九年级数学上册试题 第22章 二次函数 单元测试卷--人教版（含答案）

第22章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为
C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为
9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若点、在图象上，且，则
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ．
13．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ．
14．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
15．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米．
16．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ．
17．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… 1 …
y … 0 …
则当时的最小值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（8分）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程．
20.（8分）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 10 m 2 1 2 5 …
（1）直接写出m的值______；
（2）求出函数表达式；
（3）直接写出关于x的不等式的解集：______．
21.（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
22.（10分）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变）
（1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式；
（2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？
（3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围．
23.（10分）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值．
24.（12分）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使 PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
2．A
解：将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为即，
故选：A．
3．B
解：∵函数
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，
∵函数的图象上有三点，，，且
∴
故选：B．
4．A
解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限，
当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，
∴符合题意的是选项，
故选：．
5．B
解：设所在直线为，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∵二次函数与线段有两个不同的公共点，
∴，
解得：，
①当时，
此时函数的开口向上，
∴，，
解得：，
②当时
此时函数的开口向下，
∴，，
解得：，
综上所述得：，，
故选：B．
6．B
解：因为，，，
由图可知，
，
，
因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上，
根据抛物线的对称性可知．
故选：B．
7．C
解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，或，
故选：C．
8．C
解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意；
由表格可知，当时，，
与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意；
由表格可知，当时，，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
对应的函数值与对应的函数值相等，
由表格可知，当时，，
当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
9．C
解：将代入，得
，
即
，
解得（不符合题意，舍去），或．
故选C．
10．B
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，故A错误；
抛物线过点，
，
，
，
，故B正确；
时，，
，故C错误；
当点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离时，则，故D错误．
故选：B．
二、填空题
11．
解：抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
12．
解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为0，
当时，，当时，，
∴当时，y有最小值，最小值为，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
13．
解：设，，
∴、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线上有两个点，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
当时，．
故答案为：．
14．
解：由题可知，的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为．
故答案为：．
15．9
解：当时，
，
∴，（不合题意，舍去），
∴小明将铅球推出的距离为9米．
故答案为：9．
16．
解：令，则，
解得，，
，，
抛物线的对称轴为：
点的横坐标为：
当 时， ；
设直线解析式为，
则，
解得，
由抛物线的对称性可知：
∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小，
将 代入得：
故此时点的坐标是
故答案为：．
17．
解：由表格可知，和时均有，
∴对称轴为：
观察表格，时，即顶点为，
设二次函数的顶点式为：
由表格中，，代入顶点式得：
，
即，
解得 ，
∴二次函数解析式为，
∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小，
，
当时，取得最小值，为．
故答案为：．
18．
解：抛物线的对称轴为直线，
在中，令，得，
即；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴关于直线对称，
∴，
∴；
∵，，
∴由勾股定理得：，
即，
∴点D的横坐标为，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19.
解：（1）解：把点代入得：，
解得：，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由（1）可知：，
令时，则，
∴，
∴，轴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设平移后的表达式为，
∴，
解得：，
∴平移后的表达式为，
∴平移后抛物线的顶点坐标为，
根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为．
20.
解：（1）解：∵抛物线过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当和时，函数值相等，
∵时，，
∴；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式可设为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（3）解：联立，
解得：或，
∴抛物线和直线的交点坐标为，，
如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面，
∴关于x的不等式的解集为或．
21.
解：（1）解：将，代入．
得解得：，
；
（2）设点P的坐标为，且在第二象限内，
把代入，可得，
，
设直线的解析式为，
将代入上式，得，
解得，，
直线的解析式为，
过点P作垂直于x轴交于点Q，则，
，
，
，
当时，，，
．
22.
解：（1）解：由题意可得：；
；
（2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，
由题意得：
∴当时，元，
即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元；
（3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒，
则，
，
，
．
23.
解：（1）解：令，则，解得，
一次函数与x轴交点A的坐标为，
令，则，
一次函数与y轴交点B的坐标为，
二次函数经过两点，
∴将代入得：
解得，
二次函数关系式为，
令，即，
解得，
点坐标为，
点C的坐标为．
（2）设点P坐标并表示的长度 设点（），
轴，E点横坐标与P相同为m，
，
，
轴，
，
，
，
,，
，
，
，
当时，的最大值为．
24.
解：（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：能，理由：
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为，
设点，则点，
则，
∵直线和轴的夹角为，，
则，
解得：，
即点的坐标为：；
（3）解：存在，理由：
设点，而点，
则，，，
当时，
则，
解得：；
当或时，
同理可得或，
解得：（舍去）或6或或，
即点的坐标为：或或或．