安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高三12月月考数学试题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高三12月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，若中恰含有一个整数，则实数取值范围( )
A. B. C. D.
3.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5.在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
8.已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为，的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，，点为正方体内部含表面的点，且满足，，则下列说法正确的是( )
A. 存在点使得平面
B. 直线与平面所成角的正弦值范围是
C. 异面直线与间的距离为
D. 当时，点的轨迹长度为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为
B. 若，则的最小值为
C. 若在内单调递减，则的取值范围为
D. 若在内无零点，则的取值范围为
11.自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中作为“北京十六景”之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计，如图初步设计穹顶建模的步骤大致为：
Ⅰ将半径为的圆圆心为沿直径分为两部分，得到半圆弧；
Ⅱ保留其中一个半圆弧，将其等分，从端点出发依次连接各个等分点至另一个端点，得到折线；
Ⅲ将折线绕所在直线旋转，得到旋转体；
Ⅳ不断调整值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整．
设Ⅲ中所得旋转体的表面积为，的正弦值为，则( )
A. B.
C. 当， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
13.如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，点是内的一动点含边界，则的最小值是 ．
14.已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，有一个半径为的半圆，直径在轴上，中点为坐标原点，等腰梯形的上底的端点在圆周上．
当时，记梯形位于直线：左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式．
记线段的长度为，线段与的长度之和为，求的最大值．
16.本小题分
设数列的前项和为已知，，．
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
17.本小题分
在中，设角，，所对的边分别是，，，且满足．
求角；
若，求面积的最大值；
求的取值范围．
18.本小题分
如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．
证明：直线平面
证明：平面平面；
若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
若对任意的，均存在，使得，求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：过点作于点，
等腰梯形的下底，腰，等腰梯形的高，
则当时，；
当时，；
当时，；
所以，；
连接，因为半圆的半径为，线段的长度为，
则，，，所以，
因此，
所以，其中，
令，因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，取得最大值，
因此的最大值为．
16.解：Ⅰ，，．
，，
解得，，
当时，，
，
两式相减得，
即，
当时，，，
满足，
则数列是公比的等比数列，
则通项公式
Ⅱ，
设，
则，，
当时，，
则，
此时数列的前项和，
则．
17.解：因为，
根据正弦定理得：，
且，
可得，
即，
又因为，则，
可得，整理可得，
且，则，
可得，解得；
由余弦定理得：，即，
可得，解得，
当且仅当时等号成立，
所以的面积：，
故面积的最大值为；
由得，
根据正弦定理得：
，
令，则，
可得，
将原式化为：，
因为，则，可得
根据二次函数的图象性质得到，
当时，原式取得最小值，；
当时，原式取得最大值，；
故的取值范围为：．
18.证明：连结，交于点，设中点为，连结，，
，分别为，的中点，，且，
，且，，且，
四边形是平行四边形，，，
平面，平面，平面．
平面，平面，，
是菱形，，
，平面，
，平面，
平面，平面平面．
直线与平面所成角为，且平面，
，，
，为等边三角形．
平面，由知，
平面．
平面，平面，且．
在菱形中，．
以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图．
则，
则．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，则法向量．
设平面的法向量为，
则，即
令，则则法向量，
设二面角的大小为，由于为钝角，
则．
二面角的余弦值为．
19.【解： 时， ， ，
，
曲线 在点 处的切线方程为：
，即 ；
当时，，，
由 ，得 ，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
；
又，，，
．
函数在区间上的最大值是；最小值是；
当，，其对称轴方程为，
当时，取得最大值．
又，
，
当时，在区间上单调递增，
显然，，符合题意；
当时，令，得，
所以在上单调递增，在单调递减，
故，
所以，
解得：．
综上可得的取值范围是