28.2.1解直角三角形同步训练（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.1 解直角三角形 同步训练
一、单选题
1．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，已知在中，于点，且，．则的长为（ ）
A．4 B．6 C．2 D．7
4．如图，是等腰直角三角形的角平分线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
8．在中，，，，所对的边分别为，，，且，，则的值为 ．
9．如图，在中、，，，则的长为 ．
10．如图，中，，点是边上一点，已知，，那么 ．
11．如图，在中，是边上的高，点是的中点，若，，且，则的长是 ．
三、解答题
12．如图，在中，，，，求的面积．
13．如图，在中，点在边上，，，．
(1)求的长；
(2)当时，求的值．
14．如图，中，，，，于点．
(1)求的长；
(2)如果点是边的中点，求的大小．
15．如图，在平行四边形中，平分，点E为边中点，过点E作的垂线交于点M，交延长线于点
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
16．如图，在中，平分交于点E，O为上一点，经过点A、E的分别交于点D、F，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长度．
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点A作于点D，然后根据三角函数可得，，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角性质，待定系数法求反比例函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作轴于点，可证，得到，进而可得，，得到，最后代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，则，
．
，
．
∵点，，
，．
，
．
．
．
．
．
，．
．
．
∵点在函数的图象上，
．
故选：C．
3．C
【分析】此题考查解直角三角形，直角三角形中正弦的定义，勾股定理，根据正弦的定义求得是解题的关键．
根据在中，，进而得到，再由勾股定理得到，结合即可求解．
【详解】，
，
在中，，即，解得，
又，
所以，解得（负值舍去），
．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正切值及角平分线相关知识；作，垂足为，设等腰直角中，，则；根据等腰三角形的性质，设，则，根据角平分线的性质及正切值找到等量关系，即可解答．
【详解】解：作，垂足为，设等腰直角中，，则斜边，且，
∵三角形是等腰三角形，且，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵平分，，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了旋转的旋转，等腰三角形的性质，解直角三角形，连接，过点作于点，根据旋转的性质可得，，根据，进而得出的长．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
旋转的性质可得
∴，
∴
∴
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
由勾股定理得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键．
设等腰的底角为x，分类讨论当顶角为时和当顶角为时两种情况即可求解．
【详解】解：设等腰的底角为x，
当顶角为时，有，解得：；
此时，底角的余弦值为；
当顶角为时，有，解得：；
如图所示：作，平分，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴；
综上所述：底角的余弦值为或．
故选：D．
8．16
【分析】本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键．
在中，利用的正弦函数定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
解得．
故答案为16．
9．
【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可．
【详解】解：作于点，则：，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故答案为：
10．6
【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握锐角三角函数．
根据余弦求出，利用勾股定理求出，利用正切求出，最后利用线段的和差进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
11．2
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
根据垂直定义可得，再在中，利用勾股定理可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
12．的面积为
【分析】本题考查的是解直角三角形，作于点H，先求出，设，则，，列方程求出k值，进而求出面积．
【详解】解：作于点H，
在中，，
设，则，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
的面积．
13．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）与性质（对应边成比例）是解题的关键．
（1）通过角的等量关系证明，利用相似三角形的对应边成比例求解的长．
（2）先由得到的长，再作于，利用勾股定理列方程求出、的长度，进而得到的长，最后根据正切的定义计算．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
作于，设，则，，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴．
14．(1)30
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）解得到，利用勾股定理得到，利用线段的和差得到，再利用勾股定理即可求解；
（2）作于点，则，根据正弦的定义得到，解得到，利用勾股定理得到，在中利用正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图，作于点，
则，
由（1）得，，，
在中，，
∵点是边的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
即．
15．(1)见解析
(2)的长为
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
（1）据平行四边形性质得，进而得，再根据平分得，由此得，然后根据菱形的判定即可得出结论；
（2）连接交于点O，证明四边形是平行四边形得，，根据点E为边中点得，解得，据此可得的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接交于点O，如图所示：
由（1）可知：平行四边形是菱形，
，，，，
是直角三角形，
交延长线于点F，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
点E为边中点，
，
在中，，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可；
（2）连接，根据三角函数求出和半径的长度，再利用三角函数求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，
平分交于点，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得（舍去负数），
∴．