26.2实际问题与反比例函数同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册

26.2 实际问题与反比例函数 同步训练
一、单选题
1．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，电路中在电压保持不变的条件下，电流I（）与电阻R（）成反比例函数关系，当电流（）时，电阻R为（ ）
A． B．10 C．13 D．40
3．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与的函数解析式是
B．当时，
C．随的增大而增大
D．当时，的取值范围是
4．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
5．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力超过即为及格．则下列说法正确的是（ ）
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．除尘能力与滚刷的滚速成正比
C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力的数值越大，表示除尘能力越强
6．某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．
下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
C．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内
二、填空题
7．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数x和包数y如下表：
每包的本数x（单位：本） 10 20 40
包数y（单位：包） 60 30 15
当每包本数时，则包数y为 ．
8．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全．
9．如图，变速自行车通常配备多个前齿轮和后齿轮，以适应不同的骑行条件，其齿轮的齿数与转速始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速．小丽同学骑变速自行车时，调节前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，若前齿轮的转速为转/分，则后齿轮的转速为 转/分．
10．某公园“水上滑梯”的侧面示意图如图所示，其中段可看成一段双曲线，表示水面．其中，入口，且，出口点距水面的距离为1m，则之间的水平距离的长度为 m．
三、解答题
11．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中时，浸入液体中的高度h（）是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图所示（）．
(1)求h与之间的函数关系式；
(2)当液体密度，求密度计浸入该液体中的高度h．
12．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值；
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需18分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
13．某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)_____，消毒效果最高效力是_____；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
14．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
(1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式；
(2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？
(3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
参考答案
1．A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设，根据已知度的近视眼镜镜片的焦距是米，求出的值即可．
【详解】解：设，
∵度的近视眼镜镜片的焦距是米，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式是：，
故选A．
2．B
【分析】本题考查了反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
根据题意，点在反比例函数图象，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，再把代入计算即可．
【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数图象，
∴，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
故选：B ．
3．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设与的函数关系式为：，
该图像经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A不符合题意；
当时，，解得，故选项B不符合题意；
，随的增大而减小，故选项C不符合题意；
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故选项D符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案．
【详解】解：当时，设
将，两点代入得，
解得，
于是，
当时，，
当时，设，将代入得：，
于是，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数图象的识别，熟练掌握反比例函数图象上越来越靠近坐标轴是关键．根据题意和图象，分别分析判断各选项正误即可．
【详解】解：A：反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意；
B：随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，但成正比例是一条直线，而图中是一条曲线，故说法错误，不符合题意；
C：当滚速为1300转／分时，除尘能力为35.5%，不及格，故说法错误，不符合题意；
D：除尘能力为减少的灰占所撒的灰总质量的比，故数值越大，表示除尘能力越强，说法正确，符合题意，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图象的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可．
【详解】解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A是正确的，不符合题意；
B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为，
当时，，解得：，
故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B是正确的，不符合题意；
C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为，
当时，或，解得或，
则，选项C是正确的，不符合题意；
D、当时，函数关系式为，时，，
当时，函数关系式为，时，，，
当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D是不正确，符合题意；
故选D．
7．12
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
观察表中数据，每包本数x与包数y的乘积均为600，求出反比例关系式，将代入计算即可．
【详解】解：由表可得，，，，
∴，
即
当时，．
故答案为：12．
8．4
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解析式，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案．
【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，
设，
代入得，
解得：，
∴解析式为；
当时，，
∴至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全；
故答案为：4．
9．
【分析】本题考查了反比例的实际应用，利用 “前齿轮齿数 × 前齿轮转速 = 后齿轮齿数 × 后齿轮转速” 的等量关系建立方程是解题的关键．
设后齿轮的转速为转/分，将前齿轮齿数（）、前齿轮转速（）、后齿轮齿数（）代入题中所给等式，解方程即可得出后齿轮转速．
【详解】解：设后齿轮的转速为转/分，
，
解得，
因此，后齿轮的转速为转/分．
故答案为．
10．8
【分析】根据矩形的性质得到，，求得，设双曲线的解析式为，得到，可求出的长度，通过，即可求出的长度．
【详解】解：由题意得：四边形是矩形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点坐标为，
设双曲线的解析式为，
∴，
∴，
∵
∴当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，识别图形是解题的关键．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）设，把求出k，即可得出解析式；
（2）把代入（1）中求解的函数解析式即可．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
因为图象过，将，代入，得
，
解得，
所以与的函数关系式为；
（2）解：当时，，
答：密度计浸入该液体中的高度h为．
12．(1)
(2)李老师能经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
（1）先求得反比例函数解析式，求得点坐标，根据图象可得点A的纵坐标和点纵坐标相同即可解答；
（2）先求得一次函数解析式，再出时的时间，再求差，比较大小求解．
【详解】（1）解：当时，设，
把点代入反比例函数解析式，
得，
，
当时，，
，
根据图象可得，
所以点A对应的指标值为；
（2）解：李老师能经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，
理由：当时，设，
把代入一次函数解析式，
得，
解得：，
．
当时，，解得，
，解得，
，，
所以李老师能经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解．
13．(1)，
(2)
(3)有效
【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力；
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴消毒效果最高效力是，
故答案为：，；
（2）解：当时，设与之间的函数关系式为，
把代入，得，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
∴持续时长为，
∴本次消毒有效．
14．(1)爆炸前：，爆炸后：
(2)
(3)小时
【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用．
（1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可；
（2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可；
（3）将代入，求出减7即可．
【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为，
由图象知过点与，
则，解得，则，
∵爆炸后浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数关系式为，
由图象知过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，由得，，，
∴撤离的最长时间为（小时），
∴撤离的最小速度为；
（3）解：当时，由得，，（小时）．
∴矿工至少在爆炸后小时才能下井．