江苏省泰州市泰兴一中2015-2016学年高二（下）第二次段考数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第二次段考数学试卷（文科）
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（ UA）∩B=　　．
2．已知幂函数f（x）=k xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=　　．
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为　　名．
4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是　　．
5．“α=”是“tanα=1”的　　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既
不充分也不必要”）
6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是　　．
7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为　　．
8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是　　．
9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x） f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　　．
11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为　　．
12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为　　．
13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是　　．
14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组
[230，235）
8
0.16
第二组
[235，240）
①
0.24
第三组
[240，245）
15
②
第四组
[245，250）
10
0.20
第五组
[250，255]
5
0.10
合
计
50
1.00
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
16．已知命题：“ x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N M，求a的取值范围．
17．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．
19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．
20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x） f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．
　
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第二次段考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（ UA）∩B=　{2，3}　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．
【解答】解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，
∴ UA={2，3}，又B={1，2，3}，
∴（ UA）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．
故答案为：{2，3}．
　
2．已知幂函数f（x）=k xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=　　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果．
【解答】解：因为幂函数f（x）=k xα（k，α∈R）
由幂函数的定义可知k=1，
幂函数f（x）=k xα（k，α∈R）的图象过点（，），
所以，，
∴k+α==．
故答案为：．
　
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为　32　名．
【考点】分层抽样方法．
【分析】先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．
【解答】解：高一学生在总体中所占的比例为=，
故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，
故答案为：32．
　
4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是　　．
【考点】计数原理的应用．
【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，
甲被选中，共有3种方法，
∴甲被选中的概率是=．
故答案为：．
　
5．“α=”是“tanα=1”的　充分不必要　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既
不充分也不必要”）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．
【解答】解：时，tanα=1；
tanα=1时，，所以不一定得到；
∴是tanα=1的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
　
6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是　35　．
【考点】程序框图．
【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的S，k的值，当k=7时满足条件k＞5，输出S的值35．
【解答】解：执行算法流程，有
S=0，k=1
不满足条件k＞5，S=1，k=3，
不满足条件k＞5，S=10，k=5，
不满足条件k＞5，S=35，k=7，
满足条件k＞5，输出S的值35．
故答案为：35．
　
7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为　（﹣∞，1）　．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性的关系进行求解即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，
设t=x2﹣3x+2，
则y═lnt为增函数，
要求函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间，
即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，
∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），
∴函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）．
　
8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是　1　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．
【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，
∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，
∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，
故a的值是1．
故答案为：1．
　
9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x） f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（x），利用函数的周期性，将条件进行转化即可得到结论．
【解答】解：对任意x∈R都有f（x） f（x+1）=1，可得f（x+2）==f（x），
∴f（x+2）=f（x），
函数f（x）是定义在R上是周期函数周期为2，
当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（﹣1）=4﹣1=
故答案为：．
　
10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　（0，]　．
【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．
【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．
【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，
∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）
∴a∈（0，]．
故答案为：（0，]．
　
11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为　[﹣，0）　．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】分f（x）是R上的减函数、增函数两种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，即得所求．
【解答】解：若f（x）=是R上的单调减函数，则，求得﹣≤a＜0．
若f（x）=是R上的单调增函数，则，求得a∈ ，
综上可得实数a的范围为[﹣，0），
故答案为：[﹣，0）．
　
12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为　7　．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．
【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，
再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．
由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[﹣2，0）上的图象．
x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，
x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．
x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．
指数可得：函数g（x）共有7个零点．
故答案为：7．
　
13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是　　．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．
【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，
又函数，
所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，
所以
解得：，又t∈[0，1]，
所以实数t的取值范围．
故答案为：．
　
14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是　（﹣∞，0]∪[8，+∞）　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由题意结合函数图象可将问题转化为关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，解△≥0可得．
【解答】解：∵f（x）=）=，
∴当x=0时，f（x）=k（1﹣a2），
∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．
∴函数必须为连续函数，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2），
问题转化为（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，
∴△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．
故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组
[230，235）
8
0.16
第二组
[235，240）
①
0.24
第三组
[240，245）
15
②
第四组
[245，250）
10
0.20
第五组
[250，255]
5
0.10
合
计
50
1.00
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；频率分布表．
【分析】（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，即可得答案；
（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，抽取比例为，由第三、四、五组的人数，计算可得答案；
（3）设（2）中选取的6人为abcdef（其中第四组的两人分别为d，e），记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，用列举法列举从6人中任取2人的所有情形，进而可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可得答案．
【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，
②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，
故①②位置的数据分别为12、0.3；
（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，
要求从中用分层抽样法抽取6名学生，
则第三组参加考核人数为15×=3，
第四组参加考核人数为10×=2，
第五组参加考核人数为5×=1，
故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；
（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），
则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；
记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．
所以，
故2人中至少有一名是第四组的概率为．
　
16．已知命题：“ x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N M，求a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；特称命题．
【分析】（1）若方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，结合二次函数的图象和性质，要得M；
（2）对a的取值进行分类讨论，求出不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，结合N M，可得a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，
即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，
由函数y=x2﹣x的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，
故当x=时，函数最小值为﹣，当x=﹣1时，函数最大值为2，
故m=[﹣，2]，
（2）当a=1时，解集N为空集，满足题意；
当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则1＜a≤2
当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x＜2﹣a}，则0≤a＜1
综上：0≤a≤2
　
17．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
【考点】函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；
（2）根据h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，
∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=﹣1，
∴f（﹣1）=﹣1，即a﹣2a=﹣1，
∴a=1，
∴f（x）=x2+2x．
∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，
∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x．
（2）由（1）得h（x）=x2+2x﹣λ（﹣x2+2x）=（λ+1）x2+2（1﹣λ）x．
①当λ=﹣1时，h（x）=4x满足在区间[﹣1，1]上是增函数；
②当λ＜﹣1时，h（x）图象对称轴是x=
则≥1，
又λ＜﹣1，解得λ＜﹣1；
③当λ＞﹣1时，同理需≤﹣1，
又λ＞﹣1，解得﹣1＜λ≤0．
综上，满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，0]．
　
18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；
（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．
【解答】解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．
S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，
∵2a+6=y，∴，
∴，其定义域是（6，500）．
（2），
当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，
此时，x=50，y=60，Smax=2430．
答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
　
19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．
【考点】带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得
2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．
（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），fmin（x1）＞gmin（x2）
成立，分m＜3、
3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．
【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，
需
2m≥﹣4，且2m≠0．解得
m≥﹣2
且m≠0．
故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．
（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，
故有
fmin（x1）＞gmin（x2）
成立．
又函数f（x）=|x﹣m|=，故fmin（x1）=．
又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，
故gmin（x2）=．
当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得
1＜m＜3．
当
3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得
3≤m＜4．
当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得
4≤m＜4+2．
综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2
）．
　
20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x） f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．
【考点】函数与方程的综合运用；抽象函数及其应用．
【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可．
（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，
而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，通过①当，②当，③当，求出函数的值域，然后推出所求m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=4x是“（a，b）型函数”…
因为由f（a+x） f（a﹣x）=b，得16a=b，所以存在这样的实数对，如a=1，b=16…
（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，
而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，
①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，则g（x）在[0，2]上的值域为，由题意得，此时无解…
②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，所以则g（x）在[0，2]上的值域为，则由题意得且，
解得1≤m≤2…
③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，则g（x）在[0，2]上的值域为=，
则，解得．
综上所述，所求m的取值范围是…
　
2016年10月15日