2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课后练习 4.1.2数列的递推公式及前n项和（含解析）

4.1.2数列的递推公式及前n项和
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a6＝(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
2．(多选)符合递推公式an＝an－1的数列是(　　)
A．1，2，3，4，…
B．1，，…
C．，4，…
D．0，，…
3．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　　)
A． B．
C． D．
4．已知数列{an}满足a1＝2，an+1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
5．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝(　　)
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
6．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝2，＝an(an+1＋2an)．则数列{an}的通项公式是an＝(　　)
A．2n+1 B．2n-1
C．2n D．3n
7．(多选)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an+1＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 023＋a2 024＝1
D．a2 023＋a2 024＝
二、填空题
8．数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项．
9．在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________．
10．已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________．
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5三、解答题
12．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－n＋1．
(1)写出a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an．
答案
1．C　[由题可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故选C．]
2．BC　[B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an-1．]
3．B　[a1＝1＝，∵an+1＝an，∴a2＝．同理a3＝．猜想an＝．]
4．D　[∵an+1－an＝－1，
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n．
当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．]
5．C　[由题可得，a2＝a1＋a1，所以a1＝－3，a10＝a1＋a9＝…＝a1＋a1＋…＋a1＝－30．]
6．C　[由题意得，＝anan+1＋2，化简得
(an+1－2an)(an+1＋an)＝0，
又an>0，则an+1－2an＝0，即＝2，
∴an＝·…··a1＝2n-1×2＝2n，
当n＝1时，a1＝2满足上式，则an＝2n．]
7．BD　[a2＝f－1＝；
a3＝f－1＝；
a4＝f；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
a7＝f；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝，∴C错误，D正确．故选BD．]
8.5　[a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14．]
9.19　[由题意知a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，
a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19．]
10．　[a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝．]
11．7　[当n＝1时，a1＝S1＝－5；
当n≥2时，Sn-1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7，
an＝Sn－S n-1＝2n－7，
当n＝1时，a1＝－5符合上式，
所以{an}的通项公式为an＝2n－7，
所以ak＝2k－7．
由5<2k－7<8，解得6因为k为正整数，所以k＝7．]
12．解：(1)因为Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4．
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不满足上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝
13．解：将an+1＝两边同时取倒数，
得，
即，
∴(n≥2)，
把以上(n－1)个式子累加，得．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
又∵a1＝1满足an＝，∴an＝(n∈N*)．
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