沪科版九上数学21章二次函数与反比例函数测试卷（解析版）

沪科版九上数学21章《二次函数与反比例函数》测试卷
　
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
2．已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k（x﹣1）﹣，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（　　）
A．a=1，b=2
B．a=1，b=﹣2
C．a=﹣1，b=2
D．a=﹣1，b=﹣2
3．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（　　）
A．S1＞S2
B．S1=S2
C．Sl＜S2
D．大小关系不能确定
4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（　　）
A．1
B．
C．
D．
5．如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①③
B．①③④
C．②④⑤
D．①③④⑤
7．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：
①a﹣b=0；
②当﹣2＜x＜1时，y＞0；
③四边形ACBD是菱形；
④9a﹣3b+c＞0
你认为其中正确的是（　　）
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
9．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（　　）
A．（，0）
B．（，0）
C．（，0）
D．（，0）
10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=　　．
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　　．
13．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是　　．
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）　　．
　
三．解答题
15．已知二次函数y=﹣0.5x2+4x﹣3.5
（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
16．如图，抛物线y=+bx+2与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧）；
（1）求该抛物线的顶点D的坐标；
（2）求四边形CADB的面积．
17．已知二次函数y=x2﹣2x﹣1．
（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（2）将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象．
18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若抛物线y=x2﹣（k+1）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点O的距离分别为OA、OB，且满足OA+OB﹣4OA OB+5=0，求k的值．
20．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．
（1）证明△OCN≌△OAM；
（2）若∠NOM=45°，MN=2，求点C的坐标．
22．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，某市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为26元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款n万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a=，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a2
=x2．
故选：C．
【点评】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
　
2．已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k（x﹣1）﹣，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（　　）
A．a=1，b=2
B．a=1，b=﹣2
C．a=﹣1，b=2
D．a=﹣1，b=﹣2
【分析】根据题意由y=ax2+bx+1①，y=k（x﹣1）﹣②，组成的方程组只有一组解，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+=0，则△=（b﹣k）2﹣4a（1+k+）=0，整理得到（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a=0，由于对于任意的实数k都成立，所以有1﹣a=0，2a+b=0，b2﹣4a=0，求出a，b即可．
【解答】解：根据题意得，
y=ax2+bx+1①，
y=k（x﹣1）﹣②，
解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两个相等的值，
即△=（b﹣k）2﹣4a（1+k+）=0，
∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a=0，
由于对于非零实数k都成立，所以有1﹣a=0，2a+b=0，
∴b2﹣4a=0，
∴a=1，b=﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式．二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程组的解的情况确定函数图象交点的问题，而方程组的解的情况转化为一元二次方程根的情况．
　
3．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（　　）
A．S1＞S2
B．S1=S2
C．Sl＜S2
D．大小关系不能确定
【分析】从反比例图象上任意找一点向某一坐标轴引垂线，加上连接原点到这一点的线所构成的三角形面积等于S=|k|．
【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC=S△BOD；
又S△AOC=S△AEO+S△OEC，S△BOD=S△OEC+S梯形CEBD，
所以S△AOE=S梯形CEBD，即S1=S2．
故选B．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
　
4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（　　）
A．1
B．
C．
D．
【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，
∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），
∴OC=k，
∵△ABC的面积=AB OC=AB k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，
∴k=（4﹣k），
解得：k=．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
　
5．如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
【分析】双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2|k|．
【解答】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC的面积=2|k|=2×4=8．
故选：A．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
　
6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①③
B．①③④
C．②④⑤
D．①③④⑤
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4 a （﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
　
7．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6=4k，k=2．
故选B．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
　
8．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：
①a﹣b=0；
②当﹣2＜x＜1时，y＞0；
③四边形ACBD是菱形；
④9a﹣3b+c＞0
你认为其中正确的是（　　）
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，由此即可得出a=b，①正确；②根据抛物线的开口向下以及抛物线与x轴的两交点坐标，即可得出当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③由AB关于x=0.5对称，即可得出AM=BM，再结合MC=MD以及CD⊥AB，即可得出四边形ACBD是菱形，③正确；④根据当x=﹣3时，y＜0，即可得出9a﹣3b+c＜0，④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），
∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，
∴a=b，a﹣b=0，①正确；
②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），
∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；
③∵点A、B关于x=0.5对称，
∴AM=BM，
又∵MC=MD，且CD⊥AB，
∴四边形ACBD是菱形，③正确；
④当x=﹣3时，y＜0，
即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．
综上可知：正确的结论为①②③．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
　
9．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（　　）
A．（，0）
B．（，0）
C．（，0）
D．（，0）
【分析】由A（m，2）得到正方形的边长为2，则BC=2，所以n=2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2 m=（2+m），解得m=1，则E点坐标为（3，），然后利用待定系数法确定直线GF的解析式为y=x﹣2，再求y=0时对应自变量的值，从而得到点F的坐标．
【解答】解：∵正方形的顶点A（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴BC=2，
而点E（n，），
∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），
∴k=2 m=（2+m），解得m=1，
∴E点坐标为（3，），
设直线GF的解析式为y=ax+b，
把E（3，），G（0，﹣2）代入得，解得，
∴直线GF的解析式为y=x﹣2，
当y=0时，x﹣2=0，解得x=，
∴点F的坐标为（，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
　
10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．
【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得
EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2
即s=x2+（1﹣x）2．
s=2x2﹣2x+1，
∴所求函数是一个开口向上，
对称轴是直线x=．
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
故选：B．
【点评】本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．
　
二．填空题（共4小题）
11．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=　　．
【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．
【解答】解：∵点P（6，3），
∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数y=得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，
即AM=，NB=，
∵S四边形OAPB=12，
即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，
6×3﹣×6×﹣×3×=12，
解得：k=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．
　
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　　．
【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0，
∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，﹣3）
故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）
【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．
　
13．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是　　．
【分析】设经过t时间s运动停止，列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．
【解答】解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP=2t，AQ=t，
S△APQ=t2，
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16cm2．
故答案为：16cm2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题，难度较大，关键列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．
　
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）　　．
【分析】根据二次函数的性质，结合图中信息，一一判断即可解决问题．
【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，﹣=﹣1，
∴b=2a，c=﹣3a，
∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．
∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，
又点C离对称轴近，
∴y1，＜y2，故④错误，
由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
故答案为②③⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
　
三．解答题（共9小题）
15．已知二次函数y=﹣0.5x2+4x﹣3.5
（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质求出对称轴和顶点坐标；
（2）根据题意得到一元二次方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵y=﹣0.5x2+4x﹣3.5，
∴y=﹣0.5（x﹣4）2+4.5，对称轴是直线x=4，顶点坐标为（4，4.5）；
（2）﹣0.5x2+4x﹣3.5=0，
解得，x1=7，x2=1，
则函数图象与x轴的交点坐标是（7，0）、（1，0）．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握运用配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键，注意二次函数的性质的应用．
　
16．如图，抛物线y=+bx+2与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧）；
（1）求该抛物线的顶点D的坐标；
（2）求四边形CADB的面积．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=+bx+2中求出b，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式即可得到D点坐标；
（2）通过计算自变量为0时的函数值得到C点坐标，通过解x2﹣x+2=0可得到B点坐标，然后根据三角形面积公式，利用四边形CADB的面积=S△CAB+S△DAB进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y=+bx+2得+b+2=0，解得b=﹣，
所以抛物线解析式为y=x2﹣x+2，
因为y=x2﹣x+2=（x﹣）2﹣，
所以抛物线的顶点D的坐标为（，﹣）；
（2）当x=0时，y=x2﹣x+2=2，则C（0，2），
当y=0时，x2﹣x+2=0，解得x1=1，x2=4，则B（4，0），
所以四边形CADB的面积=S△CAB+S△DAB=×（4﹣1）×2×（4﹣1）×=．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
　
17．已知二次函数y=x2﹣2x﹣1．
（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（2）将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象．
【分析】（1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标；
（2）将二次函数y=x2﹣2x﹣1化为顶点形式，然后比较y=x2与y=（x﹣1）2﹣2，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程．
【解答】解：（1）二次函数的解析式y=x2﹣2x﹣1，
令y=0，得到x2﹣2x﹣1=0，
移项得：x2﹣2x=1，
两边加上1得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
可得x﹣1=或x﹣1=﹣，
解得：x1=+1，x2=﹣+1，
则此二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为（+1，0）、（﹣+1，0）；
（2）将二次函数y=x2﹣2x﹣1化为顶点式为y=（x﹣1）2﹣2，
∴将y=x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，要求二次函数与x轴的交点，即要y=0，得到关于x的方程来求解；要求二次函数与y轴的交点，即要x=0，求出y的值即可，此外熟练掌握二次函数图象的平移规律是解本题第二问的关键．
　
18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
【分析】（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（﹣1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得抛物线的解析式和直线的解析式是解题的关键．
　
19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若抛物线y=x2﹣（k+1）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点O的距离分别为OA、OB，且满足OA+OB﹣4OA OB+5=0，求k的值．
【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根，可知△≥0，据此进行计算即可；
（2）由根与系数的关系和已知条件得出关于k的方程，解方程即可．
【解答】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（k+1）2﹣4（k2+1）≥0
∴k2+2k+1﹣k2﹣4≥0，
解得：k≥
（2）设A、B两点的坐标为A（x1，0）、B（x2，0）
则x1、x2是方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0的两根
∵，
∴x1+x2=k+1＞0，x1 x2=k2+1＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∴OA+OB=|x1|+|x2|=x1+x2=k+1
OA OB=|x1||x2|=4x1x2﹣5
∴k+1=4（k2+1）﹣5，
∴k2﹣k+2=0，
∴k1=﹣1，k2=2，
又∵k，
∴k=2
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、一元二次方程的解法等知识；由根与系数的关系和已知条件得出关于k的方程是解决问题（2）的关键．
　
20．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题．
（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．
【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，
n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，
∴y=，
（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，
解得x=78，
∴=15，
∴15+30+（90﹣78）=57分钟
所以，馆外游客最多等待57分钟．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
　
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．
（1）证明△OCN≌△OAM；
（2）若∠NOM=45°，MN=2，求点C的坐标．
【分析】（1）由点M、N都在y=的图象上，即可得出S△ONC=S△OAM=|k|，再由正方形的性质可得出OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，结合三角形的面积公式即可得出CN=AM，进而即可证出△OCN≌△OAM（SAS）；
（2）将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及N、C、M′共线，通过角的计算即可得出∠M'ON=∠MON=45°，结合OM′=OM、ON=ON即可证出△M'ON≌△MON（SAS），由此即可得出M′N=MN=2，再由（1）△OCN≌△OAM即可得出CN=AM，通过边与边之间的关系即可得出BM=BN，利用勾股定理即可得出BM=BN=，设OC=a，则M′N=2CN=2（a﹣），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵点M、N都在y=的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=|k|．
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴OC CN=OA AM．
∴CN=AM．
在△OCN和△OAM中，，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．
（2）将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，如图所示．
∵OA=OC，
∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．
∵∠OCM′+∠OCN=180°，
∴N、C、M′共线．
∵∠COA=90°，∠NOM=45°，
∴∠CON+∠MOA=45°．
∵△OAM旋转得到△OCM′，
∴∠MOA=∠M′OC，
∴∠CON+∠COM'=45°，
∴∠M'ON=∠MON=45°．
在△M'ON与△MON中，，
∴△M'ON≌△MON（SAS），
∴MN=M'N=2．
∵△OCN≌△OAM，
∴CN=AM．
又∵BC=BA，
∴BN=BM．
又∠B=90°，
∴BN2+BM2=MN2，
∴BN=BM=．
设OC=a，则CN=AM=a﹣．
∵△OAM旋转得到△OCM′，
∴AM=CM'=a﹣，
∴M'N=2（），
又∵M'N=2，
∴2（）=2，
解得：，
∴C（0，）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△OCN≌△OAM；（2）找出关于a的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
　
22．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3，CM=，
∴S△BCM=BC×CM=×3×=3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，
∴n=，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+2m﹣3=，
∴m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，
∴N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得（舍），，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）或N（﹣2，﹣3）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）的关键，也是初中阶段常用的方法．
　
23．在建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，某市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为26元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款n万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
【分析】（1）因为25＜26＜30，所以把x=26代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利或亏损情况；
（3）由题目的条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，由w≥67.5，分别求出对应x的范围，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围．
【解答】解：（1）∵25≤26≤30，y=，
∴把x=26代入y=40﹣x得，y=14（万件），
答：当销售单价定为26元时，该产品的年销售量为14万件；
（2）①当
25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100
=﹣x2+60x﹣925
=﹣（x﹣30）2﹣25，
故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；
②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100
=﹣x2+35x﹣625
=﹣（x﹣35）2﹣12.5
故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；
综上，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万．
（3）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+61x﹣862.5≥67.5，
﹣x2+61x﹣862.5≥67.5，
化简得：x2﹣61x+930≤0
解得：30≤x≤31，
当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30；
②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5≥67.5，
化简得：x2﹣71x+1230≤0
解得：30≤x≤41，
当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x≤35，
答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力及二次函数与一元二次不等式间关系，理解题意准确抓住相等关系是解题的关键，结合题意分类去求是解题的难点．
　
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