22.3 实际问题与二次函数 同步练习（2课时，含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数
第1课时 几何图形面积与最大利润问题
A分点训练
知识点一 面积的最大(小)值
1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 100m，则池底的最大面积是 ( )
A.600 m B.625 m C.650 m D.675 m
2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q从点 B开始沿边BC向C 以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果 P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 s，四边形APQC 的面积最小.
3.(沈阳中考)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m时,矩形土地 ABCD 的面积最大.
知识点二 经济效益的最优方案
4.某旅社有100 张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高 ( )
A.4元或6元 B.4元
C.6元 D.8元
5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足： =2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 万元.
6.(淮安中考)某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.
(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大 并求出最大利润.
B运用积累
7.某商店经销皮鞋，已知所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为 则获利最多为 ( )
A.3144元 B.3100元
C.144元 D.2956元
8.(潍坊模拟)如图，有一块边长为6 cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是 ( )
9.(十堰中考)为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出 20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大 最大利润是多少
10.(福建中考)如图，在足够大的空地上有一段长为a m的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100m木栏.
(1)若a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450m ，求所利用旧墙AD的长；
(2)求矩形菜园 ABCD 面积的最大值.
综合探究
11.(黔南州中考)某种蔬菜的销售单价y 与销售月份x之间的关系如图1所示，成本 y 与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线).
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元 (收益=售价-成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大 简单说明理由.
(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22 万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克.
第2课时 建立适当坐标系解决实际问题
要点分类练
知识点一 体育运动型
1.(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式 则下列说法中正确的是 ( )
A.点火后9 s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.点火后10 s的升空高度为139 m
D.火箭升空的最大高度为145 m
2.教练对小明推铅球的录像(如图)进行技术分析，发现铅球行进高度 y(m)与水平距离x(m)之间的关系为 由此可知铅球推出的距离是 ( )
A.10m B.3m
C.4m D.2m或10m
3.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离 y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是 在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m.
知识点二 桥梁建筑型
4.廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为 y= 为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为 8 m的点 E、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 m(精确到1m ).
5.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 则选取点 B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
知识点三 水流抛物型
6.(巴中中考)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( )
A.此抛物线的解析式是
B.篮圈中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D.篮球出手时离地面的高度是2m
7.(德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，水柱落地处离池中心3m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
(2)求出水柱的最大高度是多少
B运用积累
8.(文登区期中)某公园草坪的防护栏由 100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( )
A.50m B.100m C.160 m D.200 m
9.(北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系 如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据.根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 ( )
A.10m B.15 m C.20m D.22.5m
10.(绵阳中考)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m.
11.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6m ，到地面的距离AO和BD 均为0.9 m,身高为1.4m的小丽站在距点O 的水平距离为1m 的点 F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点 E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果小华站在OD 之间，且离点O的距离为3m，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高.
C综合探究
12.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上.在乒乓球运行时，设乒乓球与端点 A 的水平距离为x(m),与桌面的高度为y(m),运行时间为t(s),经多次测试后，得到如下部分数据：
t/s 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 ●
x/m 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2
y/m 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25
(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度
(2)乒乓球落在桌面时，与端点 A 的水平距离是多少
(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x 满足y= 用含a的代数式表示k.
22.3实际问题与二次函数
第1课时 几何图形面积与最大利润问题
1. B 2.3 3.150 4. C 5.46
6.解:(1)180 (2)由题意得:y=(x-40)[200-10(x 2250，∴每件销售价为55元时，获得最大利润，最大利润为2250元.
7. B 8. C
9.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y= kx+b,由题意得 解得 即y与x之间的函数关系式是 y=-0.5x+110; (2)设合作社每天获得的利润为w元,则w=x(-0.5x+110)- -120) +5000.∵60≤x≤150,∴当x=120时,ω取得最大值，此时w=5000.答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
10.解:(1)设AB=xm,则 BC=(100-2x)m,根据题意得x(100-2x)=450,解得. 当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去;当x=45时,100-2x=10.答:AD的长为10m; (2)设AD 1250,当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250;当011.解:(1)当x=6时,y =3,y =1,∵y -y =3-1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元.
(2)设 .将(3,5)、(6,3)代入y = mx+n,得 解得： 将(3,4)代入y = 得 解得： ∴当x=5时,y —y 取最大值，最大值为 ，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大.
(3)当t=4时, 设4月份的销售量为 t万千克，则5月份的销售量为(t+2)万千克，根据题意得： 解得：t=4,∴t+2=6.答:4月份的销售量为4万千克,5月份的销售量为6万千克.
第2课时 建立适当坐标系解决实际问题
1. D 2. A 3.244.18
6. A
7.解：(1)如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为 ,代入(0,2) 和(3,0) 得: 解得 抛物线的解析式为： 即 x≤ 当x=1时, 即水柱的最大高度为
8. C 9. B
11.解:(1)小丽头顶处 E点的坐标为 E(1,1.4),B的坐标为(6,0.9),代入解析式得: 解得： 解析式为： (2)由 配方得y=-0.1(x-3) +1.8,∴小华的身高为1.8m
12.解：以点 A 为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向，建立平面直角坐标系.(1)由表格中的数据,可得t=0.4s.答:当t为0.4s 时,乒乓球达到最大高度.(2)由表格中数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数.可设 .将(0,0.25)代入,可得 当y=0时， (舍去)，即乒乓球与端点A的水平距离是- (3)由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为(( ,0),代入. 得 化简整理，得