27.2.1相似三角形的判定同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.1 相似三角形的判定 同步训练
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．两个直角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个钝角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
2．如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（ ）．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当 时，．
7．如图，在和中，，再添加条件 可以使．
8．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．
9．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形．
三、解答题
10．如图，在中，，求证：．
11．如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：．
12．如图，在中，D为边上一点，，，．求证：．
13．如图，是的角平分线，点是边上一点，请你用尺规作图法在线段上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
14．如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由．
参考答案
1．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．根据等边三角形的性质、等腰三角形的定义、相似三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，理由是锐角可能不对应相等（如锐角与），则此项是假命题，不符合题意；
B、两个等腰三角形不一定相似，理由是顶角或底角可能都不对应相等（如顶角与），则此项是假命题，不符合题意；
C、两个钝角三角形不一定相似，理由是钝角或其他内角可能不相等（如钝角与），则此项是假命题，不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，理由是等边三角形的每个内角均为，则此项是真命题，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．
根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意；
B、，不能证明，符合题意；
C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意；
D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键．
根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，
则在中，，，，
A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意；
B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意；
C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意；
D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键．
根据平行线构成的相似模型来判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，，
则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以，
∵，，
∴，
∴一共有3对相似三角形．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：，，
，
故①符合题意；
，，
，
故②符合题意；
由③不能判定，
，，
，
故④符合题意；
其中能够判定的条件有3个，
故选：C．
6．
【分析】本题考查了选择或补充条件使两个三角形相似，解题关键是掌握相似三角形的判定并能运用来求解．
根据相似三角形的判定求解．
【详解】解：当时，和满足：
为公共角，即，
．
根据两角对应相等的两个三角形相似，成立．
故答案为：．
7．（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据等式的性质可得出，只需要补充另一对应角相等或对应边的比相等，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，即，
添加：，则，
添加：，则，
添加：，则，
故答案为：（答案不唯一）
8．甲和丙
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法．
根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴甲和丙一定相似，
故答案为：甲和丙．
9．6
【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】四边形是矩形，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共有6对相似三角形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
10．见解析
【分析】本题考查平行线的基本性质以及相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键；
根据平行线的性质得到，，由此即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，，
∴．
11．证明见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三边对应成比例证明两个三角形相似．
【详解】证明：由图可知，，，，，，，
，
．
12．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似．
【详解】证明：∵在中，D为边上一点，，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
13．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是的角平分线，所以，若使得，则只需作即可．
【详解】解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一）．
∵是的角平分线，
∴，
若使得，
则只需作即可．
利用作一个角等于已知角的尺规作图方法作，交于，点即为所求．
14．相似，见解析
【分析】题目主要考查相似三角形的判定，勾股定理解三角形，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
根据勾股定理得出，再由相似三角形的判定证明即可．
【详解】解：相似，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．