期末综合卷（二）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025邯郸一中高一期末]若集合A={x∈N*|1
A.{1,2} B.{2}
C.{x|1≤x<3} D.{x|12.[2024杭州二中高一期末]若a,b∈R,则“ab>2”是“a>且b>”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2025浙江省杭州市西湖区高一期末]若xlog34=1,则4x+4-x=( )
A.0 B.1 C. D.
4.[2025成都七中高一期末]如图所示的曲边三角形(图中实线)是机械加工使用的某种钻头的横截面.它是分别以正三角形ABC(图中虚线)的三个顶点为圆心,以其边长a为半径所作的三段圆弧,,构成的封闭图形,称为鲁洛克斯三角形,则鲁洛克斯三角形的周长为( )
A.2πa B.πa C. D.
5.[2024天津卷]若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
6.[2025合肥一中高一期末]函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在幂函数f(x)的图象上,则幂函数f(x)的图象大致是( )
7.[2024九省区联考]已知θ∈(,π),tan 2θ=-4tan(θ+),则=( )
A. B. C.1 D.
8.[2025福建省龙岩市高一期末]若函数f(x)=则函数g(x)=x2f(x)-1的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.无数个
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025湖北省武汉市江岸区、江汉区高一期末]在平面直角坐标系xOy中,已知角α的终边经过点P(3,-4),则下列说法正确的有( )
A.sin α= B.=
C.= D.cos α+sin α=-
10.[2025龙岩一中高一期末]已知x>0,y>0,且x+2y=4,则( )
A.log2x+log2y≤1 B.2x+4y≤8
C.+≤4 D.≥(
11.[2025武汉二中高一期末]已知f(x)=-1,则下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.若x1C.若x1+x2<0,则f(x1)+f(x2)>0
D.若方程|f(x)+|=m有两个不同的实数解,则0三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2024巴蜀中学高一月考]已知命题p“存在实数x,使得不等式3x2+2x+a≤0成立”为真命题,则a的取值范围是 .
13.[2024重庆南开中学高一阶段测试]已知函数f(x)=cos ωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移个单位长度,得函数g(x)的图象,且g(x)的图象关于原点对称,g(x)在(-,)上单调递减,则ω= .
14.[2025惠州一中高一期末]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(-x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=b+alog2(x+4),且f()=1-log2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025潍坊一中高一阶段练习]已知0<β<α<,tan α=3,cos(α+β)=-.
(1)求sin(α-);
(2)求β.
16.(15分)【开放创新】[2025北京五中期中]设f(x)=Asin ωxcos φ+Acos ωxsin φ(A>0,0<ω<,0<φ<)的图象过点(0,1),且一个周期的图象(最高点为M,最低点为N)如图所示:
(1)求A,φ;
(2)再从以下三个条件中任选其一,使函数f(x)唯一确定,并求f(x)的单调递增区间.
条件①:MN=5;
条件②:OM=(O为坐标原点);
条件③:f()=0.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.(15分)[2025杭州二中高一期末]已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).
(1)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)设g(x)=4x-2x+1,若对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
18.(17分)[2025合肥八中高一期末]2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会,竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行,是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查,国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物,需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出,若以80元的单价出售,可售出15万件,且每降价1元,销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件,则经销商按照每件30元成本收费;若购进30万件以上,则直接与玩具公司合作,以全新方式进行销售,此时利润W(x)(万元)与销量x(万件)的关系为W(x)=-x-+1 000.
(1)当购进产品数量为10万件时,利润是多少 (利润=销售收入-成本)
(2)写出利润W(x)(万元)关于购进产品数量x(万件)的函数解析式;
(3)购进并销售产品多少万件时,利润最大 此时利润是多少
19.(17分)【探索新定义】[2025上海交大附中开学考试]已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),若存在常数T>0,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(Tx)=f(x)+T,则称函数y=f(x)具有性质P(T).
(1)若函数y=f(x)具有性质P(3),求:f(3)-f(1)的值;
(2)设f(x)=lox,求证:存在常数T>0,使得y=f(x)具有性质P(T);
(3)若函数y=f(x)具有性质P(T),且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,求证:函数y=f(x)的值域为R.期末综合卷（二）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025邯郸一中高一期末]若集合A={x∈N*|1A.{1,2} B.{2}
C.{x|1≤x<3} D.{x|11.A 列举法表示出集合A,B,再应用并集运算求解.由A={x∈N*|12.[2024杭州二中高一期末]若a,b∈R,则“ab>2”是“a>且b>”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.B 判断充分、必要条件,就看二者能否互推.先看充分性,即由ab>2能否推出a>.若a=-2,b=-5,则ab>2,即由ab>2推不出a>且b>,故充分性不成立;再看必要性,即由a>能否推出ab>2.若a>且b>,则ab>()2=2,即由a>且b>能推出ab>2,即必要性成立.所以“ab>2”是“a>且b>”的必要不充分条件.
3.[2025浙江省杭州市西湖区高一期末]若xlog34=1,则4x+4-x=( )
A.0 B.1 C. D.
3.D 因为xlog34=1,所以x==log43(logab·logba=1,a>0且a≠1,b>0且b≠1),故4x+4-x=+=3+=.
4.[2025成都七中高一期末]如图所示的曲边三角形(图中实线)是机械加工使用的某种钻头的横截面.它是分别以正三角形ABC(图中虚线)的三个顶点为圆心,以其边长a为半径所作的三段圆弧,,构成的封闭图形,称为鲁洛克斯三角形,则鲁洛克斯三角形的周长为( )
A.2πa B.πa C. D.
4.B 根据题意,结合扇形的弧长公式可得鲁洛克斯三角形的周长为3×a×=aπ.
5.[2024天津卷]若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
5.B 由函数y=4.2x单调递增可知,0a>c.
6.[2025合肥一中高一期末]函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在幂函数f(x)的图象上,则幂函数f(x)的图象大致是( )
6.C 先找到定点P的坐标,通过P点坐标求解幂函数的解析式,进而得到大致图象.函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)中,由x-3=1得x=4,y=2,则函数y=loga(x-3)+2的图象过定点P(4,2),设f(x)=xα,将(4,2)代入可得2=4α,解得α=,故幂函数f(x)==,则C选项图象符合.
7.[2024九省区联考]已知θ∈(,π),tan 2θ=-4tan(θ+),则=( )
A. B.
C.1 D.
7.A 因为θ∈(,π),所以tan θ∈(-1,0).由tan 2θ=-4tan(θ+)得=-4×(题眼),化简整理得2tan2θ+5tan θ+2=0,解得tan θ=-2(舍去)或tan θ=-,所以====.
8.[2025福建省龙岩市高一期末]若函数f(x)=则函数g(x)=x2f(x)-1的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.无数个
8.B 函数图象的应用+求函数零点的个数
思路导引 根据函数表达式确定函数f(x)在(n-1,n](n∈N*)上单调递增且记f(n)=,将g(x)的零点个数转化为函数f(x)与h(x)=的图象交点个数,作出它们的大致图象后,观察可得交点个数,从而得结论.
由f(x)=得,f(x)在区间(n,n+1]上的函数值都是区间(n-1,n]上相应函数值的一半,n∈N*.又0的正解的个数,即为f(x)=的正解的个数,即为函数y=f(x)与函数y=的图象交点个数.令h(x)=,它在(0,+∞)上单调递减,h(n)=,h(1)=1>f(1)=,h(2)==f(2),h(3)=f(n)=.作出y=f(x)和h(x)=在(0,+∞)上的图象,如图,
由图可知:在x>4时,f(x)的图象与h(x)的图象没有交点,所以在(0,+∞)上,它们只有3个交点,所以g(x)的零点个数为3.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025湖北省武汉市江岸区、江汉区高一期末]在平面直角坐标系xOy中,已知角α的终边经过点P(3,-4),则下列说法正确的有( )
A.sin α=
B.=
C.=
D.cos α+sin α=-
9.BCD A( )由三角函数定义可知sin α==-.
B(√)易知cos α==,所以==).
C(√)==cos α=.
D(√)将sin α=-,cos α=代入可得cos α+sin α=-=-=-=-).
10.[2025龙岩一中高一期末]已知x>0,y>0,且x+2y=4,则( )
A.log2x+log2y≤1
B.2x+4y≤8
C.+≤4
D.≥(
10.ACD A(√)因为x+2y≥2,所以4≥2,则xy≤2,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立,因为y=log2x在定义域上单调递增,所以log2x+log2y=log2(xy)≤1.
B( )由基本不等式,得2x+4y≥2=8,当且仅当2x=4y,即x=2,y=1时取等号.
C(√)由x+2y=4得(x+1)+(2y+3)=8(根据C选项的结构特征,对式子进行灵活变形,配凑出和为常数的形式),故+===≤=4(另解：)),当且仅当x+1=2y+3,即x=3,y=时等号成立.
D(√)因为-()2=()2≥(几个重要的不等式:(1)(a,b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a=b),所以≥()2,所以x2+(2y)2≥8,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立,即x2+4y2≥8,即x2≥-4y2+8,又y=2x在R上单调递增且(=,所以≥(.
11.[2025武汉二中高一期末]已知f(x)=-1,则下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.若x1C.若x1+x2<0,则f(x1)+f(x2)>0
D.若方程|f(x)+|=m有两个不同的实数解,则011.ACD A(√)因为f(x)=-1=,所以函数f(x)的定义域为R,且f(-x)===-f(x),故函数f(x)是奇函数.
B( )因为y=1+2x为增函数,所以f(x)=-1为减函数,所以若x1f(x2)(若x1C(√)因为x1+x2<0,所以x1<-x2,因为f(x)=-1为减函数且为奇函数,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.
D(√)令g(x)=|f(x)+|=|-|,易知g(x)的图象是由函数y=的图象向下平移个单位后,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的,作出函数g(x)的图象如图所示:
因为方程|f(x)+|=m有两个不同的实数解,所以由图得0三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2024巴蜀中学高一月考]已知命题p“存在实数x,使得不等式3x2+2x+a≤0成立”为真命题,则a的取值范围是 .
12.(-∞,] 由题意得Δ=4-4×3a≥0,解得a≤,所以a的取值范围是(-∞,].
13.[2024重庆南开中学高一阶段测试]已知函数f(x)=cos ωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移个单位长度,得函数g(x)的图象,且g(x)的图象关于原点对称,g(x)在(-,)上单调递减,则ω= .
13.3 由题意知g(x)=cos(ωx+),因为g(x)的图象关于原点对称,所以=+k1π,k1∈Z,解得ω=6k1+3,k1∈Z.当x∈(-,)时,ωx+∈(-+,+),即ωx+∈(,),由于g(x)在(-,)上单调递减,因此k2∈Z,解得≤ω≤,k2∈Z,由于k2∈Z,则k2=0,解得0<ω≤.又由于ω=6k1+3,k1∈Z,则k1=0,ω=3.
14.[2025惠州一中高一期末]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(-x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=b+alog2(x+4),且f()=1-log2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= .
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2025潍坊一中高一阶段练习]已知0<β<α<,tan α=3,cos(α+β)=-.
(1)求sin(α-);
(2)求β.
15.【解析】 (1)tan α==3,
因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
所以sin α=,cos α=,(4分)
所以sin(α-)=sin αcos-cos αsin =×-×=.(6分)
(2)因为0<β<α<,且cos(α+β)=-,所以0<α+β<π,
sin(α+β)==,(9分)
所以sin β=sin[(α+β)-α]=×-(-)×=,
又因为0<β<,所以β=.(13分)
16.(15分)【开放创新】[2025北京五中期中]设f(x)=Asin ωxcos φ+Acos ωxsin φ(A>0,0<ω<,0<φ<)的图象过点(0,1),且一个周期的图象(最高点为M,最低点为N)如图所示:
(1)求A,φ;
(2)再从以下三个条件中任选其一,使函数f(x)唯一确定,并求f(x)的单调递增区间.
条件①:MN=5;
条件②:OM=(O为坐标原点);
条件③:f()=0.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.【解析】 (1)f(x)=Asin ωxcos φ+Acos ωxsin φ=Asin(ωx+φ),(1分)
由图象可知,A=2,所以f(x)=2sin(ωx+φ),(2分)
因为f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过(0,1),
所以1=2sin φ,所以sin φ=,(4分)
又0<φ<,解得φ=,
综上所述,A=2,φ=.(6分)
(2)选择条件①:
因为MN=5,所以|xM-xN|==3,
所以==3 ω=,
故f(x)=2sin(x+).(10分)
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.(15分)
选择条件②:
因为OM=,所以xM==1,得M(1,2),
所以2=2sin(ω+),所以1=sin(ω+),
由0<ω<,解得ω=,
故f(x)=2sin(x+).(10分)
下同①.
选择条件③:
因为f()=0,所以sin(+)=0,
则+=kπ,k∈Z,解得ω=-,k∈Z,
由0<ω<,解得ω=,
故f(x)=2sin(x+).(10分)
下同①.
17.(15分)[2025杭州二中高一期末]已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).
(1)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)设g(x)=4x-2x+1,若对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
17.利用函数单调性求最值+含参指数函数的最值+由对数型复合函数的单调性求参数
思路导引 (1)根据二次函数以及对数型复合函数的单调性即可求解,
(2)利用二次函数的性质求解g(x2)的最值,根据f(x)≥g(x2)min对任意的x∈(0,1)恒成立,分离参数,利用基本不等式即可求解.
【解析】 (1)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,则需满足解得a<,即a的取值范围为(-∞,).(5分)
(2)g(x)=4x-2x+1=-2×2x=-1,(7分)
由于x2∈[-1,1],则∈[,2],故g(x2)∈[-1,0].(10分)
由于对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,故f(x1)≥g,因此f(x)≥-1对任意的x∈(0,1)恒成立,
因此x2-ax+1≥,即x2-ax+≥0对任意的x∈(0,1)恒成立,
故ax≤x2+,即a≤x+对任意的x∈(0,1)恒成立,
由于x+≥2=,当且仅当x=时取到等号,
故a≤,即a的取值范围为(-∞,].(15分)
18.(17分)[2025合肥八中高一期末]2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会,竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行,是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查,国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物,需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出,若以80元的单价出售,可售出15万件,且每降价1元,销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件,则经销商按照每件30元成本收费;若购进30万件以上,则直接与玩具公司合作,以全新方式进行销售,此时利润W(x)(万元)与销量x(万件)的关系为W(x)=-x-+1 000.
(1)当购进产品数量为10万件时,利润是多少 (利润=销售收入-成本)
(2)写出利润W(x)(万元)关于购进产品数量x(万件)的函数解析式;
(3)购进并销售产品多少万件时,利润最大 此时利润是多少
18.【解析】 (1)(80-30)×10-300=20(万元).
所以当购进产品数量为10万件时,利润是200万元.(3分)
(2)当0当15则15+0.5t=x,得到t=2x-30,
所以W(x)=[80-(2x-30)]x-30x-300=-2x2+80x-300;(6分)
当x>30时,W(x)=-x-+1 000,
所以W(x)=(9分)
(3)对x分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
由(2)知,当0当x=15时,利润最大,此时利润是450万元;(11分)
当15当x=20时,利润最大,此时利润是500万元;(13分)
当x>30时,W(x)=-x-+1 000=-[(x+10)+]+1 010≤-2+1 010=910,
当且仅当x+10=,即x=40时,利润最大,此时利润是910万元.(16分)
因为910>500>450,所以当购进并销售产品40万件时,利润最大,此时利润是910万元.(17分)
19.(17分)【探索新定义】[2025上海交大附中开学考试]已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),若存在常数T>0,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(Tx)=f(x)+T,则称函数y=f(x)具有性质P(T).
(1)若函数y=f(x)具有性质P(3),求:f(3)-f(1)的值;
(2)设f(x)=lox,求证:存在常数T>0,使得y=f(x)具有性质P(T);
(3)若函数y=f(x)具有性质P(T),且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,求证:函数y=f(x)的值域为R.
【解析】 (1)因为函数y=f(x)具有性质P(3),所以f(3×1)=f(1)+3,
所以f(3)-f(1)=f(1)+3-f(1)=3.(3分)
(2)T>0,则f(Tx)=lo(Tx)=loT+lox,
令loT=T,即loT-T=0,
设h(x)=lox-x,x>0.(6分)
因为h(1)=-1<0,h()=>0,
所以在区间(,1)上函数h(x)存在零点x0,
当T=x0时,loT=T,则f(Tx)=f(x)+T,所以函数f(x)具有性质P(T).(9分)
(3)设n∈N*,因为f(Tx)=f(x)+T,所以f(T·Tx)=f(Tx)+T=f(x)+2T,f(T·T2x)=f(T2x)+T=f(x)+3T,…,f(T·Tn-1x)=f(Tn-1x)+T=f(x)+nT,即f(T nx)=f(x)+nT.(10分)
设g(x)=f(x)-m,m∈R,
因为g(Tx)=f(Tx)-m=f(x)-m+T=g(x)+T,
所以g(x)具有性质P(T),g(T n·x)=f(x)+nT-m.(12分)
令x=1得,g(Tn)=f(1)+nT-m,
①若g(1)=f(1)-m=0,则函数g(x)在(0,+∞)上存在零点;(13分)
②若g(1)=f(1)-m<0,即f(1)当n0>时,g(T)=f(1)+n0T-m>f(1)+T[]-m=0,即g(T)>0,
所以g(x)在区间(0,+∞)上存在零点;(14分)
③若g(1)=f(1)-m>0,即f(1)>m,
因为f(x)=f(Tnx)-nT,
所以f(T-n)=f(1)-nT,所以g(T-n)=f(1)-nT-m,
当n0>时,g(T)=f(1)-n0T-m所以g(x)在区间(0,+∞)上存在零点.(16分)
综上所述, m∈R,g(x)=f(x)-m都存在零点,即都有f(x)=m,
故f(x)的值域为R.(17分)
