江苏省盐城市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷
　
一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．抛物线y2=8x的焦点坐标是　　．
2．设复数z=m+i（m＞0），若||=，则m=　　．
3．某校高一有550名学生，高二有700名学生，高三有750名学生，学校为了解学生的课外阅读情况，决定按年级分层抽样，抽取100名学生，则高二年级应抽取　　名学生．
4．从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为　　．
5．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为　　．
6．已知实数x，y满足，则z=x+2y的最大值为　　．
7．如图所示的伪代码，则输出的S的值为　　．
8．命题“ x∈（0，+∞），x+＜4”的否定的真假是　　．（填“真”或“假”）
9．设函数f（x）=x2+x﹣alnx，则a＜3是函数f（x）在[1，+∞）上单调递增的　　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
10．四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛，要求每名学生都参加且只参加1门学科竞赛，则3门学科都有学生参赛的种数有　　种．
11．（文科学生做）设函数f（x）=mx3+xsinx（m≠0），若f（）=﹣，则f（﹣）=　　．
12．（理科学生做）在（x2﹣3x+2）4的展开式中，x2项的系数为　　（用数字作答）
13．（文科学生做）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的最小值为　　．
14．在斜△ABC中，由A+B+C=π，得A+B=π﹣C，则tan（A+B）=tan（π﹣C），化简得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．类比上述方法，若正角α，β，γ满足α+β+γ=，则tanα，tanβ，tanγ满足的结论为　　．
15．若一元二次不等式mx2+（2﹣m）x﹣2＞0恰有3个整数解，则实数m的取值范围是　　．
16．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为　　．
　
二、解答题：本大题共9小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（理科学生做）甲、乙、丙三名学生参加A，B两所大学的自主招生考试，假设他们能通过A大学考试的概率都是，他们能通过B大学的概率都是．
（1）求甲只通过一所大学考试的概率；
（2）设三名学生中同时通过两所大学考试的人数为X，求X的概率分布与数学期望．
18．（文科学生做）设命题p：函数f（x）=x3+ax2+ax是R上的单调递增函数，命题q：|a﹣1|≤m（m＞0）．
（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．（理科学生做）在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=4，BC=CC′=2，求
（1）直线B′D与BC′所成角的大小；
（2）二面角A﹣B′D﹣C的余弦值．
20．（文科学生做）已知函数f（x）=sinx﹣cosx．
（1）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间；
（2）若f（θ）=﹣（0＜θ＜π），求sinθ的值．
21．已知函数f（x）=﹣x2+2x，若数列{an}满足a1=1．an+1=f（an）．
（1）求a2，a3的值；
（2）猜想an与3的大小关系，并用数学归纳法证明．
22．（文科学生做）已知函数f（x）=tanx﹣sinx，x∈（﹣）．
（1）比较f（﹣），f（﹣），f（），f（）与0的大小关系；
（2）猜想f（x）的正负，并证明．
23．如图，已知四边形ABCD是一块边长为2千米的正方形地皮，其中曲边三角形ADE是一个小池塘，点E在边CD上且DE=1千米．假设曲边AE可用以A为顶点，AD为对称轴的抛物线拟合，现绿化部门拟过曲边AE上一点P作切线交边AB于点M，交CD于点N，在四边形MBCN内栽种花草．
（1）建立适当的坐标系，用点P的横坐标t表示花草的面积S（t），并写出定义域；
（2）求S（t）的最大值．
24．已知A，B，C是椭圆E：
+=1的左、右、上顶点，点P是椭圆E上不同于A，B，C的一动点，若椭圆E的长轴长为4，且直线CA，CB的斜率满足kCA kCB=﹣．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线AC与PB交于点M，直线CP交x轴与点N，
①当点M在以AB为直径的圆上时，求点P的横坐标；
②试问：﹣（kMN，kCP表示直线MN，CP的斜率）是否为定值？若是，求出该定值；若不是．请说明理由．
25．设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=．
（1）当m=1时，求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设F（x）=f（x）﹣2g（x），若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）当m=时，若不等式f（x）+t≤kx+b≤g（x）对 x∈[2，4]恒成立，试给出实数t的一个值，使满足条件的实数k，b唯一，并直接写出k，b的值（不必证明）．
　
2015-2016学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．抛物线y2=8x的焦点坐标是　（2，0）　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2=8x，
所以p=4，
所以焦点（2，0），
故答案为（2，0）．
　
2．设复数z=m+i（m＞0），若||=，则m=　　．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】根据共轭复数的定义先求出共轭复数，根据复数的模长公式进行求解即可．
【解答】解：∵复数z=m+i（m＞0），
∴=m﹣i，
若||=，
则||==，
即m2+1=，
则m2=，
∵m＞0，
∴m=，
故答案为：．
　
3．某校高一有550名学生，高二有700名学生，高三有750名学生，学校为了解学生的课外阅读情况，决定按年级分层抽样，抽取100名学生，则高二年级应抽取　35　名学生．
【考点】分层抽样方法．
【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用高二年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得高二年级应抽取人数．
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，
由于高二有700名学生，故高二年级应抽取的人数为700×=35，
故答案为：35．
　
4．从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先写出从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，再找出两位数是偶数，然后相比就可以了．
【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31，32，共6个基本事件，
其中满足条件的有2个，
故两位数是偶数的概率为：
　
5．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】等轴双曲线的离心率是．
【解答】解：∵曲线的一条渐近线方程为y=x，
∴双曲线为等轴双曲线，
∴离心率是，
故答案为．
　
6．已知实数x，y满足，则z=x+2y的最大值为　7　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（﹣1，4），
代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×4=7
故答案为：7．
　
7．如图所示的伪代码，则输出的S的值为　36　．
【考点】伪代码．
【分析】根据已知中的伪代码，可知该程序是变量初值为1，终值为11，步长为2的累加运算，由此可得答案．
【解答】解：由于循环变量的初值为1，终值为11，步长为2；
所以该程序运行后输出的是算式
S=1+3+5+7+9+11=36．
故答案为：36．
　
8．命题“ x∈（0，+∞），x+＜4”的否定的真假是　真　．（填“真”或“假”）
【考点】特称命题．
【分析】首先明确原命题的否定命题，然后利用基本不等式判断真假．
【解答】解：命题“ x∈（0，+∞），x+＜4”的否定是命题“ x∈（0，+∞），x+≥4”，根据基本不等式得到此命题正确；
故答案为：真．
　
9．设函数f（x）=x2+x﹣alnx，则a＜3是函数f（x）在[1，+∞）上单调递增的　充分不必要　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】通过已知条件，求出函数的导数，转化导数大于等于0恒成立，得到a的表达式，求出a≤3，只要在a≤3范围上取一段区间或一个点，都是这个命题成立的充分不必要条件．
【解答】解：∵f（x）=x2+x﹣alnx在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=2x+1﹣≥0，在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x2+x，
由y=2x2+x在[1，+∞）为增函数，
∴ymin=3，
∴a≤3，
只要在a≤3范围上取一段区间或一个点，都是这个命题成立的充分不必要条件，
则a＜3是函数f（x）在[1，+∞）上单调递增的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
　
10．四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛，要求每名学生都参加且只参加1门学科竞赛，则3门学科都有学生参赛的种数有　36　种．
【考点】计数原理的应用．
【分析】先从4人中选出2个人为一组，看成一个整体，再和另外的2个人全排列，运算可得结果
【解答】解：由题意可得，必有2个人参加同一学科的竞赛，每门学科至少有1人参加，
故先从4人中选出2个人为一组，看成一个整体，再和另外的2个人全排列，则不同的参赛方案有C42A33=36，
故答案为：36．
　
11．（文科学生做）设函数f（x）=mx3+xsinx（m≠0），若f（）=﹣，则f（﹣）=　　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用函数的解析式，化简求解即可．
【解答】解：函数f（x）=mx3+xsinx（m≠0），f（）=﹣，
可得m+sin=，
f（﹣）=﹣m+sin=﹣（m+sin）+2×sin=+=．
故答案为：．
　
12．（理科学生做）在（x2﹣3x+2）4的展开式中，x2项的系数为　248　（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】分析x2的几个由来，分两种可能分别求系数即可．
【解答】解：（x2﹣3x+2）4展开式的x2项的系数为=248．
故答案为：248．
　
13．（文科学生做）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的最小值为　　．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得所得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得实数m的最小值．
【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得函数y=2sin[2（x﹣m）﹣]=2sin（2x﹣2m﹣）的图象
根据所得图象关于直线x=对称，可得2 ﹣2m﹣=kπ+，即m=﹣﹣，k∈Z，
则实数m的最小值为，
故答案为：．
　
14．在斜△ABC中，由A+B+C=π，得A+B=π﹣C，则tan（A+B）=tan（π﹣C），化简得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．类比上述方法，若正角α，β，γ满足α+β+γ=，则tanα，tanβ，tanγ满足的结论为　tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1　．
【考点】类比推理．
【分析】根据题意，由已知命题，类比另一命题时，应结合命题的结构形式和推理方法进行类比，即可得出结论tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1．
【解答】解：斜△ABC中，由A+B+C=π，得A+B=π﹣C，
则tan（A+B）=tan（π﹣C），
化简得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
类比上述方法，
正角α，β，γ满足α+β+γ=，得α+β=﹣γ，
则tan（α+β）=tan（﹣γ），
即=，
所以tanα，tanβ，tanγ满足的结论为
tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1．
故答案为：tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1．
　
15．若一元二次不等式mx2+（2﹣m）x﹣2＞0恰有3个整数解，则实数m的取值范围是　﹣＜m≤﹣　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据题意得出m＜0，再把不等式mx2+（2﹣m）x﹣2＞0化为（x﹣1）（x+）＜0，求出对应方程的两个实数根，由不等式的解集中恰有3个整数解，得出4＜﹣≤5，由此求出m的取值范围．
【解答】解：根据题意得m＜0，
又一元二次不等式mx2+（2﹣m）x﹣2＞0可化为（x﹣1）（mx+2）＞0，
即（x﹣1）（x+）＜0；
且对应方程的两个实数根为1和﹣，
又不等式的解集中恰有3个整数解，
所以这三个整数分别为2、3、4；
则4＜﹣≤5，
即，
解得﹣＜m≤﹣；
综上，实数m的取值范围是﹣＜m≤﹣．
故答案为：﹣＜m≤﹣．
　
16．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为　7　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】易知g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有h（p）＞g（p）．当x＞1时，分离参数求最值，可得k≤7．再证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=∈（0，+∞）．当x∈（0，1）时，h（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，结论成立时k的最大值．
【解答】解：显然g（x）=（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，
于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有f（p）＞g（p）．
当x＞1时，＞，∴k＜，
设t=x﹣1（t＞0），则==2（t++2）≥8，
∴k＜8
∴k≤7．
下面证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．
当0＜x＜1时，f（x）＜g（x） ﹣ln（1﹣x）＞0．
令ψ（x）=﹣ln（1﹣x）（0＜x＜1），
则ψ′（x）=﹣+＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，
于是ψ（x）＞0．
同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=∈（0，+∞）．
当x∈（0，1）时，f（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n）．
综上所述，正整数k的最大值为7．
故答案为：7．
　
二、解答题：本大题共9小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（理科学生做）甲、乙、丙三名学生参加A，B两所大学的自主招生考试，假设他们能通过A大学考试的概率都是，他们能通过B大学的概率都是．
（1）求甲只通过一所大学考试的概率；
（2）设三名学生中同时通过两所大学考试的人数为X，求X的概率分布与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）记甲通过A大学而不通过B大学考试为事件E，甲通过B大学而不通过A大学考试为事件F，分别求出P（E）、P（F），能求出甲只通过一所大学考试的概率．
（2）每名学生同时通过两所大学考试的概率P=，三名学生同时通过两所大学考试的人数X～B（3，），由此能求出X的概率分布与数学期望．
【解答】解：（1）记甲通过A大学而不通过B大学考试为事件E，
甲通过B大学而不通过A大学考试为事件F，
则P（E）=，P（F）==，
∴甲只通过一所大学考试的概率P=P（E）+P（F）=．
（2）每名学生同时通过两所大学考试的概率P=，
三名学生同时通过两所大学考试的人数X～B（3，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）=（）3=，
∴三名学生同时通过两所大学考试的人数X的概率分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴EX==1．
　
18．（文科学生做）设命题p：函数f（x）=x3+ax2+ax是R上的单调递增函数，命题q：|a﹣1|≤m（m＞0）．
（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）先求导，再根据判别式即可求出a的范围，问题得以解决，
（2）解绝对值不等式根据q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+ax是R上的单调递增函数，
∴f′（x）=3x2+2ax+a≥0，
∴△=4a2﹣12a≤0，
解得0≤a≤3，
∴当a=1时，命题p为真命题，
（2）由|a﹣1|≤m，（m＞0），
解得1﹣m≤a≤1+m，
∵q是p的充分不必要条件，
∴q p，
∴，
解得0＜m≤1．
又当m=1时，p≠q，
∴实数m的取值范围为[0，1]
　
19．（理科学生做）在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=4，BC=CC′=2，求
（1）直线B′D与BC′所成角的大小；
（2）二面角A﹣B′D﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）建立坐标系，证明 =4+0﹣4=0，可得⊥，即可求出直线B′D与BC′所成角的大小；
（2）求出平面AB′D的法向量、平面B′DC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角A﹣B′D﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），B′（2，4，2），C′（0，4，2），
∴=（﹣2，﹣4，﹣2），=（﹣2，0，2），
∴ =4+0﹣4=0，
∴⊥，
∴直线B′D与BC′所成角的大小为90°；
（2）由（1）=（﹣2，﹣4，﹣2），=（2，0，0），=（0，4，0），
设平面AB′D的法向量为=（x，y，z），则，取=（0，1，﹣2），
同理平面B′DC的一个法向量为=（1，0，﹣1），
∴由图形得二面角A﹣B′D﹣C的余弦值=﹣=﹣．
　
20．（文科学生做）已知函数f（x）=sinx﹣cosx．
（1）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间；
（2）若f（θ）=﹣（0＜θ＜π），求sinθ的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由题意，利用辅助角公式将函数化简，整体代入求出其单调增区间；
（2）将f（θ）=﹣代入（1）中化简的函数里，得到关于θ的方程，利用0＜θ＜π判断其取值情况，求出sinθ．
【解答】解：由题意得：
（1）f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
所以当x﹣≤，（k∈Z），
所以≤x，（k∈Z），
又因为x∈（0，π），
所以增区间为（0，）；
（2）因为f（θ）=﹣（0＜θ＜π），
所以由（1）可知，2sin（θ﹣）=﹣，
所以sin（θ﹣）=﹣，
又因为0＜θ＜π，
所以﹣θ﹣＜，
所以cos（θ﹣）=，
所以sinθ=sin（）=sin（）cos+cos（）sin
=（﹣）×=，
所以sinθ=．
　
21．已知函数f（x）=﹣x2+2x，若数列{an}满足a1=1．an+1=f（an）．
（1）求a2，a3的值；
（2）猜想an与3的大小关系，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法；数列递推式．
【分析】（1）依次代入f（x）计算；
（2）先验证n=1时成立，假设n=k时猜想成立，利用二次函数的单调性推导n=k+1时猜想成立．
【解答】解：（1）a2=f（1）=﹣+2=，
a3=f（）=﹣+2×=．
（2）猜想：an＜3．
证明：当n=1时，显然a1=1＜3，猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即ak＜3，
∵f（x）=﹣x2+2x的对称轴为x=3，开口向下，
∴f（x）在（﹣∞，3）上是增函数．
则ak+1=f（ak）＜f（3）=3，
∴n=k+1时，猜想成立．
综上，an＜3．
　
22．（文科学生做）已知函数f（x）=tanx﹣sinx，x∈（﹣）．
（1）比较f（﹣），f（﹣），f（），f（）与0的大小关系；
（2）猜想f（x）的正负，并证明．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】（1）将﹣，﹣，，代入函数表达式求出函数值，判断即可；
（2）求出函数的导数，根据三角函数的性质求出函数的单调性，从而证出结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=tanx﹣sinx，
∴f（﹣）=tan（﹣）﹣sin（﹣）=﹣+＜0，
f（﹣）=tan（﹣）﹣sin（﹣）=﹣1+＜0，
f（）=tan﹣sin=﹣＞0，
f（）=tan﹣sin=1﹣＞0；
（2）由（1）猜想，
x∈（﹣，0）时，f（x）＜0，x∈（0，）时，f（x）＞0
x=0时，f（x）=0．
证明如下：f′（x）=，
∵x∈（﹣），∴cosx∈（0，1]，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣）递增，计算得f（0）=0，
∴x∈（﹣，0）时，f（x）＜0，
x∈（0，）时，f（x）＞0
x=0时，f（x）=0．
　
23．如图，已知四边形ABCD是一块边长为2千米的正方形地皮，其中曲边三角形ADE是一个小池塘，点E在边CD上且DE=1千米．假设曲边AE可用以A为顶点，AD为对称轴的抛物线拟合，现绿化部门拟过曲边AE上一点P作切线交边AB于点M，交CD于点N，在四边形MBCN内栽种花草．
（1）建立适当的坐标系，用点P的横坐标t表示花草的面积S（t），并写出定义域；
（2）求S（t）的最大值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的方程为y=ax2，代入E（1，2），可得抛物线的方程，求得导数，切线的斜率可得切线的方程，分别令y=0，y=2，可得M，N的坐标及MB，NC，由切线过C（2，2），可得t，由梯形的面积公式化简即可得到所求S（T）；
（2）运用基本不等式：a+b≥2（当且仅当a=b取得等号），即可得到所求面积的最大值．
【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的方程为y=ax2，
由E（1，2）在抛物线上，可得a=2，
即有抛物线的方程为y=2x2，
导数为y′=4x，可得切线MN的斜率为4t，
切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t），
令y=0，可得x=，即有MB=2﹣；
令y=2，可得x=+，即NC=2﹣﹣；
当切线经过点C（2，2），可得2﹣2t2=4t（2﹣t），
解得t=2﹣，
则S（t）=×2（MB+NC）=4﹣﹣t（2﹣＜t≤1）；
（2）当2﹣＜t≤1时，S（t）=4﹣﹣t
=4﹣（+t）≤4﹣2=4﹣．
当且仅当=t，即t=∈（2﹣，1]时，
S（t）取得最大值4﹣．
　
24．已知A，B，C是椭圆E：
+=1的左、右、上顶点，点P是椭圆E上不同于A，B，C的一动点，若椭圆E的长轴长为4，且直线CA，CB的斜率满足kCA kCB=﹣．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线AC与PB交于点M，直线CP交x轴与点N，
①当点M在以AB为直径的圆上时，求点P的横坐标；
②试问：﹣（kMN，kCP表示直线MN，CP的斜率）是否为定值？若是，求出该定值；若不是．请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设出A，B，C的坐标，运用直线的斜率公式，可得a=2b，由题意可得a=2，求得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）①求得A，B，C的坐标，可得直线AC的斜率，由点M在以AB为直径的圆上，可得AM⊥BM，
可得kAC kBP=﹣1，即kBP=﹣2，设P（x0，y0），由题意方程和直线的斜率公式，解方程可得P的横坐标；
②求得直线CP的斜率，及方程，令y=0，可得N的坐标，再由直线AC，BP的方程可得M的坐标，运用两点的斜率公式，可得MN的斜率，化简整理即可得到定值2．
【解答】解：（1）由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），
则kCA kCB= =﹣，即为a=2b，
由题意可得a=2，则b=1，
即有椭圆E的方程为+y2=1；
（2）①由椭圆方程可得A（﹣2，0），B（2，0），C（0，1），
可得kAC=，
由点M在以AB为直径的圆上，可得AM⊥BM，
可得kAC kBP=﹣1，即kBP=﹣2，
设P（x0，y0），可得，消去y0，可得17x02﹣64x0+60=0，
解得x0=或x0=2．
点P是椭圆E上不同于B的点，可得x0=；
②由上面可得kCP=，即=，
直线CP的方程为y=x+1，令y=0，可得x=﹣，即N（﹣，0），
联立直线AC，BP的方程，可得，
解得M（，），
则=
=+ ，
即有﹣=+ ﹣
=+ =1+﹣（2+）
=1﹣﹣，
由+y02=1，可得x02=4（1﹣y02），代入上式，可得
﹣=1﹣﹣=1﹣+=2．
即﹣为定值2．
　
25．设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=．
（1）当m=1时，求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设F（x）=f（x）﹣2g（x），若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）当m=时，若不等式f（x）+t≤kx+b≤g（x）对 x∈[2，4]恒成立，试给出实数t的一个值，使满足条件的实数k，b唯一，并直接写出k，b的值（不必证明）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）利用导数和函数的最值的关系，分类讨论即可求出m的值；
（3）分别根据导数和函数的最值，求出在[1，2]上的f（x）max，g（x）min，得到+t≤kx+b≤，即可求出实数t的一个值，使满足条件的实数k，b唯一．
【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=lnx，x＞0，
∴f′（x）=，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=0，
∴y=f（x）在x=1处的切线方程y=x﹣1，
（2）F（x）=f（x）﹣2g（x）=mlnx﹣=mlnx﹣1+
∴F′（x）=﹣=，
当m≤0时，F′（x）＜0恒成立，
∴F（x）在[1，e]单调递减，
∴F（x）min=F（e）=m﹣1+=﹣1，
解得m=（舍去），
当m＞0时，F′（x）=0，解得x=，
当F′（x）＞0时，即x＞时，函数单调递增，
当F′（x）＜0时，即0＜x＜时，函数单调递减，
若≤1时，即m≥1时，函数F（x）在[1，e]上单调递增，
∴F（x）min=F（1）=﹣1+1=0≠﹣1，
若≥e，即0＜m≤时，F（x）在[1，e]单调递减，
∴F（x）min=F（e）=m﹣1+=﹣1，
解得m=，
若1＜＜e时，即＜m＜1时，F（x）在[1，]单调递减，在[，e]上单调递增，
∴F（x）min=F（）=mln﹣1+m=﹣1，
解得m=e（舍去），
综上所述m=；
（3）当m=时，f（x）=lnx，
∴f（x）=lnx，在[2，4]单调递增，
∴f（x）max=f（4）=ln4=ln2=
∴[f（x）+t]max=+t，
∵g（x）=，
∴g′（x）=＞0恒成立，
∴g（x）在[2，4]单调递增，
∴g（x）min=g（2）=，
∵f（x）+t≤kx+b≤g（x）对 x∈[2，4]恒成立，
∴+t≤kx+b≤，
∴+t≤，
即t=﹣﹣，
则kx+b=在[2，4]恒成立，
则，
解得k=，b=﹣．
　
2016年10月15日