九年级下第二十一章二次函数填空题专题训练（解析版）

《二次函数》填空题专题训练
1（2016 长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为______．
2．（2016 自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．
3．（2016 大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为______．
4．（2016 泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为______．
5．（2016 天水）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA OB=﹣．其中正确结论的序号是______．
6．（2016 营口）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
①AB=4；
②b2﹣4ac＞0；
③ab＜0；
④a﹣b+c＜0，
其中正确的结论是______（填写序号）．
7．（2016 十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是______（只填写序号）．
8．（2016 内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是______．
9．（2016 通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______．
10．（2016 益阳）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=______．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…
11．（2016 牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=______．
12．（2016 镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b______c（用“＞”或“＜”号填空）
13．（2016 梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．
14．（2016 兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是______．
15．（2016 大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是______．
参考答案
1．（2016 长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　．
【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC==5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
【点评】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．
　
2．（2016 自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．
【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．
（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，
∴b=0，
∵a=，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，
∵x=2时，y=8，
∴点B坐标（2，8），
∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，
∴点C坐标（4，8），
∴BC=2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC=90°，
∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，
∴∠CPB=∠PAM，
∵∠PBC=∠PMA=90°，
∴△PCB∽△APM，
∴=，
∴=，
整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，
∵a＞1，
∴a=2+．
【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．
　
3．（2016 大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为　（0，4）　．
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．
【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴kx+b=，
化简，得
x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，
∴=，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．
　
4．（2016 泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　（1+，3）或（2，﹣3）　．
【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0，
∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，﹣3）
故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）
【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．
　
5．（2016 天水）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA OB=﹣．其中正确结论的序号是　①③④　．
【分析】观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a＜0，c＞0，﹣＞0”，再由顶点的纵坐标在x轴上方得出＞0．①由a＜0，c＞0，﹣＞0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立；③由OA=OC，可得出xA=﹣c，将点A（﹣c，0）代入二次函数解析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象，发现：
开口向下 a＜0；与y轴交点在y轴正半轴 c＞0；对称轴在y轴右侧 ﹣＞0；顶点在x轴上方 ＞0．
①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵＞0，
∴＜0，②不成立；
③∵OA=OC，
∴xA=﹣c，
将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，
得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；
④∵OA=﹣xA，OB=xB，xA xB=，
∴OA OB=﹣，④成立．
综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．
　
6．（2016 营口）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
①AB=4；
②b2﹣4ac＞0；
③ab＜0；
④a﹣b+c＜0，
其中正确的结论是　①②④　（填写序号）．
【分析】利用二次函数对称性以及结合b2﹣4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB=4，故选项①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项②正确；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，
∴ab＞0，故选项③错误；
当x=﹣1时，y=a﹣b+c此时最小，为负数，故选项④正确；
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a﹣b+c的符号是解题关键．
　
7．（2016 十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是　②　（只填写序号）．
【分析】①正确．画出函数图象即可判断．
②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，故错误．
③正确．利用函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，根据函数的最值问题即可解决．
④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，则x1 1==﹣，求出x1即可解决问题．
【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，
∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
∵a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，
又∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b﹣a＜c，
∵c＞O，
∴b﹣a可以是正数，
∴a+3b+2c≤0，故②错误．
故答案为②．
∵函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，
∵＞0，
∴函数y′有最小值﹣，
∴x2+x≥﹣，故③正确．
∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，
∵x1 1==﹣，
∴x1=﹣，
∵﹣2＜x1＜x2，
∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，故④正确，
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
　
8．（2016 内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是　P＞Q　．
【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，
∵﹣=1，
∴b+2a=0，
x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
∴﹣b﹣b+c＜0，
∴3b﹣2c＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b+2c＞0，
∴p=3b﹣2c，
Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，
∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0
∴P＞Q，
故答案为：P＞Q．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．
　
9．（2016 通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）　②③⑤　．
【分析】根据二次函数的性质，结合图中信息，一一判断即可解决问题．
【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，﹣=﹣1，
∴b=2a，c=﹣3a，
∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．
∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，
又点C离对称轴近，
∴y1，＜y2，故④错误，
由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
故答案为②③⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
　
10．（2016 益阳）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=　0.75　．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…
【分析】当x＞0时，去掉绝对值符号，找出此时y关于x的函数关系式，将x=1.5代入其中即可得出m的值．
【解答】解：当x＞0时，函数y=x2﹣|x|=x2﹣x，
当x=1.5时，y=1.52﹣1.5=0.75，
则m=0.75．
故答案为：0.75．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，解题的关键是找出当x＞0时，函数的关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据绝对值的性质找出当x＞0时y关于x的函数关系式是关键．
　
11．（2016 牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=　﹣3　．
【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值．
【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=﹣2，
∴4a+c﹣1=﹣3，
故答案为﹣3．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．
　
12．（2016 镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b　＜　c（用“＞”或“＜”号填空）
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，
∴b＜c，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．
　
13．（2016 梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　（1+，2）或（1﹣，2）　．
【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），
故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．
　
14．（2016 兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是　﹣7　．
【分析】利用配方法把二次函数写成顶点式即可解决问题．
【解答】解：∵y=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，
∵a=1＞0，
∴x=﹣2时，y有最小值=﹣7．
故答案为﹣7．
【点评】本题考查二次函数的最值，记住a＞O函数有最小值，a＜O函数有最大值，学会利用配方法确定函数最值问题，属于中考常考题型．
　
15．（2016 大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是　（﹣2，0）　．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．
【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，
设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得
=