2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课后练习 4.1.1数列的概念与简单表示法（含解析）

4.1.1数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．是数列，，，，…的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
3．下列说法中正确的是(　　)
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}
4．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n+1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n+1·(2n－1)，n∈N*
5．设an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是(　　)
A．107 B．108
C． D．109
6．设an＝＋…＋(n∈N*)，则a2等于 (　　)
A． B．
C． D．
7．在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________．
9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，________，，…．
10．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键________个．
11．如图所示，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第(n－2)(n≥3)个图形中共有________个顶点．
三、解答题
12．根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
(1)an＝；
(2)an＝(－1)n-1·．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4．
(1)30是不是数列{an}中的项？70呢？
(2)数列中有多少项是负数？
(3)当n为何值时，an有最小值？求出这个最小值．
参考答案
1．A　[由题意可知，该数列为，…，
故，…的第6项．故选A．]
2．A　[an+1－an＝3n+1－3n＝2×3n>0，
∴an+1>an，即{an}是递增数列．]
3．C　[对于A，常数列既不是递增数列也不是递减数列，故A错误；
对于 B，数列是按顺序排列的，故B错误；
对于C，数列的第k项是1＋，故C正确；
对于D，数列中的第1项无法用an＝2n(n∈N*)表示，故D错误．
故选C．]
4．A　[数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*．]
5．B　[设f(x)＝－2x2＋29x＋3，其图象的对称轴为x＝＝7，故an＝－2n2＋29n＋3在n＝7时取得最大值，(an)max＝a7＝108．]
10．C　[∵an＝＋…＋(n∈N*)，∴a2＝．]
11．D　[由题意可得an＝．根据对勾函数与复合函数的单调性，y＝在(0，，＋∞)上单调递减，所以在{an}中，a1a5>a6>…．当n＝3时，n＋，a3＝；
当n＝4时，n＋，a4＝，
所以an的最大值是a4＝．故选D．]
6．　12　[a10＝，
由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(负值舍去)．]
7．3　[由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3．]
8．5n＋1　[每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n个结构简图有5n＋1个化学键．]
13．n2＋n(n≥3，n∈N*)　[设第n个图形中共有an个顶点，观察顶点个数的趋势可以发现：
a1＝32＋3，a2＝42＋4，a3＝52＋5，
第n个图形是由正(n＋2)边形的每条边都向外“扩展”一个新的正(n＋2)边形而得到的，
故第n个图形的顶点个数为
(n＋2)＋(n＋2)2＝(n＋2)(n＋3)，
从而第(n－2)个图形的顶点个数为
an-2＝n(n＋1)＝n2＋n(n≥3，n∈N*)．]
9．解：(1)当n＝1时，a1＝＝2；当n＝2时，a2＝；当n＝3时，a3＝＝2；当n＝4时，a4＝；当n＝5时，a5＝．
(2)当n＝1时，a1＝(－1)1-1×；当n＝2时，a2＝(－1)2-1×＝－；当n＝3时，a3＝(－1)3-1×；当n＝4时，a4＝(－1)4-1×＝－；当n＝5时，a5＝(－1)5-1×．
12．解：(1)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，无正整数解，则30不是数列的项．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，则70是数列的第11项．
(2)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4<0，解得1(3)根据题意，an＝n2－5n＋4＝，
故当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为－2．
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