新定义】[2025合肥一中、六安一中等校高一联考]若存在集合A1,A2,…,Ak是集合S的非空子集(其中S≠ ),且满足A1∪A2∪…∪Ak=S,Ai∩Aj= (1≤i≠j≤k),则称(A1,A2,…,Ak)为S的一个k分划.
(1)当k=2时,A1={x|x=2m,m∈N*},A2={x|x=2m-1,m∈N*},A3={x|x=2m+1,m∈N*},试判断(A1,A2)是否为N*的一个2分划,试判断(A1,A3)是否为N*的一个2分划;
(2)若S={1,2,3,4},规定(A1,A2)和(A2,A1)是S的同一种2分划,请写出S的所有2分划;
(3)若S={1,2,…,25,26},集合B是S的非空子集,且B中任意两个不同元素之和不能被5整除,求集合B元素个数的最大值.第一章 集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025河北武邑中学月考]已知集合A={x∈Z||x|≤3},B={x|2A.{x|-1C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
1.C 集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|-12.[2024长沙市明德中学高一下开学考试]设m∈R,命题“存在m≥0,使mx2-mx-1=0有实根”的否定是( )
A.任意m≥0,mx2-mx-1=0无实根
B.任意m<0,mx2-mx-1=0有实根
C.存在m≥0,使mx2-mx-1=0无实根
D.存在m<0,使mx2-mx-1=0有实根
2.A 否定存在量词命题,先改“存在”为“任意”,再否定结论,则命题“存在m≥0,使mx2-mx-1=0有实根”的否定为“任意m≥0,mx2-mx-1=0无实根”.
3.[2024新课标Ⅱ卷]已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则( )
3.B 因为 x∈R,|x+1|≥0,所以命题p为假命题,所以 p为真命题.因为x3=x,所以x3-x=0,所以x(x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0或x=1,所以 x>0,使得x3=x,所以命题q为真命题,所以 q为假命题,所以 p和q都是真命题.
4.[2025华中师大一附中期中]已知A,B是全集U的两个子集,则如图所示的阴影部分所表示的集合是( )
A.( UA)∩( UB)
B.( UA)∪( UB)
C.(A∪B)∩ U(A∩B)
D.(A∩B)∪ U(A∪B)
4.C 由题图可知,阴影部分所表示的集合中的元素x∈A∪B且x A∩B,则阴影部分所表示的集合是(A∪B)∩ U(A∩B).
5.[2024广雅中学模拟]已知集合A={x|xA.{a|a≤-1} B.{a|-1C.{a|-1≤a<2} D.{a|a≥2}
5.D RB={x|x≤-1或x≥2},A={x|x要使A∪( RB)=R,则a≥2,即a的取值范围为{a|a≥2}.
6.[2025常德一中高一素养测评]已知x,y均为实数,则“x2+y2≠0”是“xy≠0”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.C 举例说明由x2+y2≠0不能推出xy≠0,再证明由xy≠0可推出x2+y2≠0,结合充分条件和必要条件的定义确定结论.取x=1,y=0,可得x2+y2≠0,但xy=0,故由x2+y2≠0不能推出xy≠0.由于xy≠0,所以x和y均不为0,所以可以推断x2+y2≠0.综上,“x2+y2≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件.
7.[2025南昌二中高一月考]已知非空数集T满足:任意的x∈T,有∈T,若集合T中含有4个元素,则这四个元素之积为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.C 由题意可得x≠(集合中元素的互异性),=-∈T,=∈T,=x∈T,则T={x,,-,},故这四个元素之积为x··(-)·=1.
8.[2025运城中学高一月考]阅读不仅可以获取知识,还可以陶冶人的情操,培养人独立思考的能力.某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动,据统计,周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是15,12,9,若这三天中只有一天参加阅览的同学有20人,则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
B 设这三天都到电子阅览室阅览的同学人数为x,作出如图所示的Venn图,
由题意得
则有所以2b+2c+2e+3x=16,即2(b+c+e)+3x=16.因为要让x最大,所以2(b+c+e)需要最小.若2(b+c+e)=0,则x=,不满足题意;若2(b+c+e)=2,则x=,不满足题意;若2(b+c+e)=4,则x=4,满足题意.则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是4.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2024南师附中高一期中]下列各个选项中,p是q的充分不必要条件的有( )
A.在△ABC中,p:∠A是钝角,q:△ABC是钝角三角形
B.p:a,b均为无理数,q:ab为无理数
C.p:≤0,q:(x-1)(x+2)≤0
D.p:>1,q:a>b
9.AC 列表【解析】直观解疑惑
10.[2025孝义中学高一质量检测]若集合A={x|ax-2=0},B={x|x2+3x+2=0},且A B,则实数a的取值可以为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.ABC 由x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2,则B={-2,-1}.当A= 时,方程ax-2=0无解,则a=0,满足题意;当A≠ 时,方程ax-2=0有解,则a≠0且x=,因为A B,所以∈B,因此=-1或=-2,即a=-2或a=-1.综上所述,a的值为-2,-1,0.故选ABC.
11.[2024重庆一中高一月考]若 x∈A,∈A,则称集合A为幸福集合.对集合M={-1,0,,1,2,3}的所有非空子集,下列叙述正确的是( )
A.幸福集合个数为8
B.含-1的幸福集合个数为4
C.不含1的幸福集合个数为4
D.元素个数为3的幸福集合有2个
11.BD 具有“幸福关系”的元素组有:1;,2;-1三组.含一组的幸福集合有{1},{-1},{,2},共3个;含两组的幸福集合有{-1,1},{1,,2},{-1,,2},共3个;含三组的幸福集合有{1,-1,,2},共1个.A( )所以M的非空子集中幸福集合的个数为3+3+1=7;B(√)C( )其中含-1的幸福集合个数为4,不含1的幸福集合个数为3;D(√)元素个数为3的幸福集合有2个.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025海南华侨中学高一期中]已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤5},A∩( UB)={1,3,5},则B= .
12.{0,2,4} 由题意,U=A∪B={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5}.
方法一 因为A∩( UB)={1,3,5},所以1∈A,3∈A,5∈A,1 B,3 B,5 B,若0 B,则0∈A,则0∈A∩( UB),与题意不符,故0∈B,同理可得,2∈B,4∈B,即B={0,2,4}.
方法二 符合题意的Venn图如下:
其中阴影部分表示A∩( UB),因为A∩( UB)={1,3,5},U={0,1,2,3,4,5},所以由Venn图可得B={0,2,4}.
13.【探索创新】[2025聊城一中高一月考]设集合U={2,3,4},对其子集引进“势”的概念:①空集的“势”最小;②非空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是 .
13.{2,4} 集合U={2,3,4},将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,结果为 ,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4},排在第6位的子集是{2,4}.
14.[2025上海中学高一阶段检测]已知α:x<3m-4或x>-m,β:x<2或x≥4.若α是β的充分条件,则实数m的最大值为 ;若α是β的必要条件,则实数m的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.-4 {m|m>1} 设A={x|x<3m-4或x>-m},B={x|x<2或x≥4}.若α是β的充分条件,则A B,所以解得m≤-4,即实数m的最大值是-4.
由α是β的必要条件可得B A,分类讨论,根据子集概念求解即可.若α是β的必要条件,则B A,①当3m-4>-m,即m>1时,A=R,此时B A成立;②当3m-4≤-m,即m≤1时,若B A,则解得m≥2,又m≤1,故无解.综上,m的取值范围是{m|m>1}.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024广东仲元中学高一期中]已知命题p: x∈R,2x≠-x2+m,命题q: x∈R,x2+2x-m-1=0.
(1)写出命题p的否定;
(2)若命题p为假命题,命题q为真命题,求实数m的取值范围.
15.【解析】 (1)∵命题p: x∈R,2x≠-x2+m,
∴命题p的否定: x∈R,2x=-x2+m.(4分)
(2)∵命题p为假命题,
∴命题p的否定: x∈R,2x=-x2+m为真命题,(6分)
即-x2-2x+m=0有实数根,
∴Δ1=4+4m≥0,∴m≥-1.(8分)
又∵命题q为真命题,
∴x2+2x-m-1=0有实数根,
∴Δ2=4+4(m+1)≥0,∴m≥-2.
∴m的取值范围是{m|m≥-1}.(13分)
16.(15分)[2025华中师大一附中检测]已知集合A={a-3,2a+1,a2+1},集合B={0,1,x}.
(1)若-3∈A,求a的值;
(2)是否存在a和x使得A=B 若存在,求出a和x的值;若不存在,请说明理由.
16.【解析】 (1)∵-3∈A,a2+1≠-3,(1分)
∴当a-3=-3,即a=0时,2a+1=1,a2+1=1(注意集合中元素的互异性),不满足集合中元素的互异性.(3分)
当2a+1=-3,即a=-2时,a-3=-5,a2+1=5,A={-5,-3,5}满足题意.
∴a=-2.(7分)
(2)由题意可得,a2+1≠0.
若a-3=0,则a=3,A={0,7,10}≠B,不符合题意.(10分)
若2a+1=0,则a=-,A={0,-,}≠B,不符合题意.
故不存在实数a和x,使得A=B.(15分)
17.(15分)[2025南安一中高一月考]已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1}.
(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件 若存在,求出实数m的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件 若存在,求出实数m的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的必要不充分条件 若存在,求出实数m的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
17.【解析】 (1)若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件,则A=B.(2分)
故无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件.(5分)
(2)因为m>1,所以3m-2>1>1-m,故B≠ .(6分)
若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,则A B,(7分)
故或
解这两个不等式组,得m≥4,即m的取值范围为{m|m≥4}.(10分)
(3)若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,则B A,(11分)
故或
解这两个不等式组,得m≤2,又m>1,所以m的取值范围为{m|118.(17分)[2025重庆南开中学检测]已知集合A={x|x2-3x+b=0},B={x|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)当b=2时,求A∪B, BA;
(2)若b=4时,存在集合M,使A M B,求出所有的集合M;
(3)集合A,B能否满足( RB)∩A= 若能,求出实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
18.【解析】 (1)当b=2时,A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
B={x|(x-2)(x-1)(x+4)=0}={-4,1,2}.
所以A∪B={-4,1,2}, BA={-4}.(3分)
(2)当b=4时,A={x|x2-3x+4=0},
又因为Δ=(-3)2-4×4<0,
所以A= .(5分)
因为A M B(M是非空集合,且M是B的真子集),
B={-4,1,2},
所以这样的集合M共有6个:{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}.(7分)
19.(17分)【探索新定义】[2025合肥一中、六安一中等校高一联考]若存在集合A1,A2,…,Ak是集合S的非空子集(其中S≠ ),且满足A1∪A2∪…∪Ak=S,Ai∩Aj= (1≤i≠j≤k),则称(A1,A2,…,Ak)为S的一个k分划.
(1)当k=2时,A1={x|x=2m,m∈N*},A2={x|x=2m-1,m∈N*},A3={x|x=2m+1,m∈N*},试判断(A1,A2)是否为N*的一个2分划,试判断(A1,A3)是否为N*的一个2分划;
(2)若S={1,2,3,4},规定(A1,A2)和(A2,A1)是S的同一种2分划,请写出S的所有2分划;
(3)若S={1,2,…,25,26},集合B是S的非空子集,且B中任意两个不同元素之和不能被5整除,求集合B元素个数的最大值.
19.【解析】 (1)根据定义,A1∪A2=N*,A1∩A2= ,所以(A1,A2)是N*的一个2分划.(2分)
A1∪A3={2,3,4,…},1 A1∪A3,即A1∪A3≠N*,所以(A1,A3)不是N*的一个2分划.(4分)
(2)由题意,可按A1,A2中元素个数,将(A1,A2)分成(一元集,三元集),或者(二元集,二元集)两大类.(6分)
则S的所有2分划有:
({1},{2,3,4}),({2},{1,3,4}),({3},{1,2,4}),({4},{1,2,3}),({1,2},{3,4}),({1,3},{2,4}),({1,4},{2,3}).(9分)
(3)由题意,集合S中的元素按被5除所得的余数进行分类,
记A1={1,6,11,16,21,26},A2={2,7,12,17,22},A3={3,8,13,18,23},A4={4,9,14,19,24},A5={5,10,15,20,25},
显然满足A1∪A2∪…∪A5=S,Ai∩Aj= (1≤i≠j≤5),
则(A1,A2,…,A5)为S的一个5分划.(12分)
若A1,A4中各取一元素,之和必能被5整除,故集合B不能同时选取A1,A4中元素;
若A2,A3中各取一元素,之和必能被5整除,故集合B不能同时选取A2,A3中元素;
若A1中任取两个元素,之和必不能被5整除,A2,A3,A4亦然,
若A5中任取两个元素,之和必能被5整除,故集合B至多在A5中选取一个元素.
综上,要使集合B元素个数最大,则集合B可选A1中的所有元素,A2(或A3)中的所有元素,A5中的1个元素,
即集合B元素个数的最大值为6+5+1=12.(17分)
