27.2.2相似三角形的性质同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.2 相似三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．如图，，若与的面积比为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．如图，有一块三角形余料，它的面积为，边，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
4．如图，已知和相似，且的面积是的，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的边长为3，，过点D作，交的延长线于点E，连接分别交、于点G、F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是边中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，此时为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，，当 ，，则的长为 ．
9．如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为 ．
10．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
11．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为 ．
三、解答题
12．如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F．
(1)求证：．
(2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积．
13．已知，如图，在菱形中，E为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
14．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上．
(1)求这个正方形零件的边长；
(2)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少？
15．如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，即相似三角形面积比等于相似比的平方来求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】首先由等边三角形的性质得到，，然后由求出，，由折叠得，，证明出，得到，进而求解即可．
此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】∵等边的边长为6
∴，
∴
∵
∴，
由折叠得，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴．
故选：C．
3．D
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
设加工成的正方形零件的边长为，过点A作于M，交于点N，先根据的面积求出高，证明，得到，代入数值求出x即可．
【详解】解：设加工成的正方形零件的边长为，
过点A作于M，交于点N，
∵的面积为，边cm，
∴，
解得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
∴，
解得，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了相似多边形，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由和相似，且的面积是的，则，所以，又，得，然后证明，得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵和相似，且的面积是的，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．C
【分析】先通过菱形的性质，得到，推出，，接着利用勾股定理求得，继而求得，然后证明，通过对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵四边形是边长为3的菱形，
∴，
∴，
∵，交的延长线于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，证明是解题的关键．
6．A
【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
由矩形的性质得，，因为，所以，由于点F，得，推导出，可证明∽，则，所以，代入计算即可得到问题的答案．
【详解】解：四边形是矩形，E是边上一点，，，，
，，
，
于点F，
，
，，
，
∽，
，
，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了相似的性质和判定．作交于，得到，证明，根据 ，得到相似比为，进而得到．
【详解】解：如图，作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
8．6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出，再结合得出，再由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
证明求出，设，则，，再证明即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
首先利用正方形的性质进行角度转化，得到，再利用相似比求得的长度，即可求得的长度．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．(1)见解析
(2)的面积是4．△的面积是6
【分析】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△△是解题的关键．
（1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△．
（2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得．
【详解】（1）证明：是边上的高线，
于点，
在边上取点，与交于点，
，
，
，
△△．
（2）解：为的中点，△的面积为1，
，
，，
△△．
，
，
，
△的面积是6．
13．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是利用相似三角形对边相等的性质．
（1）根据菱形的对边平行，可得出，结合即可证明两三角形相似；
（2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出．
【详解】（1）证明：在菱形中，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可；
（2）设，利用矩形的性质可得、易得，即，可求得，最后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：四边形EFHG是正方形，
，
，，
；
，
设，
，
，
正方形零件的边长为．
（2）解：如图：设，
四边形是矩形，
，，即，
，，
，
，
，
∴，解得：，
，
∴这个矩形的面积是．
15．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论；
（）由，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；
（）先求出，，进而得出，，进而求出，最后根据（）的结论，即可求出答案．
【详解】（1）证明：由旋转性质知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由旋转性质知，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，，
∴，
∴；
（3）解：在中，
∴， ，
∵，
∴，，
由（）知，，
∴，，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．