28.2.2解直角三角形应用举例同步训练9含详解2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.2 解直角三角形应用举例 同步训练
一、单选题
1．如果在点处测得点的仰角为，那么在处测得点的（ ）
A．仰角为 B．仰角为 C．俯角为 D．俯角为
2．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（ ）
A．250米 B．200米 C．150米 D．100米
3．如图，电线杆的高度是，两根拉线和互相垂直（点、、在同一直线上），设，那么拉线的长度为（　　）
A． B． C． D．
4．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（ ）
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
5．某风景区在坡度为的斜坡上有一座标志性建筑物，在点A处测得建筑物顶部C的仰角为，斜坡的长度为200米，则这座建筑物的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据：，）
A．42.9米 B．59.2米 C．70.0米 D．115.2米
6．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、填空题
8．某人从地面沿山坡往上走了100米，已知坡角为，那么他升高了
9．如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且，则河堤的高为 米．
10．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，）
11．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为 海里．（结果保留根号）
三、解答题
12．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？
13．如图1是吉林市文化地标之一的世纪之舟，它于1999年正式竣工落成．某校数学兴趣小组利用无人机测量世纪之舟的主体的高度，并绘制了如图2的示意图．无人机在点处测得世纪之舟顶部点的仰角为，世纪之舟底部点的俯角为，无人机与世纪之舟的水平距离，求世纪之舟主体的高度．（结果精确到整数）参考数据：（，，）
14．如图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，）
(1)如图2，求点到靠背的距离；（精确到）
(2)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知托杯凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到）
15．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题：
(1)图中的度数为______°；
(2)求的长（精确到）；
(3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，）
参考答案
1．C
【分析】本题考查仰角与俯角的应用，解题的关键是掌握：仰角与俯角是视线与水平线的夹角，且当两点间的水平线平行时，仰角与俯角相等．据此解答即可．
【详解】解：∵在点处测得点的仰角为，即视线与过的水平线夹角为，
又∵过和过的水平线平行，
∴视线与过的水平线夹角（即俯角）也为，
∴在处测得点的俯角为．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键．
利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵的坡度为，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）．
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．根据同角的余角相等得到，在中根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查解直角三角形的应用，利用正弦定义求出即可求解．
【详解】解：由题意，在中，，，，
∴，
∴，
∴档案盒的厚度为，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
由可设，，利用勾股定理求得即可知、，由，根据可得答案．
【详解】解：如图，延长交水平面于点，
则，
由可设，，
由可得，
解得：或（舍去），
则，，
在中，，
（米），
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，，
∴（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
∴米．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离．
【详解】解：如图，过点作交延长线于点．
由题意，易知，，．
由三角形的内角和等于，得．
∴．
∴是等腰三角形．
∴海里．
∵，
∴．
在中，，海里，，
∴(海里)．
∴灯塔到海岸线的距离为海里．
故选：C．
8．
50米
【分析】本题考查解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据坡角定义，沿山坡距离为斜边，升高高度为对边，利用正弦函数求解．
【详解】解：设升高了米，
∵坡角为，从地面沿山坡往上走了100米，
∴，
∴．
故答案为：50米．
9．12
【分析】本题考查解直角三角形，在中，根据，设，勾股定理求出的值，即可得出结果．
【详解】解：由题意，在中，，
∴设，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12．
10．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解．
过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为
由题意，得，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点；根据题意求出的长，由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，进而求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
∵货轮以海里/小时的速度在海面上航行，向北航行分钟后到达点，
∴（海里），
∵，
∴（海里），
∵，
∴，
∴（海里），
即此时货轮与灯塔的距离为海里，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答．
【详解】解：依题意，，，，
四边形为矩形，
，，
设，则，
∵在中，，
，
在中，，解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
．
13．世纪之舟主体的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，，
∴；
答：世纪之舟主体的高度为．
14．(1)约为
(2)能
【分析】本题考查解直角三角形的应用，把所求线段或角，整理到合适的直角三角形中求解，是解决本题的关键．
（1）延长交于点，则，根据的长和的正弦值，解直角三角形即可得的长，即为点到靠背的距离；
（2）延长交于点，解直角三角形求得的长度，加上的长度，再和杯子的高度比较即可判断水杯能否放在杯托处．
【详解】（1）解：延长交于点，如图所示：
靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，
，
在中，，则，
，
则点到靠背的距离约为；
（2）解：一个高为的圆柱形水杯能竖直放在杯托处．
理由如下：
延长交于点，如图所示：
则，
，
，
，
在中，，
则，
，
，
，
∴一个高为的圆柱形水杯能竖直放在杯托处．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数；
（2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度；
（3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小．
【详解】（1）解：延长交于点X，
由题意得：、，
、是的外角
故答案为：；
（2）解：延长交于点Y，
，
、、
由（1）知，
的长约为；
（3）解：延长，交于点Z，与于点，
由（1）知
、
作于点，则
根据题意可得
在中，由勾股定理得：
由题意得：，
的长约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用所给长度的线段和角度构造合适的直角三角形是解题的关键．