27.1图形的相似同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.1 图形的相似 同步训练
一、单选题
1．下列各组长度的线段中，是成比例线段的是？（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，均不为，则下列比例式中正确的是( )
A． B． C． D．
4．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
6．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）．
A． B．
C． D．
7．如图，是的边的中点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，若，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．如图，已知直线，如果，，则线段的长是 ．
9．如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为 ．
10．如图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是 米．（保留根号）
11．如图，若，，则长为 ．
三、解答题
12．已知线段、、满足，且
(1)求、、的值；
(2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长；
(3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长．
13．如图，已知四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点．已知．
(1)求四边形与四边形的相似比；
(2)求边的长度．
14．如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．

15．如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点．
(1)求的值．
(2)若，求的面积．
参考答案
1．B
【分析】判断一组线段是否成比例，可将这四个长度分为两组，看其乘积是否相等;若存在一种分法使两组的乘积相等，则这四条线段成比例．
本题考查成比例线段的判断，比例性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解： 选项A：根据题意，得，，，不成比例；
选项B：根据题意，得，，，成比例；
选项C：根据题意，得，，，不成比例；
选项D：根据题意，得，，，不成比例；
故选：B．
2．B
【分析】此题考查比例线段的判断，判断方法为：将四条线段按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，该方法依据的是比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，据此即可得出答案．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，由已知等式推导出与的比值．
【详解】解：，且，
两边同除以，得，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意；
B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意；
C、，即，能判断，本选项符合题意；
D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
利用平行线分线段成比例定理，得，再代入数值求出的长，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键．
由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可．
【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】 ，，
，，
是的边的中点，
，，
，
，
，
．
故选：D．
8．6
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段定理列出比例式是解题的关键．
先根据平行线分线段成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴（平行线分线段成比例定理）．
∵，，
∴，解得：．
故答案为：6．
9．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．过点作交于点．由平行线的性质可得，进而可得，由等边对等角的性质可得，由平行线等分线段定理可得，再结合可得，最后将代入即可解答．
【详解】证明：过点作交于点．
，　
；
又 ，
，
，
．
，
．　
又 ，
．
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查黄金比的应用与一元二次方程求解，涉及知识点：黄金比（）、矩形边长与边衬宽度的关系．解题方法是设边衬宽度为未知数，根据装裱后宽与长的黄金比列方程求解；解题关键是正确表示装裱后长和宽的表达式，易错点是混淆 “宽与长的比” 的顺序或解方程后取舍不合理的根．解题思路：设边衬宽度为，表示出装裱后长和宽，根据黄金比列方程，求解后取符合实际的正根．
【详解】设边衬的宽度为米，则装裱后整幅图画的长为米，宽为米．
由黄金比的定义（宽与长的比为），列方程：
交叉相乘化简得：
展开并整理：
移项合并同类项：
即
解得：
故边衬的宽度为米．
故答案为．
11．
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据题意，可得，然后代入可得，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解．
（1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值．
（2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负．
（3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值．
【详解】（1）解：设，则，，．
∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
把，代入可得：
，
∵线段长度不能为负，
∴；
（3）解：∵四条线段、、、为成比例线段，
∴，
把，，代入可得：
，
解得．
13．(1)
(2)，
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握该知识点并找出对应边是解题的关键．
（1）根据相似多边形的性质，相似比等于对应边的比，据此作答即可；
（2）根据相似多边形的性质，对应边成比例，据此列出方程，解出答案即可．
【详解】（1）解：∵四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点分别是对应顶点，，
∴四边形与四边形的相似比为：；
（2）解：∵四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．
【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键．
根据，是的中点，得到，再证，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，是的中点，
，
，
，
．
15．(1)
(2)
【分析】主要考查知识点等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中线的性质、三角形面积公式相关知识点，解题的关键在于利用等腰三角形三线合一性质：准确识别等腰三角形中角平分线、中线和高的关系，从而得出线段相等和垂直关系，这是后续计算的基础， 熟练运用平行线分线段成比例定理，准确把握三角形中线与面积的关系：理解中线将三角形面积平分以及同高三角形面积比与底边比的关系，对于计算三角形各部分面积至关重要．
（1）根据等腰三角形三线合一性质得到．利用平行线分线段成比例定理得到线段成比例，根据中线性质进行等量代换即可求解 ；
（2）先根据等腰三角形三线合一求出的面积（已知底和高），再由中线性质得到，由第一问得到的比例关系推出．最后根据同高的三角形面积比等于底边的比即可求出．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴．
∵，
∴，．
∵是边上的中线，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴．
∵是中线，
∴．
∴，
∴，
∴．