28.1锐角三角函数同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 28.1锐角三角函数同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 171.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-25 00:00:00 | ||
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文档简介
28.1 锐角三角函数 同步训练
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，中，，则的正弦值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角中，所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
8．一次函数的图象与轴正方向所夹锐角为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若菱形的周长为，它的面积为，那么它的最小角的正弦值为 ．
10．在锐角三角形中，，则 ．
11．如图，在中，，是边上的高，，，则的值是 ．
12．如图，菱形的对角线，，，则 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值．
15．如图，已知在中，于点，，，．
求：
(1)的长；
(2)的值．
16．善于学习的小莹同学通过查阅材料，发现三角函数有以下公式：
；．
例如 ．请你利用上述公式，求的值．
参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案．
【详解】解：，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案．
【详解】解：在中，，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小.
【详解】解：∵ ，，，，
∴ ，
故最大的是，
故选：D
4．D
【分析】本题考查了求锐角的正弦函数值，掌握正弦函数的定义是关键；根据正弦函数的定义，在直角三角形中，等于角A的对边与斜边的比值．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．
利用锐角三角函数求解．
【详解】解：在中，，
∵，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查解直角三角形，将所求角放在直角三角形中是解答的关键．
取格点D，在中，由勾股定理和正弦定义求解即可．
【详解】解：如图，取格点D，连接、，设小正方形的边长为1，
由网格特点，，，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是作出正确的图象．
通过作高将边c分解为两段，利用余弦的定义求解即可．
【详解】解：设从C点作高于D，如图，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了三角函数，一次函数的性质，由一次函数性质得到的坐标，再得到，，根据三角函数求得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．
/
【分析】本题考查了菱形性质和锐角三角函数．由菱形周长求边长，再由面积求高，利用正弦定义求解．
【详解】解：∵菱形的周长为 ，
∴边长 ，
∵面积为 ，
∴高 ，
∴最小角的正弦值为 ．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，三角形内角和性质，绝对值的非负性．利用非负数的性质，由已知得平方项和绝对值项分别为零，解出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查正切函数，角度计算，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知可证明，可求，则的值可求．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质及正切的定义．利用菱形的性质得出，，，再根据已知的对角线长度并结合对角线被平分的性质求出，的长度，最后根据正切的定义求出值．
【详解】解：记，的交点为O，
∵，是菱形的对角线，
∴，即，，，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值的混合运算等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算是关键．
（1）计算零指数幂、负整数指数幂、化简二次根式、代入特殊角的三角函数值，再进行加减法即可；
（2）代入特殊角的三角函数值后，进行二次根式的混合运算即可；
（3）化简绝对值、计算零指数幂和负整数，代入特殊角的三角函数值，进行计算即可；
（4）代入特殊角的三角函数值后，进行二次根式的混合运算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角函数定义是解题的关键．由翻折变换的性质得出，由勾股定理求出的长，再由求出的长，再由三角函数定义求出的长，进而求出的长，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答；
（）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
∴的值为．
16．
【分析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
根据给出的公式进行整理，然后代入特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：
．
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，中，，则的正弦值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角中，所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
8．一次函数的图象与轴正方向所夹锐角为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若菱形的周长为，它的面积为，那么它的最小角的正弦值为 ．
10．在锐角三角形中，，则 ．
11．如图，在中，，是边上的高，，，则的值是 ．
12．如图，菱形的对角线，，，则 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值．
15．如图，已知在中，于点，，，．
求：
(1)的长；
(2)的值．
16．善于学习的小莹同学通过查阅材料，发现三角函数有以下公式：
；．
例如 ．请你利用上述公式，求的值．
参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案．
【详解】解：，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案．
【详解】解：在中，，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小.
【详解】解：∵ ，，，，
∴ ，
故最大的是，
故选：D
4．D
【分析】本题考查了求锐角的正弦函数值，掌握正弦函数的定义是关键；根据正弦函数的定义，在直角三角形中，等于角A的对边与斜边的比值．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．
利用锐角三角函数求解．
【详解】解：在中，，
∵，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查解直角三角形，将所求角放在直角三角形中是解答的关键．
取格点D，在中，由勾股定理和正弦定义求解即可．
【详解】解：如图，取格点D，连接、，设小正方形的边长为1，
由网格特点，，，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是作出正确的图象．
通过作高将边c分解为两段，利用余弦的定义求解即可．
【详解】解：设从C点作高于D，如图，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了三角函数，一次函数的性质，由一次函数性质得到的坐标，再得到，，根据三角函数求得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．
/
【分析】本题考查了菱形性质和锐角三角函数．由菱形周长求边长，再由面积求高，利用正弦定义求解．
【详解】解：∵菱形的周长为 ，
∴边长 ，
∵面积为 ，
∴高 ，
∴最小角的正弦值为 ．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，三角形内角和性质，绝对值的非负性．利用非负数的性质，由已知得平方项和绝对值项分别为零，解出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查正切函数，角度计算，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知可证明，可求，则的值可求．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质及正切的定义．利用菱形的性质得出，，，再根据已知的对角线长度并结合对角线被平分的性质求出，的长度，最后根据正切的定义求出值．
【详解】解：记，的交点为O，
∵，是菱形的对角线，
∴，即，，，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值的混合运算等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算是关键．
（1）计算零指数幂、负整数指数幂、化简二次根式、代入特殊角的三角函数值，再进行加减法即可；
（2）代入特殊角的三角函数值后，进行二次根式的混合运算即可；
（3）化简绝对值、计算零指数幂和负整数，代入特殊角的三角函数值，进行计算即可；
（4）代入特殊角的三角函数值后，进行二次根式的混合运算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角函数定义是解题的关键．由翻折变换的性质得出，由勾股定理求出的长，再由求出的长，再由三角函数定义求出的长，进而求出的长，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答；
（）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
∴的值为．
16．
【分析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
根据给出的公式进行整理，然后代入特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：
．