26.1.2 反比例函数的图象和性质 同步训练（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.1.2 反比例函数的图象和性质 同步训练（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 331.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-25 00:00:00 | ||
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文档简介
26.1.2 反比例函数的图象和性质 同步训练
一、单选题
1．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称
C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小
2．已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．如图，已知点是双曲线上一点，过点作轴于点，且，则该双曲线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．如果点在反比例函数的图象上，那么（ ）
A． B． C． D．
6．“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ）
A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大
C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限
7．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是 ．
9．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第 象限
10．如果a与b成反比例，那么“？”是 ，比例系数 ．
a 4 ？
b 200 160
11．如图，一次函数与反比例函数图像相交于点A，B两点，则不等式的解集为 ．
12．如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为 ．
三、解答题
13．已知反比例函数（m为常数）．
(1)若函数图象经过点，求m的值；
(2)若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
14．如图，已知一次函数（，是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)直接写出不等式组的解集：____
15．已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点P和点．
(1)求点P的坐标；
(2)求正比例函数的表达式和点Q的坐标．
16．如图，正比例函数与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标．
17．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键．
根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解．
【详解】解：当时，，故A错误；
反比例函数的图象均关于原点中心对称，故B正确；
，则图象位于第一、三象限，故C错误；
，则 在每个象限内y随x的增大而减小，故D错误．
故选 B．
2．D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，随增大而增大，得出，进而得出的取值范围，即可得出答案，解题时注意，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大．
【详解】解：∵ 反比例函数，当时，随增大而增大，
∴，
解得，
∴的值可能是．
故选：D．
3．B
【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义．
由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解．
【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且，
，
矩形的面积为2，故选B．
4．D
【分析】本题考查的是反比例函数比例系数的几何意义，利用反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形面积公式是解题关键．设出点的坐标，结合图象确定线段、的长度，再根据三角形面积公式建立关于的等式，进而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设，
由图象可得，，，
则，
，
该双曲线的表达式为．
故选：．
5．C
【分析】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，，
∴，即，
故选 C．
6．A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．
画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D．
【详解】解：如图，
，，
即，
那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意；
由图可知图象经过第二、三、四象限，
故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意；
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键．
根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，
∵ ，一次函数，
∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升），
令，得，
∵ ，
∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴，
结合选项，只有D符合上述特征．
故选：D．
8．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
由反比例函数的性质，结合点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，确定比例系数的正负，从而求解
【详解】解：∵点和点在反比例函数图像上，且，，
∴该反比例函数在时，y随x的增大而减小，
根据反比例函数的性质，比例系数，
解得，
故答案为
9．一、二
【分析】本题考查了反比例函数于二次函数的图象和性质．由反比例函数图像位于第一、三象限得出，再分析二次函数的图像特征，由于，抛物线开口向上且顶点在轴正半轴，值恒为正，从而判断图像经过的象限．
【详解】解：反比例函数（）的图像位于第一、三象限，
．
对于函数，
，
二次项系数为正，抛物线开口向上，
且常数项，当时，，顶点在，
，即值恒为正．
当时，，图像经过第一象限；
当时，，图像经过第二象限；
当时，，图像在轴正半轴．
综上，图像经过第一、二象限．
故答案为：一、二．
10． 5 800
【分析】本题主要考查了判断反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键；
根据反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数，即比例系数k，利用已知数据点求出k，即可求解未知数．
【详解】解：由题意得，，
“？”是：
故答案为：5，800．
11．或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图像可知，不等式的解集为或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，过点A作轴，设点，可得出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：过点A作轴，设点，
∵，
∴，
∴点，
∵顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积为6，
∴，
即，
∴，
即．
∵，
∴．
故答案为：．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，运用反比例函数的图象是解题关键．
（1）将点坐标代入解析式，计算出m；
（2）由反比例函数的增减性与k的关系，判断出的范围，从而得到m的取值范围．
【详解】（1）解：将，代入解析式得，
，
解得，；
（2）∵时，y随x的增大而减小，
∴，
解得，．
14．(1)2
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出直线解析式，求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式进行计算即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】（1）解：∵一次函数（，是常数且）的图象过、两点，
∴，
解得
所以，直线的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为，
∴，
∴
（2）解：根据图象得不等式组的解集为：．
故答案为：．
15．(1)
(2)；
【分析】本题考查了反比例函数，一次函数，正确求得反比例函数解析式和一次函数解析式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标；
（2）点代入正比例函数解析式求解，再求得点即可．
【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得（经检验，是原方程的解），
的坐标为；
（2）解：设正比例函数解析式为，
正比例函数图象经过点，
，
解得，
正比例函数的解析式为；
正比例函数图象经过点，
，
点．
16．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式．
（1）把代入正比例函数解析式，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值，即可求解函数解析式；
（2）先求出的面积，即可得到的面积，然后设点坐标为，再由面积公式建立方程求解．
【详解】（1）解：由题意得，把代入中，得，
即，
点A坐标为，
点A在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：，
，
、B关于原点对称，
，
到的距离为，
，
∵
，
设点坐标为，则到的距离为，
，解得或，
点坐标为或．
17．(1)；
(2)存在， 、、、
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性．
（1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值；
（2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标．
【详解】（1）解：依题得解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形，
联立解得：或，
即，，
，
，．
分三种直角情况讨论：
情况1：为直角
∵，
化简得 ，即 ，
解得 ，对应点 、．
情况2：为直角
则，即
化简得 ，解得 ，对应点 ．
情况3：为直角
则，即，
化简得 ，解得 ，对应点 ．
∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形．
一、单选题
1．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称
C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小
2．已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．如图，已知点是双曲线上一点，过点作轴于点，且，则该双曲线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．如果点在反比例函数的图象上，那么（ ）
A． B． C． D．
6．“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ）
A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大
C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限
7．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是 ．
9．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第 象限
10．如果a与b成反比例，那么“？”是 ，比例系数 ．
a 4 ？
b 200 160
11．如图，一次函数与反比例函数图像相交于点A，B两点，则不等式的解集为 ．
12．如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为 ．
三、解答题
13．已知反比例函数（m为常数）．
(1)若函数图象经过点，求m的值；
(2)若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
14．如图，已知一次函数（，是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)直接写出不等式组的解集：____
15．已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点P和点．
(1)求点P的坐标；
(2)求正比例函数的表达式和点Q的坐标．
16．如图，正比例函数与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标．
17．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键．
根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解．
【详解】解：当时，，故A错误；
反比例函数的图象均关于原点中心对称，故B正确；
，则图象位于第一、三象限，故C错误；
，则 在每个象限内y随x的增大而减小，故D错误．
故选 B．
2．D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，随增大而增大，得出，进而得出的取值范围，即可得出答案，解题时注意，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大．
【详解】解：∵ 反比例函数，当时，随增大而增大，
∴，
解得，
∴的值可能是．
故选：D．
3．B
【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义．
由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解．
【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且，
，
矩形的面积为2，故选B．
4．D
【分析】本题考查的是反比例函数比例系数的几何意义，利用反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形面积公式是解题关键．设出点的坐标，结合图象确定线段、的长度，再根据三角形面积公式建立关于的等式，进而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设，
由图象可得，，，
则，
，
该双曲线的表达式为．
故选：．
5．C
【分析】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，，
∴，即，
故选 C．
6．A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．
画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D．
【详解】解：如图，
，，
即，
那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意；
由图可知图象经过第二、三、四象限，
故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意；
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键．
根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，
∵ ，一次函数，
∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升），
令，得，
∵ ，
∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴，
结合选项，只有D符合上述特征．
故选：D．
8．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
由反比例函数的性质，结合点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，确定比例系数的正负，从而求解
【详解】解：∵点和点在反比例函数图像上，且，，
∴该反比例函数在时，y随x的增大而减小，
根据反比例函数的性质，比例系数，
解得，
故答案为
9．一、二
【分析】本题考查了反比例函数于二次函数的图象和性质．由反比例函数图像位于第一、三象限得出，再分析二次函数的图像特征，由于，抛物线开口向上且顶点在轴正半轴，值恒为正，从而判断图像经过的象限．
【详解】解：反比例函数（）的图像位于第一、三象限，
．
对于函数，
，
二次项系数为正，抛物线开口向上，
且常数项，当时，，顶点在，
，即值恒为正．
当时，，图像经过第一象限；
当时，，图像经过第二象限；
当时，，图像在轴正半轴．
综上，图像经过第一、二象限．
故答案为：一、二．
10． 5 800
【分析】本题主要考查了判断反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键；
根据反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数，即比例系数k，利用已知数据点求出k，即可求解未知数．
【详解】解：由题意得，，
“？”是：
故答案为：5，800．
11．或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图像可知，不等式的解集为或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，过点A作轴，设点，可得出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：过点A作轴，设点，
∵，
∴，
∴点，
∵顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积为6，
∴，
即，
∴，
即．
∵，
∴．
故答案为：．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，运用反比例函数的图象是解题关键．
（1）将点坐标代入解析式，计算出m；
（2）由反比例函数的增减性与k的关系，判断出的范围，从而得到m的取值范围．
【详解】（1）解：将，代入解析式得，
，
解得，；
（2）∵时，y随x的增大而减小，
∴，
解得，．
14．(1)2
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出直线解析式，求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式进行计算即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】（1）解：∵一次函数（，是常数且）的图象过、两点，
∴，
解得
所以，直线的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为，
∴，
∴
（2）解：根据图象得不等式组的解集为：．
故答案为：．
15．(1)
(2)；
【分析】本题考查了反比例函数，一次函数，正确求得反比例函数解析式和一次函数解析式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标；
（2）点代入正比例函数解析式求解，再求得点即可．
【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得（经检验，是原方程的解），
的坐标为；
（2）解：设正比例函数解析式为，
正比例函数图象经过点，
，
解得，
正比例函数的解析式为；
正比例函数图象经过点，
，
点．
16．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式．
（1）把代入正比例函数解析式，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值，即可求解函数解析式；
（2）先求出的面积，即可得到的面积，然后设点坐标为，再由面积公式建立方程求解．
【详解】（1）解：由题意得，把代入中，得，
即，
点A坐标为，
点A在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：，
，
、B关于原点对称，
，
到的距离为，
，
∵
，
设点坐标为，则到的距离为，
，解得或，
点坐标为或．
17．(1)；
(2)存在， 、、、
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性．
（1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值；
（2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标．
【详解】（1）解：依题得解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形，
联立解得：或，
即，，
，
，．
分三种直角情况讨论：
情况1：为直角
∵，
化简得 ，即 ，
解得 ，对应点 、．
情况2：为直角
则，即
化简得 ，解得 ，对应点 ．
情况3：为直角
则，即，
化简得 ，解得 ，对应点 ．
∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形．