27.2.3相似三角形的应用举例同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.3相似三角形的应用举例同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 853.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-25 15:02:11 | ||
图片预览
文档简介
27.2.3 相似三角形的应用举例 同步训练
一、单选题
1．如图，和是直立在地面上的两根柱子，的长为12米，某一时刻，在阳光下投影的长为8米，在阳光下的投影长为16米，则的长为（ ）
A．16米 B．20米 C．24米 D．26米
2．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），爸爸拿着的光源与小明手之间的距离为4米（即点到的距离），如图2所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ）
A． B．12 C．8 D．
4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．3米
5．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，树在路灯的照射下形成影子，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，点在同一水平线上，则树的高度长是（ ）
A． B． C． D．
7．九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（ ）
A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米
二、填空题
8．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm．
9．如图，在阳光下，旗杆在地面上的影长为，在建筑物墙面上的影长为．同一时刻，测得直立于地面长的木杆影长为，则旗杆的高度为 ．
10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为 ．
11．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ．
12．世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为 ．
三、解答题
13．《九章算术》中有这样一道题：如图，今有山位于树的西面，山高为未知数，山与树相距72米，树高11.5米，人站在离树3米的地方EF处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地1.5米，求山的高（保留到整数）
14．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离．
15．某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度．
16．如图1，某学生身高，在灯光下，他从灯杆（）底部点D处沿直线前进到达点B时，测得他的影长．
(1)求灯杆的高度；
(2)若这位同学从B处继续沿直线前进到P处(如图2)，求此时这位同学的影长的长．
17．为响应国家节能减排的号召，河北新农村建设把主要乡村道路上安装了太阳能路灯．如图是一新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离路灯3米的处时，影长为1米；当小亮沿着走至处时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部处．
(1)求路灯的高度．
(2)当小亮走到处时，他行走的路程是多少米？
(3)如果小亮继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，那么小亮在墙上的影子有多高？
参考答案
1．C
【分析】本题考查了平行投影的性质，解题的关键是利用同一时刻物体高度与影长的比值相等建立比例关系．
同一时刻，平行投影下物体高度与影长成正比，故可列比例式求解的长度．
【详解】解：由平行投影性质，得 为的影长）．
已知米，米，米，代入得：，
解得米．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，掌握这些是解题的关键．
利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：由题意知：，
，
中边上高为4，中边上高为6，
，
，
．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键．
【详解】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，
，，
，
，
，
，解得，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键．
过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G，
由题意可知：，
∴，
∴，
∵米，米，米
米，米，
∴，
∴米，
∴米．
故选：D．
8．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
即，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
9．12
【分析】本题考查相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比为定值．作于E，可得矩形，利用同一时刻物高与影长的比一定得到的长度，加上的长度即为旗杆的高度．
【详解】解：作于E，
∵于C，于B，
，
∴四边形为矩形，
∴，
∵同一时刻物高与影长比相等，
∴，
解得，
∴．
答：旗杆的高度为，
故答案为：12．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
∵锥形瓶轴截面是轴对称图形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
根据题意可知高脚杯前后的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
由题意可知，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键，连接、，由得，根据对顶角相等，可得，进而可证，所以，进而可求出．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．山的高为252米
【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
先求出各线段的长，然后根据，得出，求出的长，从而求出即可．
【详解】解：由题意及图，得
，，
∴，，
∴，
解得，
∴(米)．
答：山的高为252米．
14．6米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案．
【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图，
∵，
∴米，米，，
∴（米），
（米），
根据题意，得，
∴，
∴，即，解得（米），
∴米，
∴石碑与实验楼之间的距离为6米．
15．旗杆的高度为米．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则．
【详解】解：根据题意得四边形为矩形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
答：旗杆的高度为 米．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（2）根据题意得，由（1）得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
∴，即，
解得：，
即灯杆的高度为；
（2）解：根据题意得：，
由（1）得，
∴，
∴，即，
解得：，
即此时这位同学的影长的长为．
17．(1)米
(2)当小亮走到处时，他行走的路程是12米
(3)小亮在墙上的影子有1米高
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，再利用相似三角形的性质，求解即可；
（2）证明，再利用相似三角形的性质构建方程求出的长，即可解决问题；
（3）连接，延长交于点T，过点T作于点H，交于点K，设米，证明，再利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知：，，米，米，
，（米），
，
，即，
解得：（米），
答：路灯的高度6米；
（2）解：由题意知，，，米，米，米，
，
，
，即，
解得：（米），
（米），
答：当小亮走到处时，他行走的路程是12米；
（3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，
设米，则米，米，米，
米，米，
，
，
，即，
解得：，
答：小亮在墙上的影子有1米高．
一、单选题
1．如图，和是直立在地面上的两根柱子，的长为12米，某一时刻，在阳光下投影的长为8米，在阳光下的投影长为16米，则的长为（ ）
A．16米 B．20米 C．24米 D．26米
2．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），爸爸拿着的光源与小明手之间的距离为4米（即点到的距离），如图2所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ）
A． B．12 C．8 D．
4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．3米
5．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，树在路灯的照射下形成影子，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，点在同一水平线上，则树的高度长是（ ）
A． B． C． D．
7．九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（ ）
A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米
二、填空题
8．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm．
9．如图，在阳光下，旗杆在地面上的影长为，在建筑物墙面上的影长为．同一时刻，测得直立于地面长的木杆影长为，则旗杆的高度为 ．
10．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为 ．
11．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ．
12．世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为 ．
三、解答题
13．《九章算术》中有这样一道题：如图，今有山位于树的西面，山高为未知数，山与树相距72米，树高11.5米，人站在离树3米的地方EF处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地1.5米，求山的高（保留到整数）
14．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离．
15．某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度．
16．如图1，某学生身高，在灯光下，他从灯杆（）底部点D处沿直线前进到达点B时，测得他的影长．
(1)求灯杆的高度；
(2)若这位同学从B处继续沿直线前进到P处(如图2)，求此时这位同学的影长的长．
17．为响应国家节能减排的号召，河北新农村建设把主要乡村道路上安装了太阳能路灯．如图是一新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离路灯3米的处时，影长为1米；当小亮沿着走至处时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部处．
(1)求路灯的高度．
(2)当小亮走到处时，他行走的路程是多少米？
(3)如果小亮继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，那么小亮在墙上的影子有多高？
参考答案
1．C
【分析】本题考查了平行投影的性质，解题的关键是利用同一时刻物体高度与影长的比值相等建立比例关系．
同一时刻，平行投影下物体高度与影长成正比，故可列比例式求解的长度．
【详解】解：由平行投影性质，得 为的影长）．
已知米，米，米，代入得：，
解得米．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，掌握这些是解题的关键．
利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：由题意知：，
，
中边上高为4，中边上高为6，
，
，
．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键．
【详解】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，
，，
，
，
，
，解得，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键．
过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G，
由题意可知：，
∴，
∴，
∵米，米，米
米，米，
∴，
∴米，
∴米．
故选：D．
8．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
即，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
9．12
【分析】本题考查相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比为定值．作于E，可得矩形，利用同一时刻物高与影长的比一定得到的长度，加上的长度即为旗杆的高度．
【详解】解：作于E，
∵于C，于B，
，
∴四边形为矩形，
∴，
∵同一时刻物高与影长比相等，
∴，
解得，
∴．
答：旗杆的高度为，
故答案为：12．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
∵锥形瓶轴截面是轴对称图形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
根据题意可知高脚杯前后的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
由题意可知，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键，连接、，由得，根据对顶角相等，可得，进而可证，所以，进而可求出．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．山的高为252米
【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
先求出各线段的长，然后根据，得出，求出的长，从而求出即可．
【详解】解：由题意及图，得
，，
∴，，
∴，
解得，
∴(米)．
答：山的高为252米．
14．6米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案．
【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图，
∵，
∴米，米，，
∴（米），
（米），
根据题意，得，
∴，
∴，即，解得（米），
∴米，
∴石碑与实验楼之间的距离为6米．
15．旗杆的高度为米．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则．
【详解】解：根据题意得四边形为矩形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
答：旗杆的高度为 米．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（2）根据题意得，由（1）得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
∴，即，
解得：，
即灯杆的高度为；
（2）解：根据题意得：，
由（1）得，
∴，
∴，即，
解得：，
即此时这位同学的影长的长为．
17．(1)米
(2)当小亮走到处时，他行走的路程是12米
(3)小亮在墙上的影子有1米高
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，再利用相似三角形的性质，求解即可；
（2）证明，再利用相似三角形的性质构建方程求出的长，即可解决问题；
（3）连接，延长交于点T，过点T作于点H，交于点K，设米，证明，再利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知：，，米，米，
，（米），
，
，即，
解得：（米），
答：路灯的高度6米；
（2）解：由题意知，，，米，米，米，
，
，
，即，
解得：（米），
（米），
答：当小亮走到处时，他行走的路程是12米；
（3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，
设米，则米，米，米，
米，米，
，
，
，即，
解得：，
答：小亮在墙上的影子有1米高．