第二章 一元二次函数、方程和不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025广州六中高一月考改编]不等式-x2-3x<-4的解集为( )
A.{x|-4
B.{x|-1C.{x|x<-4或x>1}
D.{x|x<-1或x>4}
1.C 把原不等式两边同时乘以-1,把二次项系数化为正值,因式分解后可求得一元二次不等式的解集.由-x2-3x<-4得x2+3x-4>0,即(x+4)(x-1)>0,解得x<-4或x>1,所以不等式-x2-3x<-4的解集为{x|x<-4或x>1}.
2.[2025常州高级中学高一期中]已知x>0,则x-1+的最小值为( )
A.3 B.2 C.5 D.4
2.A 当x>0时,x-1+≥2-1=3,当且仅当x=2时取等号,所以x-1+的最小值为3.
3.[2025辽宁省实验中学高一期末]已知a,b均为正实数,若M=a3+b3,N=a2b+ab2,则( )
A.MC.M>N D.M≥N
3.D 利用作差法比较大小即可得结果.由a,b均为正实数,M=a3+b3,N=a2b+ab2,得M-N=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,当且仅当a=b时取等号,所以M≥N.
4.[2025重庆八中测试]已知a>0,b>0,则“a2+b2≥2”是“ab≥1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.B 若a>0,b>0,取a=2,b=,满足a2+b2≥2,而ab=<1,故充分性不成立;由a>0,b>0,ab≥1,得a2+b2≥2ab≥2,故必要性成立.因此“a2+b2≥2”是“ab≥1”的必要不充分条件.
5.[2025苏州中学高一期末]若命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤} B.{m|m<}
C.{m|m>} D.{m|m≥}
5.B 因为命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,所以“ x∈R,x2-x+m<0”是真命题(原命题与其否定真假性相反).
方法一 因此Δ=1-4m>0,所以m<,即实数m的取值范围是{m|m<}.
方法二 所以m<-x2+x有解,则m<(-x2+x)max,又-x2+x=-(x-)2+≤,所以m<,即实数m的取值范围是{m|m<}.
6.[2024南山中学模拟]若实数x,y满足4x2+y2-xy=3,则4x2+y2的最大值为( )
A. B.8 C.3 D.4
6.D 4x2+y2=3+xy=3+·2x·y≤3+×,所以(4x2+y2)≤3,解得4x2+y2≤4,当且仅当2x=y,即x=,y=或x=-,y=-时,等号成立,所以4x2+y2的最大值为4.
7.[2025宁都中学高一月考改编]某企业研发部原有80人,年人均投入a(a>0)万元,为了优化内部结构,现把研发部人员分为两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(x∈N*且45≤x≤75),调整后,研发人员的年人均投入增加4x%.要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入,则优化结构调整后的技术人员的人数x的取值范围为( )
A.45≤x≤55(x∈N*)
B.45≤x≤75(x∈N*)
C.50≤x≤55(x∈N*)
D.50≤x≤75(x∈N*)
7.A 依题意得,调整后研发人员人数为80-x,年人均投入为(1+4x%)a万元,则有(80-x)(1+4x%)a≥80a(a>0),解得0≤x≤55.因为45≤x≤75,且x∈N*,所以45≤x≤55(x∈N*).
8.[2024同济大学二附中高一期中]设0(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则实数a的取值范围是( )
A.{a|-1B.{a|0C.{a|1D.{a|38.C 由(x-b)2>(ax)2,可得(a2-1)x2+2bx-b2<0,由题意可知,不等式(a2-1)x2+2bx-b2<0的解集在方程(a2-1)x2+2bx-b2=0的两根之间,则a2-1>0,又因为01,Δ=4b2+4b2(a2-1)=4a2b2>0.解不等式(a2-1)x2+2bx-b2<0可得-1,0选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025南宁三中高一月考]若a>0,b>0,则下面结论正确的是( )
A.若a>b,则<
B.若+=4,则a+b有最小值
C.若ab+b2=2,则a+b≥4
D.若a+b=2,则ab有最大值1
9.ABD 列表【解析】直观解疑惑
10.[2025长沙一中高一月考]已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则下面说法正确的是( )
A.a2-b2>4
B.a2+<4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1D.若不等式x2+ax+b10.CD A( )由于集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,所以方程x2+ax+b=0只有一个实数解,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b,由于a>0,所以b>0.a2-b2=4b-b2=-(b-2)2+4≤4,当b=2,a=2时等号成立.
B( )a2+=4b+≥2=4,当且仅当4b=,即b=,a=时等号成立.
C(√)不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1D(√)不等式x2+ax+b11.[2025长春市实验中学高一月考]已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是( )
A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0C.方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
D.当m=3时,方程的两实数根之和为0
11.BC A( )若x2+(m-3)x+m=0有实数根,则Δ=(m-3)2-4m≥0,得m≤1或m≥9.
B(√)由题意得解得0C(√)若x2+(m-3)x+m=0无实数根,则Δ=(m-3)2-4m<0,得11}.
D( )当m=3时,方程为x2+3=0,无实数根.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025雅礼中学高一期中]若3≤a≤6,1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .
12.{a-b|1≤a-b≤5} 由1≤b≤2,得-2≤-b≤-1,又3≤a≤6,则1≤a-b≤5,即a-b的取值范围为{a-b|1≤a-b≤5}.
13.[2025天津四中高一月考]方程x2+(k-2)x+5-k=0的两根都大于2,则实数k的取值范围为 .
13.{k|-514.【模块综合】[2024杭州四中高一期末]若正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x+≥a2-3a恒成立,则实数a的取值范围是 .
14.{a|-1≤a≤4} 基本不等式+一元二次不等式
思路导引 依题意可得+=1,利用乘“1”法及基本不等式求出x+的最小值,即可得到a2-3a≤4,解此不等式即可得a的取值范围.
因为正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,即xy=4x+y,所以+=1,所以x+=(x+)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即y=8,x=2时取等号.因为x+≥a2-3a恒成立,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4,即实数a的取值范围是{a|-1≤a≤4}.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025玉溪一中高一期末]已知关于x的不等式ax2-bx+1<0的解集为{x|x<-3或x>2}.
(1)求a,b的值;
(2)已知x>0,y>0,且+=1,求bx-ay的最小值.
15.一元二次不等式+基本不等式
思路导引 (1)根据题意可知a<0,ax2-bx+1=0的根为-3,2,利用根与系数的关系可求a,b的值;
(2)结合(1)可得bx-ay=,则=(+)(+),展开后利用基本不等式可求bx-ay的最小值.
【解析】 (1)因为关于x的不等式ax2-bx+1<0的解集为{x|x<-3或x>2},
所以a<0,ax2-bx+1=0的根为-3,2,(2分)
则解得(6分)
(2)bx-ay==(+)(+)=++≥+2=+,
当且仅当=,即x=y=2+时取等号,
所以bx-ay的最小值为+.(13分)
16.(15分)[2025长沙一中高一入学考试]已知函数y=ax2+(1-a)x+a(a∈R).
(1)若ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2.
16.【解析】 (1)由题意,ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立,
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意.(2分)
当a≠0时,则有解得a≥.(5分)
故实数a的取值范围是{a|a≥}.(6分)
(2)第一步:分解因式
不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2等价于ax2+(1-a)x-2(a+1)<0,即[ax+(a+1)](x-2)<0,(8分)
第二步:分类讨论a=0,a≠0时不等式的解集情况
当a=0时,不等式可化为x-2<0,解集为{x|x<2}.
当a≠0时,与不等式对应的一元二次方程的两根为x1=-=-1-,x2=2.
当a>0时,x1当-x2,此时不等式的解集为{x|x<2或x>-1-};
当a=-时,x1=x2,此时不等式的解集为{x|x≠2};
当a<-时,x12}.(13分)
第三步:总结得不等式的解集
综上所述,
当a=0时,解集为{x|x<2};
当a>0时,解集为{x|-1-当--1-};
当a=-时,解集为{x|x≠2};
当a<-时,解集为{x|x<-1-或x>2}.(15分)
17.(15分)【情境创新】[2025宣城中学高一月考]如图所示,一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A,B(忽略社区的大小),A社区距离l上最近的点A0的距离是2 km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1 km,且A0B0=4 km.点P是线段A0B0上一点,设A0P=a km.
现规划了如下三项工程:
工程1:在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥;
工程2:将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1 km2的文化主题公园,且每平方千米造价为(1+)亿元;
工程3:将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25 km2的湿地公园,且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为W亿元.
(1)求实数a的取值范围;
(2)问点P在何处时,W最小,并求出该最小值.
17.【解析】 (1)因为直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25 km2的湿地公园,
所以=×B0P×BB0=×1×(4-a)≥0.25,
解得a≤.(3分)
直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1 km2的文化主题公园,
所以=×A0P×AA0=×2×a≥1,解得a≥1.(6分)
故实数a的取值范围为{a|1≤a≤}.(7分)
(2)依题意可得
W=(1+)·a+1×+0.1(9分)
=a+++0.1
=++2.1
≥2+2.1
=2×+2.1
=5.1,(12分)
当且仅当=,即a=3时取等号.
所以当点P满足A0P=3 km时,W最小,最小值为5.1亿元.(15分)
18.(17分)[2024包头一中期末]已知x,y,z均为正数,且x2+y2+9z2=12,证明:
(1)x+y+3z≤6;
(2)若y=4z,则+≥3.
18.【解析】 (1)因为(x+y+3z)2=x2+y2+9z2+2xy+6xz+6yz=12+2(xy+3xz+3yz)≤12+2(++),当且仅当x=y=3z=2时取等号(多次使用基本不等式,等号要在同一处取得),
所以(x+y+3z)2≤12+2(x2+y2+9z2)=36.(6分)
又因为x,y,z均为正数,所以x+y+3z≤6.(8分)
(2)要求和的最小值,应凑“定积”,直接凑不易,可先通过题干条件消去所给等式中的y.
把y=4z代入x2+y2+9z2=12,得x2+25z2=12,
所以+=(+)=(+)=(26++)≥(26+2)=3,(15分)
当且仅当x4=25z4时取等号,此时x2=5z2,解得x=z,
把y=4z和x=z代入x2+y2+9z2=12,得z=,
所以当且仅当x=,y=,z=时,取等号.(17分)
19.(17分)【探索创新】[2025深圳外国语学校高一月考]对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若>,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.
(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,判断点P(,)是否是点(a,b)的“下位点”,并证明你的结论;
(3)设正整数n满足以下条件:对集合{t|019.【解析】 (1)根据题设中的定义可得点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3,4)和(3,7).(3分)
(2)点P(,)是点(a,b)的“下位点”.(4分)
证明如下:∵点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,∴>.(5分)
又a,b,c,d均大于0,∴ad>bc,∴ad-bc>0,(6分)
∴-==<0,即>,
∴点P(,)是点(a,b)的“下位点”.(9分)
(3)若点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,可证点Q(a+c,b+d)既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”.(10分)
证明如下:∵点(a,b)是点(c,d)的“上位点”, ∴>,
∵a,b,c,d均大于0,∴ad>bc,∴ad-bc>0,
∴-===>0,
即>,∴点Q(a+c,b+d)是点(c,d)的“上位点”.(12分)
同理可得-==<0,
即>,
∴点Q(a+c,b+d)是点(a,b)的“下位点”.
∴点Q(a+c,b+d)既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”.(14分)
根据题意知,点(n,k)既是点(2 023,m)的“下位点”,又是点(2 024,m+1)的“上位点”对m∈{t|0根据上述结论可知,当n=2 023+2 024=4 047,k=2m+1时,满足条件.
故n=4 047.(17分) 第二章 一元二次函数、方程和不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025广州六中高一月考改编]不等式-x2-3x<-4的解集为( )
A.{x|-4B.{x|-1C.{x|x<-4或x>1}
D.{x|x<-1或x>4}
2.[2025常州高级中学高一期中]已知x>0,则x-1+的最小值为( )
A.3 B.2 C.5 D.4
3.[2025辽宁省实验中学高一期末]已知a,b均为正实数,若M=a3+b3,N=a2b+ab2,则( )
A.MC.M>N D.M≥N
4.[2025重庆八中测试]已知a>0,b>0,则“a2+b2≥2”是“ab≥1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2025苏州中学高一期末]若命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤} B.{m|m<}
C.{m|m>} D.{m|m≥}
6.[2024南山中学模拟]若实数x,y满足4x2+y2-xy=3,则4x2+y2的最大值为( )
A. B.8 C.3 D.4
7.[2025宁都中学高一月考改编]某企业研发部原有80人,年人均投入a(a>0)万元,为了优化内部结构,现把研发部人员分为两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(x∈N*且45≤x≤75),调整后,研发人员的年人均投入增加4x%.要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入,则优化结构调整后的技术人员的人数x的取值范围为( )
A.45≤x≤55(x∈N*)
B.45≤x≤75(x∈N*)
C.50≤x≤55(x∈N*)
D.50≤x≤75(x∈N*)
8.[2024同济大学二附中高一期中]设0(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则实数a的取值范围是( )
A.{a|-1B.{a|0C.{a|1D.{a|3选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025南宁三中高一月考]若a>0,b>0,则下面结论正确的是( )
A.若a>b,则<
B.若+=4,则a+b有最小值
C.若ab+b2=2,则a+b≥4
D.若a+b=2,则ab有最大值1
10.[2025长沙一中高一月考]已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则下面说法正确的是( )
A.a2-b2>4
B.a2+<4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1D.若不等式x2+ax+b11.[2025长春市实验中学高一月考]已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是( )
A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0C.方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
D.当m=3时,方程的两实数根之和为0
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025雅礼中学高一期中]若3≤a≤6,1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .
13.[2025天津四中高一月考]方程x2+(k-2)x+5-k=0的两根都大于2,则实数k的取值范围为 .
14.【模块综合】[2024杭州四中高一期末]若正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x+≥a2-3a恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025玉溪一中高一期末]已知关于x的不等式ax2-bx+1<0的解集为{x|x<-3或x>2}.
(1)求a,b的值;
(2)已知x>0,y>0,且+=1,求bx-ay的最小值.
16.(15分)[2025长沙一中高一入学考试]已知函数y=ax2+(1-a)x+a(a∈R).
(1)若ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2.
17.(15分)【情境创新】[2025宣城中学高一月考]如图所示,一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A,B(忽略社区的大小),A社区距离l上最近的点A0的距离是2 km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1 km,且A0B0=4 km.点P是线段A0B0上一点,设A0P=a km.
现规划了如下三项工程:
工程1:在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥;
工程2:将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1 km2的文化主题公园,且每平方千米造价为(1+)亿元;
工程3:将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25 km2的湿地公园,且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为W亿元.
(1)求实数a的取值范围;
(2)问点P在何处时,W最小,并求出该最小值.
18.(17分)[2024包头一中期末]已知x,y,z均为正数,且x2+y2+9z2=12,证明:
(1)x+y+3z≤6;
(2)若y=4z,则+≥3.
19.(17分)【探索创新】[2025深圳外国语学校高一月考]对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若>,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.
(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,判断点P(,)是否是点(a,b)的“下位点”,并证明你的结论;
(3)设正整数n满足以下条件:对集合{t|0
