22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 同步练习（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.4 二次函数 的图象和性质
第1课时 二次函数 的图象和性质
A分点训练
知识点一 二次函数的一般形式 与 的转化
1.(山西中考)用配方法将二次函数 化为 的形式为 ( )
知识点二 二次函数 的图象和性质
2.二次函数 的图象的对称轴是( )
A. x=2 B. x=4
C. x=-5 D. x=-2
3.抛物线 的顶点坐标为 ( )
A.(-2,7) B.(-2,-25)
C.(2,7) D.(2,-9)
4.(广西中考)将抛物线 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为 ( )
5.已知抛物线 则下列说法中，不正确的是 ( )
A.顶点在第一象限
B.对称轴在 y轴的右边
C.当x>1时，y随x的增大而减小
D.当x<1时，y随x的减小而增大
6.先将下列抛物线解析式写为 的形式，然后确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，当x为何值时，y有最大(小)值 并求其值.
(2)y=(x-2)(2x-1).
知识点三 抛物线 与系数a、b、c 之间的关系
7.(青岛中考)已知一次函数y= 的图象如图，则二次函数 在平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
8.(毕节中考)已知二次函数y 的图象如图所示，下列结论：①abc>0;②2a+b>0;③b -4ac>0;④a-b+c>0,其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(宁波中考)抛物线 m是常数)的顶点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B运用积累
10.(陕西中考)已知抛物线 的顶点 M 关于坐标原点O 的对称点为M'，若点M'在这条抛物线上，则点 M 的坐标为 ( )
A.(1,-5) B.(3,-13)
C.(2,-8) D.(4,-20)
11.(德州中考)如图，函数 和y= ax—a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是 ( )
12.(牡丹江中考)如图，抛物线y= 的对称轴为直线x=-1，下列结论中：
①abc<0;②9a-3b+c<0;③b -4ac>0;④a>b,正确的结论是 (填序号).
13.已知二次函数 其中m为实数.
(1)若其图象过原点，求函数式；
(2)怎样平移此函数图象，使它在x>2时，y随x的增大而增大，在x<2时，y随x的增大而减小
14.分别在下列范围内求函数 的最大值或最小值：
(1)015.如图，已知抛物线 与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点 M为y轴上的一个动点，当△ABM是以AB 为底的等腰三角形时，求点 M 的坐标.
C综合探究
16.如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点 M从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从 B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向 C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点 N 作NP 垂直x轴于点 P,连接AC 交NP 于Q,连接MQ.
(1)点 (填“M”或“N”)能到达终点;
(2)求△AQM的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t 为何值时，S的值最大.
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
A分点训练
知识点一 已知三点求二次函数的解析式
1.已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,—5)三点，则此二次函数的解析式为 ( )
2.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为 ( )
3.若 则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是 ( )
x -1 0 1
ax 1
8 3
4.已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式是 .
5.已知二次函数 当x=-1时,y=-6;当x=1时,y=-2;当x=2时,y=3,求这个二次函数的解析式.
知识点二 已知抛物线的顶点和图象上另一点求二次函数的解析式
6.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象顶点为.A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为（ ）
7.已知一个二次函数的顶点为(3，-2)，且有最大值，请你写一个满足条件的二次函数的关系式： .
8.如果一条抛物线的开口方向、大小与 2的开口方向、大小都相同，且顶点坐标是(4，-2)，那么它的函数解析式为 .
9.已知抛物线. 经过点A(0,1),且顶点坐标为 B(1，2)，求此抛物线的解析式.
B运用积累
10.已知某二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的解析式可能是 ( )
11.已知二次函数的图象经过原点及点 且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 .
12.已知点A(-2，-c)向右平移8个单位得到点.A',A与A'两点均在抛物线 上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为-6，求这条抛物线的解析式.
13.已知抛物线 的顶点在第一象限，其横坐标是纵坐标的2倍，对称轴与x轴的交点在直线y=x-c上,求b,c的值.
14.(宁夏中考)抛物线 经过点A 和点 B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB、AC、BC,求△ABC的面积.
15.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数.y= 的解析式；
①y随x 变化的部分数值规律如下表：
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
②有序数对(-1,0)、(1,4)、(3,0)满足 y=
③已知函数 的图象的一部分(如图).
(2)直接写出二次函数 的三个性质.
C综合探究
16.阅读下面的文字，解答问题：
题目：已知二次函数 的图象经过A(0,a),B(1,-2)两点,求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.
题目中有一段被墨水污染了而无法辨认的文字.
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式 若能，写出解题过程；若不能，请说明理由；
(2)请你根据已有信息，增加一个适当的条件，把原题补充完整，所填条件是 .
22.1.4 二次函数 的图象和性质
第1课时 二次函数 的图象和性质
1. B 2. D 3. C 4. D 5. D
6.解: 开口向下，顶点(3, )，对称轴是直线x=3，当x=3时，y有最大值是 开口向上，顶点 对称轴是直线 当 时,y有最小值
7. A 8. D 9. A 10. C 11. B 12.②③④
13.解:(1)图象过原点,则 或m=-1.当m=3时,. 当m=-1时,y= (2)将 向右平移1个单位，得. 符合要求；将 向右平移3个单位，得y=(x- 符合要求.
14.解: ∴顶点坐标为(1,-4). (1)∵x=1在00,∴当x=1时,y有最小值,y最小值=-4.(2)
∵x=1不在2≤x≤3范围内,∴函数 3(2≤x≤3)的图象是抛物线 的一部分.又∵a=1>0,∴抛物线 的开口向上，如图，当x>1时，y随x的增大而增大，∴当x=3时, ,当x=2时,
15.解:(1)由题意得 解得a=-1,b=2，c=3，∴抛物线的解析式为
(2)由题意得(OA=3,OB=3;由勾股定理得 当△ABM是以AB 为底的等腰三角形时，∵OA=OB，∴此时点O即为所求的点M,故点 M的坐标为M(0,0).
16.解:(1)M (2)经过t秒时,NB=t,OM=2t则CN=3-t,AM=4-2t.∵∠BCA=∠MAQ=45°, 。当 时，S的值最大为-
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1. D 2. B 3. A 4. y=x -4x+3
5.解:把x=-1,y=-6和.x=1,y=-2以及x=2,y=3代入函数解析式 得方程组 解得 二次函数的解析式。为
6. D 7.答案开放,如
9.解：∵抛物线 顶点坐标为B(1,2), 抛物线经过点A(0,1),∴a(0-1) +2=1,∴a=-1,∴.此抛物线的解析式为y=
10. C 11. y=x +x或
12.解：由抛物线 与y轴交点的纵坐标为-6,得c=-6,∴A(-2,6),点 A 向右平移8个单位得到点A'(6，6).∵A与A'两点均在抛物线上， 解这个方程组，得 故抛物线的解析式是
13.解：依顶点坐标公式知顶点为 ∵顶点横坐标是纵坐标的 2 倍， 对称轴与x轴的交点 在直线y=x-c上, 由①、②解得 或 又∵顶点在第一象限，不合要求，舍去，
14.解:(1)∵抛物线 经过A(3 0)、B (0, 3), 解 得抛物线的解析式为 x+3; (2)由(1)知抛物线对称轴为直线 把x= 代入+3得y=4,则点C坐标为 ( ,4).设线段 AB所在直线为:y= kx+b,解得AB解析式为： 线段AB所在直线经过点A(3 ,0)、B(0,3),抛物线的对称轴l于直线AB 交于点D，∴设点 D的坐标为D( ,m).将点 D( ,m)代入 解得m=2,∴点 D的坐标为( ,2),∴CD=CE-DE=2.过点 B作BF⊥l于点F,.
15.解:(1)方法一:由①可得:c=3,a-b+c=0,a+b+c=4,∴a=-1,b=2,c=3,∴二次函数解析式为. +2x+3.方法二:由②可得:a-b+c=0,a+b+c=4,9a+3b+c=0,解得(a=-1,b=2,c=3,∴二次函数解析式为. 方法三：由图象可得：c=3，a 解得(a=-1,b=2,c=3,∴二次函数解析式为： (2)对称轴为x=1,开口向下，抛物线与x轴有两个交点，抛物线与y轴正半轴相交，有最大值等.
16.解:(1)能求出二次函数的解析式.把A(0,a),B(1,-2)分别代入解析式，并根据 组成方程组得： 解得 二次函数解析式为 (2)求出函数 的顶点坐标为(2，-3)，把顶点坐标加上即把题目补充完整，故所填条件是经过点 C(2，-3)(答案不唯一)