4.5 牛顿运动定律的应用题型归纳（含解析） 2025-2026人教版高中物理必修一
文档属性
| 名称 | 4.5 牛顿运动定律的应用题型归纳（含解析） 2025-2026人教版高中物理必修一 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 8.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-12-25 22:23:30 | ||
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文档简介
4.5牛顿运动定律的应用题型归纳
题型1 从受力确定运动情况
【例1】（24-25高三上·广东茂名·期中）如图所示，运动员把冰壶沿平直冰面投出，冰壶先在冰面AB段滑行，再进入冰刷刷过的冰面BC段并最终停在点。已知冰壶与AB段、BC段间的动摩擦因数的比值为，冰壶在AB段和BC段滑行所用的时间的比值为，则冰并在AB段和BC段的位移大小的比值为（ ）
A．pq B． C． D．
【变式1-1】 （24-25高一上·江苏·月考）无风的时候，一片树叶从距地高5m的地方落下。重力加速度，则树叶（ ）
A．下落的位移 B．下落的加速度
C．落地速度 D．下落的时间
【变式1-2】（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，送入货舱前行李箱已做匀速运动。已知行李箱与传送带之间动摩擦因数为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．运输行李时该传送带的倾角必须小于
B．提高传送带的运转速度，传送时间不变
C．匀速阶段行李箱不受摩擦力
D．重的行李箱比轻的行李箱加速阶段用时短些
【变式1-3】（多选）（2024·广东汕头·二模）如图所示，球筒中静置着一个羽毛球。小明左手拿着球筒，右手迅速拍打筒的上端，使筒获得向下的初速度并与左手发生相对运动，最后羽毛球（视为质点）从筒口上端出来，已知球筒质量为（不含球的质量），羽毛球质量为，球筒与手之间的滑动摩擦力为，球与筒之间的滑动摩擦力为，球头离筒的上端距离为，重力加速度g取，空气阻力忽略不计，当球筒获得一个向下的初速度后（ ）
A．静置时，羽毛球的摩擦力为
B．拍打球筒后瞬间，羽毛球受到向上的摩擦力
C．拍打球筒后瞬间，羽毛球的加速度为
D．仅拍打一次，羽毛球恰能出来，则筒的初速度为
【变式1-4】（24-25高二上·北京房山·期中）如图所示，一质量为的物体静止在光滑水平面上，现用的水平恒力使其加速运动。求：
（1）物体的加速度大小。
（2）末物体的速度大小。
（3）内物体通过的位移大小。
【变式1-5】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，一个滑雪场的滑雪赛道由一个斜坡直滑道和水平直滑道组成，斜坡滑道的倾角θ＝37°，斜坡滑道和水平滑道平滑连接。一个滑雪运动员从距离斜坡滑道底部100m处由静止开始下滑，经过斜坡滑道底部后在水平滑道上减速至停止。运动过程中运动员仅受重力、支持力和摩擦力，滑雪板与滑道的动摩擦因数恒为μ＝0.125，不计运动员在斜坡滑道与水平滑道连接处的速率损失，水平滑道足够长，重力加速度，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：（结果可保留根号）
（1）运动员滑到斜坡滑道底部时的速度大小。
（2）运动员在水平滑道上滑行的位移大小。
（3）运动员从开始下滑到停下来经历的时间。
题型2 从运动情况确定受力
【例2】（23-24高二下·山东青岛·期末）2024年4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。当返回舱距离地面高度为1.2m时，返回舱的速度为8m/s，此时返回舱底部的4台反推发动机同时点火工作，返回舱触地前的瞬间速度降至2m/s，从而实现软着陆。若该过程飞船始终竖直向下做匀减速运动，返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为，重力加速度，则平均每台反推发动机提供的推力大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（多选）（23-24高三上·贵州贵阳·月考）现在大型室外活动通常用无人飞机进行航拍。如图所示，一质量m=4.0kg的无人飞机在操作员的操控下由静止开始竖直向上匀加速运动2s，然后无人飞机又匀速向上运动3 s，接着匀减速向上运动4s速度恰好为零，之后悬停进行航拍。已知无人飞机上升过程中的最大速度为vm=4m/s，受到的空气阻力恒为f=2N，重力加速度大小g=10m/s2，则（ ）
A．无人飞机上升的第一个阶段，受到向上的作用力大小是50 N
B．无人飞机上升的第二个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
C．无人飞机上升的第三个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
D．无人飞机上升的总高度为24m
【变式2-2】（24-25高三上·安徽合肥·月考）又到了周末，合肥一中迎来大量的返校学生。一名学生拉着行李箱在水平地面行走，行李箱的运动可看成在地面上滑行，已知行李箱的质量为，取重力加速度，，。
（1）若该学生用如图甲所示的力拉行李箱匀速行走，已知拉力的方向与水平方向的夹角为，大小为，如果该同学想更省力，求最小拉力；
（2）若行李箱拉杆器件损坏，该同学停下来，改用如图乙所示的力推行李箱匀加速追赶前方的同学，跑了才追上，已知推力的方向与水平方向夹角仍为，求该推力的大小。
【变式2-3】（2024·山东·一模）如图所示，斜面ABC中AB段粗糙，BC段光滑。物块以10m/s的初速度从A点沿斜面向上滑行，到达C点速度恰好为零。已知BC段的长度为2m，物块上滑过程中，在AB段的加速度是BC段加速度的1.5倍，且物块在AB段和BC段运动的时间相等，g取10m/s2，求：
（1）斜面AB段的长度；
（2）物块与斜面AB段间的动摩擦因数。
【变式2-4】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）小明通过拉轮胎跑训练体能。如图所示，小明腰部系着轻绳拖着轮胎，已知轮胎的质量为10kg，绳与地面的夹角，轮胎与地面间的动摩擦因数。小明拉着轮胎从静止开始全力奔跑，跑出20m达到最大速度（这一过程可看作匀加速直线运动），然后以最大速度匀速跑到60m终点处，共用时10s。重力加速度，，。求：
（1）小明加速所用的时间；
（2）小明匀加速运动阶段对轮胎的拉力F的大小。
题型3 动力学图像问题
【例3】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，物块的质量，初速度大小，在一水平向左的大小恒定的力F作用下从O点沿粗糙的水平面开始向右运动，并从此刻开始计时，某时刻力F突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g取。下列说法正确的是（ ）
A．2s末力F反向 B．2s末到3s末物块做匀减速运动
C．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3 D．力F大小为8N
【变式3-1】（23-24高一上·全国·期末）无线充电宝可通过磁吸力吸附在手机背面，如图甲所示为科创小组某同学手握手机（手不接触充电宝），利用手机软件记录竖直放置的手机及吸附的充电宝从静止开始在竖直方向上的一次变速运动过程（手机与充电宝始终相对静止），记录的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（规定向上为正方向），时刻充电宝速度为零，且最终处于静止状态．已知手机的质量为，无线充电宝质量为，手机与充电宝之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，在该过程中下列说法正确的是（ ）
A．充电宝在与时刻所受的摩擦力方向相反
B．时刻充电宝受的摩擦力大小为
C．充电宝受到的静摩擦力的最大值为
D．充电宝与手机之间的吸引力大小至少为
【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江西宜春·月考）用如图所示的装置做课题研究发现：球形物体所受空气阻力的大小f跟运动的速率v有:f∝v2。当气球和重物由静止释放，在一起竖直下落的过程中，其速率v、加速度的大小a和运动的时间t之间的关系图像，下列可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（多选）（23-24高一上·陕西西安·月考）放置于固定斜面上的物块，在平行于斜面向上的拉力作用下，沿斜面向上做直线运动。拉力和物块速度随时间变化的图像如图，则（ ）
A．第内物块受到的合外力为
B．物块的质量为
C．斜面倾斜角一定是
D．如果撤去拉力，物块瞬时加速度
【变式3-4】 （23-24高一上·新疆省直辖县级单位·月考）如图a所示，一根水平长杆固定不动,一个质量m=1.2kg的小环静止套在杆上，环的直径略大于杆的截面直径,现用斜面向上53°的拉力F作用于小环，将F从零开始逐渐增大，小环静止一段时间后开始被拉动，得到小环的加速度a与拉力F的图象如图b所示，加速度在F达到15N后保持不变。(g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)求：
（1）F=15N时长杆对小球的弹力大小，及小环加速度的大小；
（2）环和长杆的动摩擦因数。
【变式3-5】（23-24高一上·北京西城·期末）质量为2kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的图像如图所示。g取，求：
（1）0~10s和10s~30s内物体运动的加速度大小；
（2）物体与水平面间的动摩擦系数；
（3）水平推力F的大小。
【变式3-6】（23-24高一上·福建三明·月考）质量为1kg的物块（可视为质点）静止于粗糙水平面上，现对其施加一随时间做周期性变化的水平拉力F，F随时间的变化规律如图甲所示，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块在4s时的速度；
（2）若先将物块固定，从1s末才放物块。求物块在1s至8s过程的位移。
题型4 绳、弹簧类问题
【例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）如图，绕过光滑定滑轮的绳子将物体A和B相连，绳子与桌面平行，物体A恰好不滑动。已知物体A的质量大于物体B的质量，A和B与桌面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，不计滑轮和绳子质量。现将A和B互换位置，绳子仍保持与桌面平行，则（ ）
A．绳子的拉力大小为 B．绳子的拉力大小为
C．物体与桌面间的动摩擦因数为 D．物体A和B的加速度大小为
【变式4-1】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）如图，质量为的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则下列说法不正确的是（ ）
A．车厢的加速度为
B．绳对物体1的拉力为
C．物体2所受底板的摩擦力为
D．底板对物体2的支持力为
【变式4-2】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）如图所示，物体A质量为2kg，物体B重0.5kg，不计一切摩擦和绳的重力，g取10m/s2。当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为（ ）
A．6m/s2，8N B．10m/s2，8N
C．8m/s2，6N D．6m/s2，9N
【变式4-3】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，在竖直放置的弹簧上放置一物块m，最开始对m施加竖直向下的力F使得弹簧压缩。在时撤去F释放小物块，计算机通过小物块上的速度传感器描绘出它的图线如图乙所示。其中段为曲线，bc段为直线，倾斜直线Od是时图线的切线。重力加速度为g，不计弹簧自身重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧在时刻恢复原长 B．
C．弹簧的劲度系数 D．小物块向上的最大位移为
【变式4-4】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1kg的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做匀加速直线运动，外力F与物体离开静止位置的位移x的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的加速度大小为
B．弹簧开始时形变量为4cm
C．弹簧的劲度系数为200N/m
D．从物体开始运动时计时，当时弹簧的形变量为3cm
【变式4-5】（24-25高一上·全国·单元测试）如图甲所示，一轻弹簧左端固定，右端接触滑块，利用滑块将弹簧压缩0.4m后锁定，时刻解除锁定释放滑块。借助计算机和速度传感器描绘出滑块的图线，如图乙所示，其中段图线为曲线，bc段图线为直线，倾斜直线Od是图线的切线。已知滑块的质量，取。则滑块与地面间的动摩擦因数是 ；弹簧的劲度系数为 N/m。
题型5 斜面模型
【例5】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）一质量为m的物块恰好能沿倾角为30°的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力F，F与水平方向的夹角为α，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若α=0°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若α=60°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若α=90°，物块将不能沿斜面匀速下滑
D．若F推着物块沿斜面匀速上滑，则斜面对地面的静摩擦力水平向左
【变式5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示的小木块在倾角为的固定斜面上由静止开始加速下滑，时间t内运动的距离为s，下列说法正确的是（ ）
A．小木块与斜面间的动摩擦因数为
B．小木块运动距离s后的速度大小为
C．s大小不变，越小，时间t越长
D．越小，小木块对斜面的压力越小
【变式5-2】（多选）（24-25高三上·河南·月考）如图甲所示，倾角、底端带有固定挡板的足够长的斜面体置于水平面上，斜面光滑，劲度系数的轻质弹簧，一端固定在斜面体底端挡板上，另一端与小物块A相连，小物块B紧靠着A一起静止在斜面上。现用水平向左的推力使斜面体向左以加速度a做匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x，如图乙所示为弹簧形变量x与相应加速度a间的关系图像，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度，，。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中
B．物块A的质量
C．物块B的质量
D．当时，斜面体对物块B的支持力与a的关系式为
【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·月考）如图所示，一固定斜面倾角为θ，在斜面顶端放置一质量为m小物体，小物体恰好能沿斜面匀速下滑，已知重力加速度为g。则：
（1）求小物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）若施加沿斜面向上的恒力拉该小物体，小物体恰好能沿斜面向上做匀速直线运动，求该恒力的大小；
（3）若施加（2）沿斜面向下的恒力大小拉该小物体，求小物体的加速度大小。
【变式5-4】（24-25高一上·全国·课后作业）一足够长的斜面固定在水平地面上，斜面倾角，斜面分为粗糙程度不同的段和段。段长22.5m，与物体间的动摩擦因数为，段足够长，与物体间的动摩擦因数为，，重力加速度。质量的物体恰好能在斜面的段匀速下滑。
（1）求斜面段的动摩擦因数；
（2）如图所示，如果给物体一个方向沿斜面向上的拉力，使物体从点由静止开始运动，运动到点时立即撤去拉力，求物体再次回到点时的速度。
题型6 等时圆模型
【例6】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，Oa、Ob是竖直平面内两根固定的光滑细杆，O、a、b、c位于同一圆周上，Ob过圆心，c为圆周的最高点，a为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环都从O点无初速度释放，用、分别表示滑环从O点到达a、b两点所用的时间，另有一个小球从c点由静止自由下落到a点所用的时间为。则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）如图所示，AQ为圆的竖直直径，沿AQ、BQ、CQ固定三个光滑杆，现让三个小环（可以看作质点）套在杆上，并分别沿着AQ、BQ、CQ杆自顶端由静止开始下滑到Q点，下滑所用时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD三点，其中轻杆AC与斜面垂直，，把可看成质点的质量为m的圆环依次沿三根轻杆从A点由静止滑下，滑到斜面过程中的平均速度分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（22-23高一上·山东临沂·期末）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（ ）
A．<<
B．=<
C．>=
D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
【变式6-4】（22-23高一下·广东东莞·开学考试）如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
【变式6-5】（23-24高三上·山东德州·月考）如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型7 连接体模型
【例7】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）在水平桌面上，并排放置5个相同的木块，水平的推力F作用在第一个木块上使5个木块一起向右加速，则木块之间弹力的比例从左向右依次为（ ）
A．1∶1∶1∶1（水平桌面光滑）
B．4∶3∶2∶1（水平桌面光滑）
C．1∶1∶1∶1（水平桌面粗糙程度相同）
D．4∶3∶2∶1（水平桌面粗糙程度相同）
【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，质量为m的小球a和质量为2m的小球b用轻弹簧A、B连接并悬挂在天花板上保持静止，水平力F作用在a上使a缓慢移动，当B与竖直方向夹角为60°时，A、B伸长量刚好相同。若A、B的劲度系数分别为、，重力加速度g。则以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．撤去F的瞬间，b球的加速度大小等于重力加速度g
D．撤去F的瞬间，a球的加速度大小等于重力加速度g
【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示，水平面上有一质量为2m的物体A，左端用跨过光滑定滑轮的细线连接着物体B，物体B、C的质量均为m，用轻弹簧相连放置在倾角为θ的斜面上，不计一切摩擦。开始时，物体A受到水平向右的恒力F的作用而保持静止，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．在细线被烧断的瞬间，A的加速度大小为2gsinθ
B．在细线被烧断的瞬间，B的加速度大小为0
C．剪断弹簧的瞬间，细线上的拉力大小瞬间突变为
D．突然撤去外力F的瞬间，A的加速度大小为
【变式7-3】（多选）（2025·四川德阳·一模）如图A、B两物体叠放在光滑水平桌面上，轻质细绳一端连接B，另一端绕过定滑轮连接C物体，已知A和C的质量都是1 kg，B的质量是2 kg，A、B间的动摩擦因数是0.3，其它摩擦不计。由静止释放C，C下落一定高度的过程中（C未落地，B未撞到滑轮，g=10m/s2）。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两物体没有发生相对滑动
B．A物体受到的摩擦力大小为3N
C．细绳的拉力大小等于10 N
D．B物体的加速度大小是2.5 m/s2
【变式7-4】（23-24高一上·天津·期末）如图所示，固定斜面上放一木板PQ，木板的Q端放置一可视为质点的小物块，现用轻细线的一端连接木板的Q端，保持与斜面平行，绕过定滑轮后，另一端可悬挂钩码，钩码距离地面足够高。已知斜面倾角θ=30°，木板长为L，Q端距斜面顶端距离也为L，物块和木板的质量均为m，两者之间的动摩擦因数为。若所挂钩码质量为2m，物块和木板恰能一起匀速上滑；若所挂钩码质量为其他不同值，物块和木板有可能发生相对滑动。重力加速度为g，不计细线与滑轮之间的摩擦，设接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）木板与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块和木板不发生相对滑动时，所挂钩码质量不能超过多大？
（3）选取适当质量的钩码可使木板由静止开始向上滑动，试讨论木板Q端到达斜面顶端所用时间t和钩码质量之间的关系。
题型8 传送带模型
【例8】（24-25高一上·江苏苏州·期中）传送带是现代生活中应用比较广泛的装置，如图所示。相同的物体由静止被轻轻放在水平匀速转动的传送带左端，到达最右端前物体与传送带已达到相对静止。下列说法正确的是（ ）
A．物体在传送带上受到竖直向上的弹力是由物体向下形变产生的
B．物体放上传送带时，传送带受到物体水平向右的摩擦力
C．物体在传送带上先受到滑动摩擦力，后受到静摩擦力
D．如果只增大传送带的转速，物体受到的摩擦力大小不变
【变式8-1】（24-25高一上·天津南开·开学考试）如图所示，传送带的速度恒为，转轮A和B的大小不计，（即传送带的总长度为2.4m）。某偷油老鼠跳到A点，并以相对传送带0.3m/s的速度向B点爬去，到达B点后立即回头仍以相对传送带0.3m/s的速度返回A点。回到A点后，该老鼠将再次向B点爬去，到达B点后再次返回……如此反复下去，且老鼠相对传送带的速度始终为0.3m/s。老鼠在A、B两端点速度转向所需的时间不计，从该老鼠由A点出发时开始计时，经过多长时间，传送带上将都会被老鼠身上的油渍污染（ ）
A．16s B．17s C．18s D．19s
【变式8-2】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，足够长的传送带与水平面夹角，以的恒定速率逆时针转动。小砖块以的初速度沿传送带方向从传送带底端滑上传送带，其与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．砖块刚滑上传送带时的加速度大小为25
B．砖块在传送带上向上滑行的最远距离为3m
C．若增大为7，砖块返回出发点时间变长
D．若增大为7，砖块在传送带上留下的痕迹变长
【变式8-3】（24-25高一上·四川广元·月考）如图，传送带始终保持v = 0.4 m/s的恒定速率运行，煤块与传送带之间的动摩擦因数μ = 0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。将一煤块（可视为质点）无初速度地放在A处，则下列说法正确的是（ ）
A．煤块一直做匀加速直线运动
B．煤块经过2 s到达B处
C．煤块到达B处时速度大小为0.4 m/s
D．煤块在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
【变式8-4】（多选）（23-24高一上·湖北荆州·期末）传送带在社会生活生产中有着广泛的应用，一长的水平白色传动带顺时针匀速运行，如图1所示．现将一可视为质点的墨块自传送带的左端由静止释放，经墨块被送达传送带的右端，其速度－时间图像如图2所示，重力加速度g取．则下列判断正确的是（ ）
A．传动带的运行速度大小为
B．墨块在传送带上留下的黑色痕迹在墨块的左侧
C．墨块相对传送带滑动而留下黑色痕迹的长度为
D．若增大传送带的运行速度，墨块的传送时间最短可达
题型9 滑块─木板模型
【例9】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）如图甲所示，在粗糙的水平地面上有一长木板B，在其上叠放着木块A，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用一水平力F作用于B，A、B的加速度与F的关系如图乙所示，，则下列说法中正确的是（ ）
A．木板B与地面间的最大静摩擦力为N B．物体A、B的总质量为
C．A、B间的动摩擦因数为 D．长木板B与地面间动摩擦因数为
【变式9-1】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，光滑斜面上有固定挡板A，斜面上叠放着物块B和木板C，木板C下端位于挡板A处，整体处于静止状态。木板C受到逐渐增大的沿斜面向上的拉力F作用时，木板C的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，则由图像可知（ ）
A．时，物块B和木板C发生相对滑动
B．斜面倾角等于
C．木板C的质量为2kg
D．木板C和物块B两者间的动摩擦因数为
【变式9-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）如图，一长木板静止在水平地面上，一物块叠放在长木板上，整个系统处于静止状态，长木板的质量为，物块的质量为，物块与长木板间的动摩擦因数为，长木板与地面之间的动摩擦因数为，对长木板施加一个水平向右的拉力，拉力，作用后将力撤去，之后长木板和物块继续运动，最终物块没有从长木板上掉下来。物块可看作质点，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取 ，求∶
（1）刚开始运动时物块与长木板的加速度大小分别为多大；
（2）撤去拉力后，和运动的时间分别为多少；
（3）长木板的最短长度。
【变式9-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）如图甲所示，粗糙水平地面上有一质量M=6kg的足够长木板B，将一质量m=2kg的小物块A（视为质点）轻放在木板B的右端，从t=0时刻起对B施加一水平向右的水平恒力F，经过t=4s后撤去恒力F，用传感器测得A、B的速度-时间图像如图乙所示，取g=10m/s2。求：
（1）A、B间的动摩擦因数μ1；
（2）B与地面间的动摩擦因数μ2，恒力F的大小；
（3）A、B均停止运动后A到B右端的距离L。
题型10 物体的临界、极值问题
【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）如图甲所示，水平面上有一倾角为的光滑斜面，斜面上用一平行于斜面的轻质细绳系质量为的小球。当斜面以水平向右的加速度做匀加速直线运动，系统稳定时细绳上的张力随加速度的变化图像如图乙所示，段是直线，点坐标为，g取，，，则（ ）
A．
B．
C．当时小球恰好离开斜面
D．小球离开斜面之前，受到的支持力
【变式10-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）如图所示，4块完全相同的质量均为m的长木板叠放在水平粗糙木地板上。一根不可伸长的水平轻绳将最上方的木板与左方竖直墙连接在一起，细绳处于恰好伸直但无拉力的状态。已知所有接触面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，本题中任意一个接触面间的最大静摩擦力都等于该接触面间的滑动摩擦力。现在对最下面的木板施加一个水平向右的、缓慢增加的拉力F。为了使最下面的木板运动起来，求F至少需要增加到多大（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）如图所示，质量为的物块放在水平桌面上，桌面的左端固定一光滑定滑轮，轻绳绕过定滑轮，一端连接在物块上，另一端吊着质量为的小球，物块与滑轮间的轻绳水平。由静止释放物块，当小球的质量为时，物块由静止开始在水平桌面上运动所用的时间为。已知重力加速度g取，不计空气阻力，物块与水平桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．若小球的质量增大，则轻绳的拉力也增大，但不可能超过
B．若小球的质量增大，轻绳的拉力也增大，但不可能超过
C．要使物块能运动，小球的质量至少大于
D．要使物块能运动，小球的质量至少大于
【变式10-3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）如图所示，在水平面上固定放置一个倾角为的光滑斜面；一物块以的初速度从斜面底端滑上斜面，恰好能到达斜面顶端。g取。
（1）求斜面的长度L；
（2）在斜面上设置一个长度为的摩擦区，物块与摩擦区之间的动摩擦因数，要使木块在上滑过程中不滑出摩擦区，求摩擦区下边界到斜面底端的最小距离。
【变式10-4】（20-21高一上·陕西渭南·期末）如图所示，光滑水平面上静止放着长L=0.16m，质量为M=3kg的木板，一个质量为m=1kg的小物体（可视为质点）放在木板的最右端，m和M之间的动摩擦因数μ=0.1，现对木板施加一水平向右的拉力F。（g取）
（1）若木板与小物体相对滑动，求小物体的加速度；
（2）为使小物体不掉下去，F不能超过多少？
（3）如果拉力F=10N恒定不变，求小物体在木板上运动的时间。
4.5 牛顿运动定律的应用题型归纳答案
题型1 从受力确定运动情况
【例1】（24-25高三上·广东茂名·期中）如图所示，运动员把冰壶沿平直冰面投出，冰壶先在冰面AB段滑行，再进入冰刷刷过的冰面BC段并最终停在点。已知冰壶与AB段、BC段间的动摩擦因数的比值为，冰壶在AB段和BC段滑行所用的时间的比值为，则冰并在AB段和BC段的位移大小的比值为（ ）
A．pq B． C． D．
【答案】D
【解析】设AB段和BC段动摩擦因数分别为、，在AB段和BC段，分别对冰壶列牛顿第二定律得加速度大小分别为
，
将全过程看成两段反向的匀加速直线运动，则在段位移为
在段位移为
又因为
根据题中信息可知
，
各方程联立解得
故选D。
【变式1-1】 （24-25高一上·江苏·月考）无风的时候，一片树叶从距地高5m的地方落下。重力加速度，则树叶（ ）
A．下落的位移 B．下落的加速度
C．落地速度 D．下落的时间
【答案】A
【解析】A．依题意，树叶下落过程受自身重力与空气阻力共同作用，不一定落在正下方的位置，下落的位移。故A正确；
B．根据
可知下落的加速度
故B错误；
C．无阻力时，有
由于阻力的影响，落地速度。故C错误；
D．同理，若无阻力，有
由于阻力的影响，下落的时间。故D错误。
故选A。
【变式1-2】（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，送入货舱前行李箱已做匀速运动。已知行李箱与传送带之间动摩擦因数为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．运输行李时该传送带的倾角必须小于
B．提高传送带的运转速度，传送时间不变
C．匀速阶段行李箱不受摩擦力
D．重的行李箱比轻的行李箱加速阶段用时短些
【答案】A
【解析】A．将行李箱无初速度地放在传送带底端，一开始行李箱向上加速运动，合力方向沿传送带向上，受到的滑动摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，即
可得
可得运输行李时该传送带的倾角必须满足，故A正确；
C．匀速阶段，根据受力平衡可知，行李箱受到静摩擦力作用，大小等于重力沿传送带向下的分力，故C错误；
D．根据牛顿第二定律可得
可得加速度大小为
可知行李箱的加速度与行李箱的质量无关，则重的行李箱与轻的行李箱加速阶段用时相等，故D错误；
B．设传送带提速前的速度为，则行李箱加速阶段所用时间和位移分别为
，
提高传送带的运转速度，由于加速阶段行李箱的加速度不变，则行李箱加速到提速前传送带速度过程所用时间不变，通过的位移不变，但提速后行李箱继续加速运动再匀速运动，则之后的运动过程，提速后所用时间更短，则提高传送带的运转速度，传送时间变短，故B错误。
故选A。
【变式1-3】（多选）（2024·广东汕头·二模）如图所示，球筒中静置着一个羽毛球。小明左手拿着球筒，右手迅速拍打筒的上端，使筒获得向下的初速度并与左手发生相对运动，最后羽毛球（视为质点）从筒口上端出来，已知球筒质量为（不含球的质量），羽毛球质量为，球筒与手之间的滑动摩擦力为，球与筒之间的滑动摩擦力为，球头离筒的上端距离为，重力加速度g取，空气阻力忽略不计，当球筒获得一个向下的初速度后（ ）
A．静置时，羽毛球的摩擦力为
B．拍打球筒后瞬间，羽毛球受到向上的摩擦力
C．拍打球筒后瞬间，羽毛球的加速度为
D．仅拍打一次，羽毛球恰能出来，则筒的初速度为
【答案】CD
【解析】A．静置时，根据平衡条件有
故A错误；
B．拍打球筒后瞬间，球筒相对于羽毛球向下运动，则羽毛球给球筒的摩擦力向上，而根据牛顿第三定律可知，球筒给羽毛球的摩擦力向下，故B错误；
C．拍打球筒后瞬间，对羽毛球由牛顿第二定律有
解得
故C正确；
D．仅拍打一次，羽毛球恰能出来，则羽毛球与球筒恰好达到共速，设球筒的加速度为，筒的初速度为，则对球筒由牛顿第二定律有
解得
球筒做匀减速运动，羽毛球做匀加速运动，有
代入数据解得
故D正确。
故选CD。
【变式1-4】（24-25高二上·北京房山·期中）如图所示，一质量为的物体静止在光滑水平面上，现用的水平恒力使其加速运动。求：
（1）物体的加速度大小。
（2）末物体的速度大小。
（3）内物体通过的位移大小。
【答案】（1） （2）10m/s （3）25m
【解析】（1）由牛顿第二定律可得，物体的加速度大小为
（2）由运动学公式可得末物体的速度大小为
（3）由运动学公式可得内物体通过的位移大小为
【变式1-5】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，一个滑雪场的滑雪赛道由一个斜坡直滑道和水平直滑道组成，斜坡滑道的倾角θ＝37°，斜坡滑道和水平滑道平滑连接。一个滑雪运动员从距离斜坡滑道底部100m处由静止开始下滑，经过斜坡滑道底部后在水平滑道上减速至停止。运动过程中运动员仅受重力、支持力和摩擦力，滑雪板与滑道的动摩擦因数恒为μ＝0.125，不计运动员在斜坡滑道与水平滑道连接处的速率损失，水平滑道足够长，重力加速度，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：（结果可保留根号）
（1）运动员滑到斜坡滑道底部时的速度大小。
（2）运动员在水平滑道上滑行的位移大小。
（3）运动员从开始下滑到停下来经历的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设运动员在斜坡滑道上运动的加速度大小为，运动到斜坡滑道底端的速度为v，有
由题意知运动员在斜坡滑道上运动的位移大小
根据匀变速直线运动规律有
解得
（2）设运动员在水平滑道上的加速度大小为，在水平滑道上滑行的位移大小为，有
由匀变速直线运动规律有
解得
（3）设运动员在斜坡滑道上运动的时间为，有
设运动员在水平滑道上运动的时间为，有
运动员运动的总时间
解得
题型2 从运动情况确定受力
【例2】（23-24高二下·山东青岛·期末）2024年4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。当返回舱距离地面高度为1.2m时，返回舱的速度为8m/s，此时返回舱底部的4台反推发动机同时点火工作，返回舱触地前的瞬间速度降至2m/s，从而实现软着陆。若该过程飞船始终竖直向下做匀减速运动，返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为，重力加速度，则平均每台反推发动机提供的推力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据运动学公式可得
解得加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得均每台反推发动机提供的推力大小为
故选A。
【变式2-1】（多选）（23-24高三上·贵州贵阳·月考）现在大型室外活动通常用无人飞机进行航拍。如图所示，一质量m=4.0kg的无人飞机在操作员的操控下由静止开始竖直向上匀加速运动2s，然后无人飞机又匀速向上运动3 s，接着匀减速向上运动4s速度恰好为零，之后悬停进行航拍。已知无人飞机上升过程中的最大速度为vm=4m/s，受到的空气阻力恒为f=2N，重力加速度大小g=10m/s2，则（ ）
A．无人飞机上升的第一个阶段，受到向上的作用力大小是50 N
B．无人飞机上升的第二个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
C．无人飞机上升的第三个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
D．无人飞机上升的总高度为24m
【答案】AD
【解析】A．无人飞机上升的第一个阶段的加速度
由牛顿第二定律可知
F1-mg-f=ma
代入数据解得
F1=50N
A正确；
B．无人飞机第二个阶段匀速上升
F2=mg+f=42N
B错误；
C．无人飞机第三个阶段减速上升，加速度大小
无人飞机第三个阶段减速上升，根据牛顿第二定律
可得
F3=38N
C错误；
D．无人飞机上升的总高度为
D正确。
故选AD
【变式2-2】（24-25高三上·安徽合肥·月考）又到了周末，合肥一中迎来大量的返校学生。一名学生拉着行李箱在水平地面行走，行李箱的运动可看成在地面上滑行，已知行李箱的质量为，取重力加速度，，。
（1）若该学生用如图甲所示的力拉行李箱匀速行走，已知拉力的方向与水平方向的夹角为，大小为，如果该同学想更省力，求最小拉力；
（2）若行李箱拉杆器件损坏，该同学停下来，改用如图乙所示的力推行李箱匀加速追赶前方的同学，跑了才追上，已知推力的方向与水平方向夹角仍为，求该推力的大小。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）对行李箱受力分析，如图所示
行李箱匀速，则有
又
解得
设与水平方向成时，拉力最小，有
由数学关系可得出，当时
（2）如图所示
行李箱匀加速运动
得出
竖直方向，根据平衡条件
水平方向，由牛顿第二定律
又
解得
【变式2-3】（2024·山东·一模）如图所示，斜面ABC中AB段粗糙，BC段光滑。物块以10m/s的初速度从A点沿斜面向上滑行，到达C点速度恰好为零。已知BC段的长度为2m，物块上滑过程中，在AB段的加速度是BC段加速度的1.5倍，且物块在AB段和BC段运动的时间相等，g取10m/s2，求：
（1）斜面AB段的长度；
（2）物块与斜面AB段间的动摩擦因数。
【答案】（1）7m （2）
【解析】（1）设物体在AB段的加速度大小为，BC段加速度大小为，根据题意有
有
在上滑AB段
在上滑BC段
得
（2）对两段过程，分别由牛顿第二定律有
得
【变式2-4】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）小明通过拉轮胎跑训练体能。如图所示，小明腰部系着轻绳拖着轮胎，已知轮胎的质量为10kg，绳与地面的夹角，轮胎与地面间的动摩擦因数。小明拉着轮胎从静止开始全力奔跑，跑出20m达到最大速度（这一过程可看作匀加速直线运动），然后以最大速度匀速跑到60m终点处，共用时10s。重力加速度，，。求：
（1）小明加速所用的时间；
（2）小明匀加速运动阶段对轮胎的拉力F的大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设最大速度为，匀速阶段所用时间为，根据题意有
，
联立解得
，
（2）小明匀加速运动阶段的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
又
联立解得
题型3 动力学图像问题
【例3】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，物块的质量，初速度大小，在一水平向左的大小恒定的力F作用下从O点沿粗糙的水平面开始向右运动，并从此刻开始计时，某时刻力F突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g取。下列说法正确的是（ ）
A．2s末力F反向 B．2s末到3s末物块做匀减速运动
C．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3 D．力F大小为8N
【答案】C
【解析】AB．由题图乙可知，物块速度减为零时，力F突然反向，由
，
代入题图乙中所给数据，解得
，
则水平向左的力F作用的时间
1s末力F反向，物块开始做匀加速运动。故AB错误；
CD．力F反向前，由牛顿第二定律有
力F反向后，由牛顿第二定律有
其中
解得
，
故C正确；D错误。
故选C。
【变式3-1】（23-24高一上·全国·期末）无线充电宝可通过磁吸力吸附在手机背面，如图甲所示为科创小组某同学手握手机（手不接触充电宝），利用手机软件记录竖直放置的手机及吸附的充电宝从静止开始在竖直方向上的一次变速运动过程（手机与充电宝始终相对静止），记录的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（规定向上为正方向），时刻充电宝速度为零，且最终处于静止状态．已知手机的质量为，无线充电宝质量为，手机与充电宝之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，在该过程中下列说法正确的是（ ）
A．充电宝在与时刻所受的摩擦力方向相反
B．时刻充电宝受的摩擦力大小为
C．充电宝受到的静摩擦力的最大值为
D．充电宝与手机之间的吸引力大小至少为
【答案】D
【解析】A．充电宝在时刻具有向上的加速度，由牛顿第二定律可知，摩擦力方向竖直向上，时刻充电宝具有向下的加速度，而且加速度小于重力加速度，所以摩擦力方向向上，所以充电宝在与时刻所受的摩擦力方向相同，故A错误；
B．时刻由牛顿第二定律可得
由图像可知，解得
故B错误；
C． 时刻充电宝具有向上的最大加速度，充电宝和手机之间的摩擦力最大，此时，由牛顿第二定律有
故 C错误；
D．由摩擦力公式解得充电宝与水机之间的吸引力大小至少为
故D正确。
故选D。
【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江西宜春·月考）用如图所示的装置做课题研究发现：球形物体所受空气阻力的大小f跟运动的速率v有:f∝v2。当气球和重物由静止释放，在一起竖直下落的过程中，其速率v、加速度的大小a和运动的时间t之间的关系图像，下列可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】根据牛顿第二定律
解得
可知加速度与速度的图线关系为开口向下的二次函数关系；因气球和重物由静止释放，则加速度的方向与速度方向都竖直向下，故球形物体做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度为零，最后做匀速直线运动，故图像的斜率逐渐变小。
故选AD。
【变式3-3】（多选）（23-24高一上·陕西西安·月考）放置于固定斜面上的物块，在平行于斜面向上的拉力作用下，沿斜面向上做直线运动。拉力和物块速度随时间变化的图像如图，则（ ）
A．第内物块受到的合外力为
B．物块的质量为
C．斜面倾斜角一定是
D．如果撤去拉力，物块瞬时加速度
【答案】AD
【解析】ABC．由图可得，内物体的加速度为
由牛顿第二定律可得
后有
联立并将，代入解得
第内物块受到的合外力为
由于动摩擦因数未知，斜面倾角无法确定，故无法求出斜面的倾角，故A正确，BC错误；
D．如果撤去拉力，撤去后，物体所受合力为
根据牛顿第二定律有
解得
故D正确。
故选AD。
【变式3-4】 （23-24高一上·新疆省直辖县级单位·月考）如图a所示，一根水平长杆固定不动,一个质量m=1.2kg的小环静止套在杆上，环的直径略大于杆的截面直径,现用斜面向上53°的拉力F作用于小环，将F从零开始逐渐增大，小环静止一段时间后开始被拉动，得到小环的加速度a与拉力F的图象如图b所示，加速度在F达到15N后保持不变。(g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)求：
（1）F=15N时长杆对小球的弹力大小，及小环加速度的大小；
（2）环和长杆的动摩擦因数。
【答案】（1）0，7.5m/s2 （2）μ=0.75
【解析】（1）将F分解到竖直和水平两个方向，F=15N时，分解F可知，F竖直向上的分力大小为
Fsin53°=15×0.8N=12N=mg
所以杆与环间无弹力，杆对小球的弹力大小为0
根据牛顿第二定律得
Fcos53°=ma
解得
a=7.5m/s2
（2）当F超过15N以后，由牛顿第二定律得
Fcos53°－μ(Fsin53°－mg) = ma
因为加速度在F达到15N后保持不变，即a与F无关，所以有
Fcos53° = μFsin53°
解得
μ=0.75
【变式3-5】（23-24高一上·北京西城·期末）质量为2kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的图像如图所示。g取，求：
（1）0~10s和10s~30s内物体运动的加速度大小；
（2）物体与水平面间的动摩擦系数；
（3）水平推力F的大小。
【答案】（1），；（2）0.05；（3）
【解析】（1）图像的斜率表示加速度，由题图可知0~10s和10s~30s内物体运动的加速度大小分别为
（2）撤去F后，由牛顿第二定律可得
解得
（3）撤去F前，由牛顿第二定律可得
解得
F=3N
【变式3-6】（23-24高一上·福建三明·月考）质量为1kg的物块（可视为质点）静止于粗糙水平面上，现对其施加一随时间做周期性变化的水平拉力F，F随时间的变化规律如图甲所示，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块在4s时的速度；
（2）若先将物块固定，从1s末才放物块。求物块在1s至8s过程的位移。
【答案】（1）；（2）1m
【解析】（1）物块做匀加速直线运动，加速度大小为
物块做匀减速直线运动，加速度大小为
根据运动过程画出图像
可知物块在4s时的速度为0。
（2）若先将物块固定，从1s末才放物块，画出对应的图像
根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知物块在1s至8s过程的位移为
题型4 绳、弹簧类问题
【例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）如图，绕过光滑定滑轮的绳子将物体A和B相连，绳子与桌面平行，物体A恰好不滑动。已知物体A的质量大于物体B的质量，A和B与桌面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，不计滑轮和绳子质量。现将A和B互换位置，绳子仍保持与桌面平行，则（ ）
A．绳子的拉力大小为 B．绳子的拉力大小为
C．物体与桌面间的动摩擦因数为 D．物体A和B的加速度大小为
【答案】A
【解析】C．如图所示物体A恰好不滑动，则
解得
故C错误；
ABD．A和B互换位置后，设绳子的拉力大小为F，物体A和B的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
，
解得
，
故A正确，BD错误。
故选A。
【变式4-1】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）如图，质量为的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则下列说法不正确的是（ ）
A．车厢的加速度为
B．绳对物体1的拉力为
C．物体2所受底板的摩擦力为
D．底板对物体2的支持力为
【答案】D
【解析】AB．以物体1为研究对象，重力和拉力T，根据牛顿第二定律得
得
则车厢的加速度也为。对1的拉力为
故AB正确；
CD．对物体2研究，根据牛顿第二定律得
竖直方向，根据平衡条件可得
故C正确，D错误。
本题选不正确项，故选D。
【变式4-2】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）如图所示，物体A质量为2kg，物体B重0.5kg，不计一切摩擦和绳的重力，g取10m/s2。当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为（ ）
A．6m/s2，8N B．10m/s2，8N
C．8m/s2，6N D．6m/s2，9N
【答案】A
【解析】分别对A、B，由牛顿第二定律得
解得
故选A。
【变式4-3】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，在竖直放置的弹簧上放置一物块m，最开始对m施加竖直向下的力F使得弹簧压缩。在时撤去F释放小物块，计算机通过小物块上的速度传感器描绘出它的图线如图乙所示。其中段为曲线，bc段为直线，倾斜直线Od是时图线的切线。重力加速度为g，不计弹簧自身重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧在时刻恢复原长 B．
C．弹簧的劲度系数 D．小物块向上的最大位移为
【答案】D
【解析】A．v-t图像的斜率表示物体的加速度，当弹簧在时刻时，物块的加速度为零，所以弹簧的弹力与重力相等，故A错误；
B．若物块做匀变速直线运动时
但撤去F后物块做加速度减小的变速运动，匀变速直线运动的位移公式不再适用，故B错误；
C．在时物块的加速度为
根据牛顿第二定律
解得
故C错误；
D．在t3时刻之后物块做匀变速直线运动，所以t3时刻物块离开了弹簧，离开弹簧后物块上升的最大高度为
所以小物块向上的最大位移为
故D正确。
故选D。
【变式4-4】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1kg的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做匀加速直线运动，外力F与物体离开静止位置的位移x的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的加速度大小为
B．弹簧开始时形变量为4cm
C．弹簧的劲度系数为200N/m
D．从物体开始运动时计时，当时弹簧的形变量为3cm
【答案】CD
【解析】A．物体从静止开始运动时重力与弹簧弹力平衡，从题图乙读出外力从开始变化，则开始运动时合力为
根据牛顿第二定律有
解得物体运动的加速度为
故A错误；
BC．假设开始时弹簧形变量为，此时弹簧弹力
根据胡克定律可得
当时，根据牛顿第二定律有
解得
从题图乙读出此时的位移为4cm，则根据胡克定律可得
解得
故B错误，C正确；
D．物体做初速度为0的匀加速直线运动，当时位移为
则此时弹簧的形变量为
故D正确。
故选CD。
【变式4-5】（24-25高一上·全国·单元测试）如图甲所示，一轻弹簧左端固定，右端接触滑块，利用滑块将弹簧压缩0.4m后锁定，时刻解除锁定释放滑块。借助计算机和速度传感器描绘出滑块的图线，如图乙所示，其中段图线为曲线，bc段图线为直线，倾斜直线Od是图线的切线。已知滑块的质量，取。则滑块与地面间的动摩擦因数是 ；弹簧的劲度系数为 N/m。
【答案】0.5 350
【解析】[1]bc段图线为直线，表示滑块已经离开弹簧，滑块做匀减速直线运动，其加速度大小
根据牛顿第二定律得
解得滑块与地面间的动摩擦因数
[2]根据图像中切线的物理意义，可知滑块开始运动时的加速度大小
根据牛顿第二定律得
其中弹簧压缩量
解得弹簧的劲度系数
题型5 斜面模型
【例5】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）一质量为m的物块恰好能沿倾角为30°的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力F，F与水平方向的夹角为α，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若α=0°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若α=60°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若α=90°，物块将不能沿斜面匀速下滑
D．若F推着物块沿斜面匀速上滑，则斜面对地面的静摩擦力水平向左
【答案】B
【解析】AB．物块在沿斜面匀速下滑，根据平衡条件有
，
解得
物块匀速下滑过程中，整体水平方向受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；若α=0°，对物块施加一个水平方向的力，物块下滑过程中对摩擦力和斜面压力成比例增加，即物块对斜面的作用力方向没有变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；若α=60°，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对斜面的压力增加F、摩擦力增加μF，如图所示
根据几何关系可知
故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩擦力为零，在竖直平面内给物块一任意方向的外力F，此力F可以分解为垂直于斜面方向的力和沿斜面方向的力，而这两个分力对斜面的摩擦力均为零，所以无论施加什么方向的力，在B停止运动前，地面对斜面的摩擦力为零，物块仍沿斜面匀速下滑，故A错误，B正确；
C．若α=90°，对物块进行分析有
物块受到沿斜面向上的滑动摩擦力为
结合上述解得
可知，物块沿斜面的合力为0，物块仍然沿斜面向下做匀速直线运动，故C错误；
D．若F推着物块沿斜面匀速上滑，则物块受到沿斜面向下的滑动摩擦力，则斜面对物块的支持力与摩擦力的合力，即斜面对物块的作用力方向整体向左，根据牛顿第三定律可知，物块对斜面的压力与摩擦力的合力，即物块对斜面的作用力方向整体向右，斜面在水平方向相对于地面有向右运动的趋势，地面对斜面静摩擦力方向水平向左，根据牛顿第三定律可知，斜面对地面的静摩擦力水平向右，故D错误。
故选B。
【变式5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示的小木块在倾角为的固定斜面上由静止开始加速下滑，时间t内运动的距离为s，下列说法正确的是（ ）
A．小木块与斜面间的动摩擦因数为
B．小木块运动距离s后的速度大小为
C．s大小不变，越小，时间t越长
D．越小，小木块对斜面的压力越小
【答案】C
【解析】A．小木块在倾角为的固定斜面上由静止开始加速下滑，根据牛顿第二定律
可得
即动摩擦因数
故A错误；
B．时间t内运动的距离为s，有
则小木块运动距离s后的速度大小为
故B错误；
C． s大小不变，越小，则加速度a越小，根据运动学公式
可知越小，时间t越长，故C正确；
D．对小木块受力分析，得
越小，越大，则小木块对斜面的压力越大，故D错误。
故选C。
【变式5-2】（多选）（24-25高三上·河南·月考）如图甲所示，倾角、底端带有固定挡板的足够长的斜面体置于水平面上，斜面光滑，劲度系数的轻质弹簧，一端固定在斜面体底端挡板上，另一端与小物块A相连，小物块B紧靠着A一起静止在斜面上。现用水平向左的推力使斜面体向左以加速度a做匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x，如图乙所示为弹簧形变量x与相应加速度a间的关系图像，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度，，。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中
B．物块A的质量
C．物块B的质量
D．当时，斜面体对物块B的支持力与a的关系式为
【答案】ABD
【解析】A．根据图乙可知，加速度为时， 弹簧形变量x为0，即此时弹簧处于原长，对A、B整体分析有
解得
故A正确；
BC．根据图乙，加速度为0时，弹簧压缩量为
A、B处于静止状态，对A、B整体分析有
根据图乙可知，加速度大于时，弹簧处于拉伸状态，此时A、B分离，对A进行分析有
，
解得
结合图乙有
结合上述解得
，
故B正确，C错误；
D．结合上述可知，当时，A、B分离，B与斜面在垂直于斜面方向的分加速度相等，对B进行分析，则垂直于斜面方向上，根据牛顿第二定律有
结合上述解得
故D正确。
故选ABD。
【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·月考）如图所示，一固定斜面倾角为θ，在斜面顶端放置一质量为m小物体，小物体恰好能沿斜面匀速下滑，已知重力加速度为g。则：
（1）求小物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）若施加沿斜面向上的恒力拉该小物体，小物体恰好能沿斜面向上做匀速直线运动，求该恒力的大小；
（3）若施加（2）沿斜面向下的恒力大小拉该小物体，求小物体的加速度大小。
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）小物体沿斜面匀速下滑，重力沿斜面向下的分力与滑动摩擦力平衡
解得
（2）若施加沿斜面向上的恒力拉该小物体，小物体恰好能沿斜面向上做匀速直线运动，则滑动摩擦力沿斜面向下，故沿斜面方向的平衡方程为
解得
（3）若施加（2）沿斜面向下的恒力大小拉该小物体，沿斜面方向应用牛顿第二定律可得
解得
【变式5-4】（24-25高一上·全国·课后作业）一足够长的斜面固定在水平地面上，斜面倾角，斜面分为粗糙程度不同的段和段。段长22.5m，与物体间的动摩擦因数为，段足够长，与物体间的动摩擦因数为，，重力加速度。质量的物体恰好能在斜面的段匀速下滑。
（1）求斜面段的动摩擦因数；
（2）如图所示，如果给物体一个方向沿斜面向上的拉力，使物体从点由静止开始运动，运动到点时立即撤去拉力，求物体再次回到点时的速度。
【答案】（1） （2），方向沿斜面向下
【解析】（1）由题可知，物体恰好能在斜面的段匀速下滑，有
解得
（2）物体在段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
根据运动学规律可得，解得物体运动到点时速度大小
此后撤去拉力，物体先在段向上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
其中
向上运动位移为
之后向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
则物体再次回到点的速度大小为
方向沿斜面向下
题型6 等时圆模型
【例6】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，Oa、Ob是竖直平面内两根固定的光滑细杆，O、a、b、c位于同一圆周上，Ob过圆心，c为圆周的最高点，a为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环都从O点无初速度释放，用、分别表示滑环从O点到达a、b两点所用的时间，另有一个小球从c点由静止自由下落到a点所用的时间为。则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆周的半径为，与水平方向的夹角为，则沿下滑的加速度大小为
根据运动学公式可得
联立解得
与水平方向的夹角为，则沿下滑的加速度大小为
根据运动学公式可得
联立解得
一个小球从c点由静止自由下落到a点所用的时间为
则有
故选A。
【变式6-1】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）如图所示，AQ为圆的竖直直径，沿AQ、BQ、CQ固定三个光滑杆，现让三个小环（可以看作质点）套在杆上，并分别沿着AQ、BQ、CQ杆自顶端由静止开始下滑到Q点，下滑所用时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设斜面的倾角为，圆的直径为，根据牛顿第二定律可得小环下滑的加速度为
斜面的长度为
根据动力学公式
小环下滑所用时间为
则
由于
根据平均速度公式
可得
故选D。
【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD三点，其中轻杆AC与斜面垂直，，把可看成质点的质量为m的圆环依次沿三根轻杆从A点由静止滑下，滑到斜面过程中的平均速度分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因AB垂直于斜面底边，以AB为直径做圆，则必过C点，如图
圆环在杆AC上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得
联立解得
即从A点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得
由平均速度
又因为
可得
圆环从A到C的平均速度
圆环从A到D的过程有
则平均速度
则可得
综上可得
故选B。
【变式6-3】（22-23高一上·山东临沂·期末）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（ ）
A．<<
B．=<
C．>=
D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
【答案】C
【解析】对于BM段，位移
加速度
根据得
对于AM段，位移
加速度
由得
对于CM段，设CM与竖直方向夹角为θ，同理可解得
即，故选C。
【变式6-4】（22-23高一下·广东东莞·开学考试）如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
【答案】C
【解析】设杆AB长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为 m，对圆环a，根据牛顿第二定律可得
mgsinθ=ma
可得
a=gsinθ
由运动学公式可得
由几何关系可知
l= 2Rsinθ
解得
则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d的下滑时间同为
故选C。
【变式6-5】（23-24高三上·山东德州·月考）如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对物块沿A板或D板运动到a点过程进行分析，设最低点a到竖直直线的距离为x，斜板与水平方向的夹角为θ，则斜板长为
根据牛顿第二定律可得物块的加速度为
根据运动学公式可得
解得
由于A板与D板最低点交于一点a（d），则x相等，且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60°，则与水平方向的夹角为60°和30°，则sin2θ相等，所以有
tA=tD
根据等时圆原理可知
tD＞tB＞tC
故有
tA=tD＞tB＞tC
故选C。
题型7 连接体模型
【例7】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）在水平桌面上，并排放置5个相同的木块，水平的推力F作用在第一个木块上使5个木块一起向右加速，则木块之间弹力的比例从左向右依次为（ ）
A．1∶1∶1∶1（水平桌面光滑）
B．4∶3∶2∶1（水平桌面光滑）
C．1∶1∶1∶1（水平桌面粗糙程度相同）
D．4∶3∶2∶1（水平桌面粗糙程度相同）
【答案】BD
【解析】AB．若水平桌面光滑，先整体分析，根据牛顿第二定律得
把右面的4个木块作为一个整体，设2受到1的弹力为，根据牛顿第二定律得
把最右面的3个木块作为一个整体，设3受到2的弹力为，根据牛顿第二定律得
依次类推，可以得到弹力之比依次为，故A错误，B正确；
CD．若水平桌面粗糙程度相同，设每个木块与水平桌面间的摩擦力为，先整体分析，根据牛顿第二定律得
把右面的4个木块作为一个整体，设2受到1的弹力为，由牛顿第二定律得
解得
把最右面的3个木块作为一个整体，设3受到2的弹力为，根据牛顿第二定律得
解得
依次类推，可以得到弹力之比依次为，故C错误，D正确。
故选BD。
【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，质量为m的小球a和质量为2m的小球b用轻弹簧A、B连接并悬挂在天花板上保持静止，水平力F作用在a上使a缓慢移动，当B与竖直方向夹角为60°时，A、B伸长量刚好相同。若A、B的劲度系数分别为、，重力加速度g。则以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．撤去F的瞬间，b球的加速度大小等于重力加速度g
D．撤去F的瞬间，a球的加速度大小等于重力加速度g
【答案】A
【解析】AB．先对b球受力分析，受重力和弹簧A的拉力，根据平衡条件，有弹簧A的拉力
再对a、b球整体受力分析，受重力、水平力F和弹簧B的拉力，根据平衡条件，有弹簧B的拉力
根据胡克定律，有
得
A正确，B错误；
C．球b受重力和弹簧A的拉力，撤去F的瞬间，重力和弹簧A的拉力都不变，加速度仍然为零，处于平衡状态，C错误；
D．球a原来受重力、水平力F和两个弹簧的拉力，撤去F瞬间，其余3个力不变，合外力与原来的F大小相等，方向相反，a球加速度为
D错误。
故选A。
【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示，水平面上有一质量为2m的物体A，左端用跨过光滑定滑轮的细线连接着物体B，物体B、C的质量均为m，用轻弹簧相连放置在倾角为θ的斜面上，不计一切摩擦。开始时，物体A受到水平向右的恒力F的作用而保持静止，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．在细线被烧断的瞬间，A的加速度大小为2gsinθ
B．在细线被烧断的瞬间，B的加速度大小为0
C．剪断弹簧的瞬间，细线上的拉力大小瞬间突变为
D．突然撤去外力F的瞬间，A的加速度大小为
【答案】CD
【解析】A．对物体A受力分析，水平方向受到拉力F和细线的拉力T，根据平衡条件可知
在细线被烧断的瞬间，细线对物体A的拉力T变为零，由牛顿第二定律得，物体A的加速度
故A错误；
B．在细线被烧断前，对C受力分析，由平衡条件得，弹簧对物体C的弹力
在细线被烧断的瞬间，细线对物体B的拉力变为零，对物体B，由牛顿第二定律得
则物体B的加速度
故B错误；
C．剪断弹簧的瞬间，弹簧的弹力突变为0，所以A、B成为连接体，加速度应为
对物体B
解得
即细线上的拉力大小瞬间突变为，故C正确；
D．撤去F的瞬间，细线拉力会突变，A和B的加速度相等，对物体A、B整体，由牛顿第二定律得
则物体A的加速度
故D正确。
故选CD。
【变式7-3】（多选）（2025·四川德阳·一模）如图A、B两物体叠放在光滑水平桌面上，轻质细绳一端连接B，另一端绕过定滑轮连接C物体，已知A和C的质量都是1 kg，B的质量是2 kg，A、B间的动摩擦因数是0.3，其它摩擦不计。由静止释放C，C下落一定高度的过程中（C未落地，B未撞到滑轮，g=10m/s2）。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两物体没有发生相对滑动
B．A物体受到的摩擦力大小为3N
C．细绳的拉力大小等于10 N
D．B物体的加速度大小是2.5 m/s2
【答案】AD
【解析】ABD．假设A、B不发生相对滑动，整体的加速度为
隔离对A分析
NN
可知假设成立，即A、B两物体不发生相对滑动，A所受的摩擦力为2.5N，加速度为，故B错误，AD正确；
C．隔离对C分析，根据牛顿第二定律得
解得
N
故C错误。
故选AD。
【变式7-4】（23-24高一上·天津·期末）如图所示，固定斜面上放一木板PQ，木板的Q端放置一可视为质点的小物块，现用轻细线的一端连接木板的Q端，保持与斜面平行，绕过定滑轮后，另一端可悬挂钩码，钩码距离地面足够高。已知斜面倾角θ=30°，木板长为L，Q端距斜面顶端距离也为L，物块和木板的质量均为m，两者之间的动摩擦因数为。若所挂钩码质量为2m，物块和木板恰能一起匀速上滑；若所挂钩码质量为其他不同值，物块和木板有可能发生相对滑动。重力加速度为g，不计细线与滑轮之间的摩擦，设接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）木板与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块和木板不发生相对滑动时，所挂钩码质量不能超过多大？
（3）选取适当质量的钩码可使木板由静止开始向上滑动，试讨论木板Q端到达斜面顶端所用时间t和钩码质量之间的关系。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）整个系统匀速时有
2mg=FT
FT=2mgsinθ＋μ22mgcosθ
解得
（2）要使二者发生不相对滑动，保证木板的加速度a1不大于物块的加速度a2，对物块有
μ1mgcosθ－mgsinθ=ma2
可得
对木块有
F′T－mgsinθ－μ1mgcosθ－μ22mgcosθ=ma1
对钩码有
m′g－F′T=m′a1
解得
联立解得
即物块和木板不发生相对滑动时，所挂钩码质量不能超过。
（3）若，二者相对滑动，木板的位移
物块的位移
由于L－s若，物块和木板和钩码整体一起加速运动，有
m′g－2mgsinθ－μ22mgcosθ=（2m+m′）a3
解得
所以有
题型8 传送带模型
【例8】（24-25高一上·江苏苏州·期中）传送带是现代生活中应用比较广泛的装置，如图所示。相同的物体由静止被轻轻放在水平匀速转动的传送带左端，到达最右端前物体与传送带已达到相对静止。下列说法正确的是（ ）
A．物体在传送带上受到竖直向上的弹力是由物体向下形变产生的
B．物体放上传送带时，传送带受到物体水平向右的摩擦力
C．物体在传送带上先受到滑动摩擦力，后受到静摩擦力
D．如果只增大传送带的转速，物体受到的摩擦力大小不变
【答案】D
【解析】A．物体在传送带上受到竖直向上的弹力是由传送带向下形变产生的，故A错误；
BC．物体放上传送带时，物体的速度小于传送带速度，传送带受到物体水平向左的摩擦力，而物体受到向右的滑动摩擦力，做匀加速直线运动；过一段时间物体与传送带相对静止，一起做匀速直线运动，受到的摩擦力为零，故BC错误；
D．如果只增大传送带的转速，物体受到的摩擦力仍为滑动摩擦力，物体与传送带间的摩擦因数不变，压力不变，根据
可知物体受到的摩擦力大小不变，故D正确。
故选D。
【变式8-1】（24-25高一上·天津南开·开学考试）如图所示，传送带的速度恒为，转轮A和B的大小不计，（即传送带的总长度为2.4m）。某偷油老鼠跳到A点，并以相对传送带0.3m/s的速度向B点爬去，到达B点后立即回头仍以相对传送带0.3m/s的速度返回A点。回到A点后，该老鼠将再次向B点爬去，到达B点后再次返回……如此反复下去，且老鼠相对传送带的速度始终为0.3m/s。老鼠在A、B两端点速度转向所需的时间不计，从该老鼠由A点出发时开始计时，经过多长时间，传送带上将都会被老鼠身上的油渍污染（ ）
A．16s B．17s C．18s D．19s
【答案】B
【解析】从A到B，老鼠相对A、B两点的速度为
到达B点所用的时间为
s
这时被污染是B点左侧0.9m的部分；
老鼠开始回到A，从B到A，老鼠相对A、B两点的速度为
第一次回到A时用时
s
这时被污染的是上方的A段及下方B点左侧0.6m的部分；
老鼠又去B点，第二次到达B点时经过的都是被污染的部分，用时
s
被污染的变成上下都是B点左侧0.9m处；
老鼠开始回A，距最后需污染的传送带上那一点距离
2.4m 0.9m=1.5m
相对于带的速度为0.3m/s，故又经过
s=5s
总用时为
s
故选B。
【变式8-2】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，足够长的传送带与水平面夹角，以的恒定速率逆时针转动。小砖块以的初速度沿传送带方向从传送带底端滑上传送带，其与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．砖块刚滑上传送带时的加速度大小为25
B．砖块在传送带上向上滑行的最远距离为3m
C．若增大为7，砖块返回出发点时间变长
D．若增大为7，砖块在传送带上留下的痕迹变长
【答案】D
【解析】A．砖块刚滑上传送带时，受到的滑动摩擦力沿传送带向下，根据牛顿第二定律可得
解得
故A错误；
B．砖块在传送带上向上滑行的最远距离为
故B错误；
C．在的情况下，砖块到达最高点后，继续以相同的加速度向下加速运动到与传送带共速，由于
砖块与传送带共速后一起做匀速运动回到出发点，上滑时间为
向下加速到与传送带共速所用时间和加速阶段的位移分别为
，
则匀速阶段时间为
则总时间
当时
当时
故C错误；
D．情况下，在砖块与传送带共速前，砖块一直相对于传送带向上运动，砖块在传送带上留下的痕迹长度为
则增大为7时，砖块在传送带上留下的痕迹变长，故D正确。
故选D。
【变式8-3】（24-25高一上·四川广元·月考）如图，传送带始终保持v = 0.4 m/s的恒定速率运行，煤块与传送带之间的动摩擦因数μ = 0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。将一煤块（可视为质点）无初速度地放在A处，则下列说法正确的是（ ）
A．煤块一直做匀加速直线运动
B．煤块经过2 s到达B处
C．煤块到达B处时速度大小为0.4 m/s
D．煤块在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
【答案】C
【解析】AC．开始时煤块初速度为零，相对传送带向右滑动，设煤块刚开始时的加速度为a，煤块从放上传送带到与传送带共速过程中的位移为x1，由牛顿第二定律和运动学公式得
解得
，
由于x1 < LAB = 2 m，所以煤块是先做初速度为0的匀加速直线运动，与传送带共速后，做匀速直线运动，故煤块到达B处时速度大小为0.4 m/s，故A错误，C正确；
B．设煤块在传送带上做加速运动的时间为t1，做匀速运动的时间为t2，则
煤块到达B处所用时间
解得
，，
故B错误；
D．煤块在传送带上留下的摩擦痕迹长度为
故D错误。
故选C。
【变式8-4】（多选）（23-24高一上·湖北荆州·期末）传送带在社会生活生产中有着广泛的应用，一长的水平白色传动带顺时针匀速运行，如图1所示．现将一可视为质点的墨块自传送带的左端由静止释放，经墨块被送达传送带的右端，其速度－时间图像如图2所示，重力加速度g取．则下列判断正确的是（ ）
A．传动带的运行速度大小为
B．墨块在传送带上留下的黑色痕迹在墨块的左侧
C．墨块相对传送带滑动而留下黑色痕迹的长度为
D．若增大传送带的运行速度，墨块的传送时间最短可达
【答案】AC
【解析】A．根据图像可知，墨块先加速达到传送带速度与其一起匀速，所以传动带的运行速度大小为2m/s，故A正确；
B．由于墨块刚放到传送带上至与传送带共速时间内速度小于传送带的速度，传送带相对墨块向右运动，划痕也出现在墨块的右侧，故B错误；
C．根据题意，设加速时间为t，则
解得
所以加速阶段加速度
物块相对传送带滑动而留下痕迹的长度为
故C正确；
D．若增大传送带的运行速度，由于墨块与传送带间的摩擦力不变，可知加速度
则物体一直加速时间最短，有
代入数据解得
故D错误。
故选AC。
题型9 滑块─木板模型
【例9】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）如图甲所示，在粗糙的水平地面上有一长木板B，在其上叠放着木块A，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用一水平力F作用于B，A、B的加速度与F的关系如图乙所示，，则下列说法中正确的是（ ）
A．木板B与地面间的最大静摩擦力为N B．物体A、B的总质量为
C．A、B间的动摩擦因数为 D．长木板B与地面间动摩擦因数为
【答案】B
【解析】A．由图可知，、二者开始时对地静止，当拉力为时开始AB一起运动，故B与地面间的最大静摩擦力为
A错误；
C．当拉力为时，、发生相对滑动，此时的加速度为
当拉力为13N时，的加速度为
相对于滑动时，由牛顿第二定律，对有
联立解得AB之间的动摩擦因数为
C错误
B．对于，根据牛顿第二定律有
对整体有
联立解得
物体、的总质量为，B正确；
D．由乙图可知
解得与地面间的动摩擦因数为
D错误。
故选B。
【变式9-1】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，光滑斜面上有固定挡板A，斜面上叠放着物块B和木板C，木板C下端位于挡板A处，整体处于静止状态。木板C受到逐渐增大的沿斜面向上的拉力F作用时，木板C的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，则由图像可知（ ）
A．时，物块B和木板C发生相对滑动
B．斜面倾角等于
C．木板C的质量为2kg
D．木板C和物块B两者间的动摩擦因数为
【答案】D
【解析】A．由题图乙可知，当时木板C的加速度增大趋势变大，可知此时物块B和木板C发生了相对滑动，故当时物块B和木板C相对静止，故A错误；
BC．对木板C和物块B的整体分析，结合上述，当时有
则有
当时有
则有
联立可得
，
但是不能求解物块B和木板C各自的质量，故BC错误；
D．根据图乙可知，当时有
此时物块B和木板C开始发生相对滑动，此时物块B和木板C之间的摩擦力达到最大，则对物块B有
联立方程解得
故D正确。
故选D。
【变式9-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）如图，一长木板静止在水平地面上，一物块叠放在长木板上，整个系统处于静止状态，长木板的质量为，物块的质量为，物块与长木板间的动摩擦因数为，长木板与地面之间的动摩擦因数为，对长木板施加一个水平向右的拉力，拉力，作用后将力撤去，之后长木板和物块继续运动，最终物块没有从长木板上掉下来。物块可看作质点，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取 ，求∶
（1）刚开始运动时物块与长木板的加速度大小分别为多大；
（2）撤去拉力后，和运动的时间分别为多少；
（3）长木板的最短长度。
【答案】（1）， （2）1.1s，0.5s （3）0.6m
【解析】（1）假设物块与长木板一起运动，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
当物块与长木板之间相对滑动时，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
由于，则物块与长木板之间发生相对滑动。以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
（2）作用时间s过程中，物块做匀加速直线运动，物块速度的大小为
长木板做匀加速直线运动，长木板速度的大小为
撤去拉力时长木板的速度大于物块速度，则撤去拉力之后物块与长木板之间继续发生相对滑动，设再经二者共速，物块继续做匀加速运动，加速度为
长木板做匀减速直线运动，以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
设经过时间物块与长木板达到共同速度v，根据运动学公式
解得
s，
当两者速度相等之后，假设物块与长木板一起运动，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
此时物块与长木板之间的摩擦力为
N
物块与长木板之间的最大静摩擦力为
N
由于，则物块与长木板两者速度相等之后不会一起做减速运动，物块相对于长木板向前滑动，物块的加速度
停止的时间
s
物块运动的时间为
以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
停止的时间
长木板运动的时间为
（3）作用s时间过程中，物块的位移
m
长木板的位移
m
撤去拉力后0.1s，此过程中物块的位移为
m
长木板的位移
m
在s和s时间内物块相对于长木板向左滑动的距离为
m
当两者速度相等之后，物块减速过程运动位移为
长木板减速过程运动位移为
m
此过程中物块相对于长木板向前滑动的位移为
m
则，则长木板的最小长度为
m
【变式9-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）如图甲所示，粗糙水平地面上有一质量M=6kg的足够长木板B，将一质量m=2kg的小物块A（视为质点）轻放在木板B的右端，从t=0时刻起对B施加一水平向右的水平恒力F，经过t=4s后撤去恒力F，用传感器测得A、B的速度-时间图像如图乙所示，取g=10m/s2。求：
（1）A、B间的动摩擦因数μ1；
（2）B与地面间的动摩擦因数μ2，恒力F的大小；
（3）A、B均停止运动后A到B右端的距离L。
【答案】（1）0.1；（2）0.35；45N；（3）5.38m
【解析】（1）物块A在B上做加速运动，加速度为
根据
可得
μ1=0.1
（2）力F作用于木板B时的加速度
由牛顿第二定律
撤去F后木板B的加速度大小
由牛顿第二定律
联立解得
μ2=0.35
F=45N
（3）由图像可知5s时AB速度相等v=5m/s，此时A相对B向后的位移，即A距离B右端的距离为
AB速度相等以后，A做减速运动，加速度为；B减速运动的加速度
速度减为零时的位移
A速度减为零时的位移
A、B均停止运动后A到B右端的距离
题型10 物体的临界、极值问题
【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）如图甲所示，水平面上有一倾角为的光滑斜面，斜面上用一平行于斜面的轻质细绳系质量为的小球。当斜面以水平向右的加速度做匀加速直线运动，系统稳定时细绳上的张力随加速度的变化图像如图乙所示，段是直线，点坐标为，g取，，，则（ ）
A．
B．
C．当时小球恰好离开斜面
D．小球离开斜面之前，受到的支持力
【答案】C
【解析】ABC．段为直线，时，有
点表示此时小球恰好离开斜面，有
联立解得
，
则
AB错误，C正确；
D．小球离开斜面之前，对小球受力分析可得
，
解得
代入数据有
D错误。
故选C。
【变式10-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）如图所示，4块完全相同的质量均为m的长木板叠放在水平粗糙木地板上。一根不可伸长的水平轻绳将最上方的木板与左方竖直墙连接在一起，细绳处于恰好伸直但无拉力的状态。已知所有接触面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，本题中任意一个接触面间的最大静摩擦力都等于该接触面间的滑动摩擦力。现在对最下面的木板施加一个水平向右的、缓慢增加的拉力F。为了使最下面的木板运动起来，求F至少需要增加到多大（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从上向下看，第一、二块木板间的最大静摩擦力最小，第二、三木板间的最大静摩擦力为，第三、四木板间的最大静摩擦力为，因此第一、二木板最先出现相对运动。当F缓慢增大至下的木板相对静止的向右运动时，对下面三块木板整体分析，受到第一块木板对其水平向左的滑动摩擦力和地面对整体向左的滑动摩擦力，因此F至少需要增加到。
故选B。
【变式10-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）如图所示，质量为的物块放在水平桌面上，桌面的左端固定一光滑定滑轮，轻绳绕过定滑轮，一端连接在物块上，另一端吊着质量为的小球，物块与滑轮间的轻绳水平。由静止释放物块，当小球的质量为时，物块由静止开始在水平桌面上运动所用的时间为。已知重力加速度g取，不计空气阻力，物块与水平桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．若小球的质量增大，则轻绳的拉力也增大，但不可能超过
B．若小球的质量增大，轻绳的拉力也增大，但不可能超过
C．要使物块能运动，小球的质量至少大于
D．要使物块能运动，小球的质量至少大于
【答案】B
【解析】CD．根据运动学公式有
式中
，
代入解得
由牛顿第二定律有
解得
设当小球的质量为时小球和物块一起做匀速直线运动，则有
解得
而由静止释放时要使小球和物块组成的连接体运动，则小球的质量至少大于，故CD错误；
AB．设绳上的拉力为，对小球和物块分别由牛顿第二定律有
，
联立可得
可知，若小球的质量增大，轻绳的拉力也增大，但不可能超过，故A错误，B正确。
故选B。
【变式10-3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）如图所示，在水平面上固定放置一个倾角为的光滑斜面；一物块以的初速度从斜面底端滑上斜面，恰好能到达斜面顶端。g取。
（1）求斜面的长度L；
（2）在斜面上设置一个长度为的摩擦区，物块与摩擦区之间的动摩擦因数，要使木块在上滑过程中不滑出摩擦区，求摩擦区下边界到斜面底端的最小距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由物块的受力可知，物块运动的加速度为
根据速度位移公式可知
（2）当物块在上滑过程中恰好不滑出摩擦区时，摩擦区下边界到斜面底端距离最小，设最小距离为，到达摩擦区上边界时的速度恰好为零，则
代入数据解得摩擦区下边界到斜面底端的最小距离为
【变式10-4】（20-21高一上·陕西渭南·期末）如图所示，光滑水平面上静止放着长L=0.16m，质量为M=3kg的木板，一个质量为m=1kg的小物体（可视为质点）放在木板的最右端，m和M之间的动摩擦因数μ=0.1，现对木板施加一水平向右的拉力F。（g取）
（1）若木板与小物体相对滑动，求小物体的加速度；
（2）为使小物体不掉下去，F不能超过多少？
（3）如果拉力F=10N恒定不变，求小物体在木板上运动的时间。
【答案】（1），加速度方向水平向右；（2）；（3）
【解析】（1）小物体受到的滑动摩擦力提供加速度，根据牛顿第二定律可得
解得
且加速度方向水平向右。
（2）以小物体和木板为研究对象，根据牛顿第二定律
F=(M＋m)a
小物体刚要滑动时有最大静摩擦力提供加速度，即
mg=ma
联立并代入数据解得
F=(M＋m)a=(3＋1)×1N=4N
故F不能超过4N。
（3）刚开始时，当时，小物体相对于木板滑动，对木板根据牛顿第二定律
代入数据解得木板的加速度
经过时间t时小物体将会从木板上掉落，根据位移—时间关系可得
解得
题型1 从受力确定运动情况
【例1】（24-25高三上·广东茂名·期中）如图所示，运动员把冰壶沿平直冰面投出，冰壶先在冰面AB段滑行，再进入冰刷刷过的冰面BC段并最终停在点。已知冰壶与AB段、BC段间的动摩擦因数的比值为，冰壶在AB段和BC段滑行所用的时间的比值为，则冰并在AB段和BC段的位移大小的比值为（ ）
A．pq B． C． D．
【变式1-1】 （24-25高一上·江苏·月考）无风的时候，一片树叶从距地高5m的地方落下。重力加速度，则树叶（ ）
A．下落的位移 B．下落的加速度
C．落地速度 D．下落的时间
【变式1-2】（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，送入货舱前行李箱已做匀速运动。已知行李箱与传送带之间动摩擦因数为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．运输行李时该传送带的倾角必须小于
B．提高传送带的运转速度，传送时间不变
C．匀速阶段行李箱不受摩擦力
D．重的行李箱比轻的行李箱加速阶段用时短些
【变式1-3】（多选）（2024·广东汕头·二模）如图所示，球筒中静置着一个羽毛球。小明左手拿着球筒，右手迅速拍打筒的上端，使筒获得向下的初速度并与左手发生相对运动，最后羽毛球（视为质点）从筒口上端出来，已知球筒质量为（不含球的质量），羽毛球质量为，球筒与手之间的滑动摩擦力为，球与筒之间的滑动摩擦力为，球头离筒的上端距离为，重力加速度g取，空气阻力忽略不计，当球筒获得一个向下的初速度后（ ）
A．静置时，羽毛球的摩擦力为
B．拍打球筒后瞬间，羽毛球受到向上的摩擦力
C．拍打球筒后瞬间，羽毛球的加速度为
D．仅拍打一次，羽毛球恰能出来，则筒的初速度为
【变式1-4】（24-25高二上·北京房山·期中）如图所示，一质量为的物体静止在光滑水平面上，现用的水平恒力使其加速运动。求：
（1）物体的加速度大小。
（2）末物体的速度大小。
（3）内物体通过的位移大小。
【变式1-5】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，一个滑雪场的滑雪赛道由一个斜坡直滑道和水平直滑道组成，斜坡滑道的倾角θ＝37°，斜坡滑道和水平滑道平滑连接。一个滑雪运动员从距离斜坡滑道底部100m处由静止开始下滑，经过斜坡滑道底部后在水平滑道上减速至停止。运动过程中运动员仅受重力、支持力和摩擦力，滑雪板与滑道的动摩擦因数恒为μ＝0.125，不计运动员在斜坡滑道与水平滑道连接处的速率损失，水平滑道足够长，重力加速度，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：（结果可保留根号）
（1）运动员滑到斜坡滑道底部时的速度大小。
（2）运动员在水平滑道上滑行的位移大小。
（3）运动员从开始下滑到停下来经历的时间。
题型2 从运动情况确定受力
【例2】（23-24高二下·山东青岛·期末）2024年4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。当返回舱距离地面高度为1.2m时，返回舱的速度为8m/s，此时返回舱底部的4台反推发动机同时点火工作，返回舱触地前的瞬间速度降至2m/s，从而实现软着陆。若该过程飞船始终竖直向下做匀减速运动，返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为，重力加速度，则平均每台反推发动机提供的推力大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（多选）（23-24高三上·贵州贵阳·月考）现在大型室外活动通常用无人飞机进行航拍。如图所示，一质量m=4.0kg的无人飞机在操作员的操控下由静止开始竖直向上匀加速运动2s，然后无人飞机又匀速向上运动3 s，接着匀减速向上运动4s速度恰好为零，之后悬停进行航拍。已知无人飞机上升过程中的最大速度为vm=4m/s，受到的空气阻力恒为f=2N，重力加速度大小g=10m/s2，则（ ）
A．无人飞机上升的第一个阶段，受到向上的作用力大小是50 N
B．无人飞机上升的第二个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
C．无人飞机上升的第三个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
D．无人飞机上升的总高度为24m
【变式2-2】（24-25高三上·安徽合肥·月考）又到了周末，合肥一中迎来大量的返校学生。一名学生拉着行李箱在水平地面行走，行李箱的运动可看成在地面上滑行，已知行李箱的质量为，取重力加速度，，。
（1）若该学生用如图甲所示的力拉行李箱匀速行走，已知拉力的方向与水平方向的夹角为，大小为，如果该同学想更省力，求最小拉力；
（2）若行李箱拉杆器件损坏，该同学停下来，改用如图乙所示的力推行李箱匀加速追赶前方的同学，跑了才追上，已知推力的方向与水平方向夹角仍为，求该推力的大小。
【变式2-3】（2024·山东·一模）如图所示，斜面ABC中AB段粗糙，BC段光滑。物块以10m/s的初速度从A点沿斜面向上滑行，到达C点速度恰好为零。已知BC段的长度为2m，物块上滑过程中，在AB段的加速度是BC段加速度的1.5倍，且物块在AB段和BC段运动的时间相等，g取10m/s2，求：
（1）斜面AB段的长度；
（2）物块与斜面AB段间的动摩擦因数。
【变式2-4】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）小明通过拉轮胎跑训练体能。如图所示，小明腰部系着轻绳拖着轮胎，已知轮胎的质量为10kg，绳与地面的夹角，轮胎与地面间的动摩擦因数。小明拉着轮胎从静止开始全力奔跑，跑出20m达到最大速度（这一过程可看作匀加速直线运动），然后以最大速度匀速跑到60m终点处，共用时10s。重力加速度，，。求：
（1）小明加速所用的时间；
（2）小明匀加速运动阶段对轮胎的拉力F的大小。
题型3 动力学图像问题
【例3】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，物块的质量，初速度大小，在一水平向左的大小恒定的力F作用下从O点沿粗糙的水平面开始向右运动，并从此刻开始计时，某时刻力F突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g取。下列说法正确的是（ ）
A．2s末力F反向 B．2s末到3s末物块做匀减速运动
C．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3 D．力F大小为8N
【变式3-1】（23-24高一上·全国·期末）无线充电宝可通过磁吸力吸附在手机背面，如图甲所示为科创小组某同学手握手机（手不接触充电宝），利用手机软件记录竖直放置的手机及吸附的充电宝从静止开始在竖直方向上的一次变速运动过程（手机与充电宝始终相对静止），记录的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（规定向上为正方向），时刻充电宝速度为零，且最终处于静止状态．已知手机的质量为，无线充电宝质量为，手机与充电宝之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，在该过程中下列说法正确的是（ ）
A．充电宝在与时刻所受的摩擦力方向相反
B．时刻充电宝受的摩擦力大小为
C．充电宝受到的静摩擦力的最大值为
D．充电宝与手机之间的吸引力大小至少为
【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江西宜春·月考）用如图所示的装置做课题研究发现：球形物体所受空气阻力的大小f跟运动的速率v有:f∝v2。当气球和重物由静止释放，在一起竖直下落的过程中，其速率v、加速度的大小a和运动的时间t之间的关系图像，下列可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（多选）（23-24高一上·陕西西安·月考）放置于固定斜面上的物块，在平行于斜面向上的拉力作用下，沿斜面向上做直线运动。拉力和物块速度随时间变化的图像如图，则（ ）
A．第内物块受到的合外力为
B．物块的质量为
C．斜面倾斜角一定是
D．如果撤去拉力，物块瞬时加速度
【变式3-4】 （23-24高一上·新疆省直辖县级单位·月考）如图a所示，一根水平长杆固定不动,一个质量m=1.2kg的小环静止套在杆上，环的直径略大于杆的截面直径,现用斜面向上53°的拉力F作用于小环，将F从零开始逐渐增大，小环静止一段时间后开始被拉动，得到小环的加速度a与拉力F的图象如图b所示，加速度在F达到15N后保持不变。(g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)求：
（1）F=15N时长杆对小球的弹力大小，及小环加速度的大小；
（2）环和长杆的动摩擦因数。
【变式3-5】（23-24高一上·北京西城·期末）质量为2kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的图像如图所示。g取，求：
（1）0~10s和10s~30s内物体运动的加速度大小；
（2）物体与水平面间的动摩擦系数；
（3）水平推力F的大小。
【变式3-6】（23-24高一上·福建三明·月考）质量为1kg的物块（可视为质点）静止于粗糙水平面上，现对其施加一随时间做周期性变化的水平拉力F，F随时间的变化规律如图甲所示，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块在4s时的速度；
（2）若先将物块固定，从1s末才放物块。求物块在1s至8s过程的位移。
题型4 绳、弹簧类问题
【例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）如图，绕过光滑定滑轮的绳子将物体A和B相连，绳子与桌面平行，物体A恰好不滑动。已知物体A的质量大于物体B的质量，A和B与桌面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，不计滑轮和绳子质量。现将A和B互换位置，绳子仍保持与桌面平行，则（ ）
A．绳子的拉力大小为 B．绳子的拉力大小为
C．物体与桌面间的动摩擦因数为 D．物体A和B的加速度大小为
【变式4-1】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）如图，质量为的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则下列说法不正确的是（ ）
A．车厢的加速度为
B．绳对物体1的拉力为
C．物体2所受底板的摩擦力为
D．底板对物体2的支持力为
【变式4-2】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）如图所示，物体A质量为2kg，物体B重0.5kg，不计一切摩擦和绳的重力，g取10m/s2。当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为（ ）
A．6m/s2，8N B．10m/s2，8N
C．8m/s2，6N D．6m/s2，9N
【变式4-3】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，在竖直放置的弹簧上放置一物块m，最开始对m施加竖直向下的力F使得弹簧压缩。在时撤去F释放小物块，计算机通过小物块上的速度传感器描绘出它的图线如图乙所示。其中段为曲线，bc段为直线，倾斜直线Od是时图线的切线。重力加速度为g，不计弹簧自身重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧在时刻恢复原长 B．
C．弹簧的劲度系数 D．小物块向上的最大位移为
【变式4-4】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1kg的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做匀加速直线运动，外力F与物体离开静止位置的位移x的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的加速度大小为
B．弹簧开始时形变量为4cm
C．弹簧的劲度系数为200N/m
D．从物体开始运动时计时，当时弹簧的形变量为3cm
【变式4-5】（24-25高一上·全国·单元测试）如图甲所示，一轻弹簧左端固定，右端接触滑块，利用滑块将弹簧压缩0.4m后锁定，时刻解除锁定释放滑块。借助计算机和速度传感器描绘出滑块的图线，如图乙所示，其中段图线为曲线，bc段图线为直线，倾斜直线Od是图线的切线。已知滑块的质量，取。则滑块与地面间的动摩擦因数是 ；弹簧的劲度系数为 N/m。
题型5 斜面模型
【例5】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）一质量为m的物块恰好能沿倾角为30°的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力F，F与水平方向的夹角为α，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若α=0°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若α=60°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若α=90°，物块将不能沿斜面匀速下滑
D．若F推着物块沿斜面匀速上滑，则斜面对地面的静摩擦力水平向左
【变式5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示的小木块在倾角为的固定斜面上由静止开始加速下滑，时间t内运动的距离为s，下列说法正确的是（ ）
A．小木块与斜面间的动摩擦因数为
B．小木块运动距离s后的速度大小为
C．s大小不变，越小，时间t越长
D．越小，小木块对斜面的压力越小
【变式5-2】（多选）（24-25高三上·河南·月考）如图甲所示，倾角、底端带有固定挡板的足够长的斜面体置于水平面上，斜面光滑，劲度系数的轻质弹簧，一端固定在斜面体底端挡板上，另一端与小物块A相连，小物块B紧靠着A一起静止在斜面上。现用水平向左的推力使斜面体向左以加速度a做匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x，如图乙所示为弹簧形变量x与相应加速度a间的关系图像，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度，，。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中
B．物块A的质量
C．物块B的质量
D．当时，斜面体对物块B的支持力与a的关系式为
【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·月考）如图所示，一固定斜面倾角为θ，在斜面顶端放置一质量为m小物体，小物体恰好能沿斜面匀速下滑，已知重力加速度为g。则：
（1）求小物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）若施加沿斜面向上的恒力拉该小物体，小物体恰好能沿斜面向上做匀速直线运动，求该恒力的大小；
（3）若施加（2）沿斜面向下的恒力大小拉该小物体，求小物体的加速度大小。
【变式5-4】（24-25高一上·全国·课后作业）一足够长的斜面固定在水平地面上，斜面倾角，斜面分为粗糙程度不同的段和段。段长22.5m，与物体间的动摩擦因数为，段足够长，与物体间的动摩擦因数为，，重力加速度。质量的物体恰好能在斜面的段匀速下滑。
（1）求斜面段的动摩擦因数；
（2）如图所示，如果给物体一个方向沿斜面向上的拉力，使物体从点由静止开始运动，运动到点时立即撤去拉力，求物体再次回到点时的速度。
题型6 等时圆模型
【例6】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，Oa、Ob是竖直平面内两根固定的光滑细杆，O、a、b、c位于同一圆周上，Ob过圆心，c为圆周的最高点，a为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环都从O点无初速度释放，用、分别表示滑环从O点到达a、b两点所用的时间，另有一个小球从c点由静止自由下落到a点所用的时间为。则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）如图所示，AQ为圆的竖直直径，沿AQ、BQ、CQ固定三个光滑杆，现让三个小环（可以看作质点）套在杆上，并分别沿着AQ、BQ、CQ杆自顶端由静止开始下滑到Q点，下滑所用时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD三点，其中轻杆AC与斜面垂直，，把可看成质点的质量为m的圆环依次沿三根轻杆从A点由静止滑下，滑到斜面过程中的平均速度分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（22-23高一上·山东临沂·期末）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（ ）
A．<<
B．=<
C．>=
D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
【变式6-4】（22-23高一下·广东东莞·开学考试）如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
【变式6-5】（23-24高三上·山东德州·月考）如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型7 连接体模型
【例7】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）在水平桌面上，并排放置5个相同的木块，水平的推力F作用在第一个木块上使5个木块一起向右加速，则木块之间弹力的比例从左向右依次为（ ）
A．1∶1∶1∶1（水平桌面光滑）
B．4∶3∶2∶1（水平桌面光滑）
C．1∶1∶1∶1（水平桌面粗糙程度相同）
D．4∶3∶2∶1（水平桌面粗糙程度相同）
【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，质量为m的小球a和质量为2m的小球b用轻弹簧A、B连接并悬挂在天花板上保持静止，水平力F作用在a上使a缓慢移动，当B与竖直方向夹角为60°时，A、B伸长量刚好相同。若A、B的劲度系数分别为、，重力加速度g。则以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．撤去F的瞬间，b球的加速度大小等于重力加速度g
D．撤去F的瞬间，a球的加速度大小等于重力加速度g
【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示，水平面上有一质量为2m的物体A，左端用跨过光滑定滑轮的细线连接着物体B，物体B、C的质量均为m，用轻弹簧相连放置在倾角为θ的斜面上，不计一切摩擦。开始时，物体A受到水平向右的恒力F的作用而保持静止，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．在细线被烧断的瞬间，A的加速度大小为2gsinθ
B．在细线被烧断的瞬间，B的加速度大小为0
C．剪断弹簧的瞬间，细线上的拉力大小瞬间突变为
D．突然撤去外力F的瞬间，A的加速度大小为
【变式7-3】（多选）（2025·四川德阳·一模）如图A、B两物体叠放在光滑水平桌面上，轻质细绳一端连接B，另一端绕过定滑轮连接C物体，已知A和C的质量都是1 kg，B的质量是2 kg，A、B间的动摩擦因数是0.3，其它摩擦不计。由静止释放C，C下落一定高度的过程中（C未落地，B未撞到滑轮，g=10m/s2）。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两物体没有发生相对滑动
B．A物体受到的摩擦力大小为3N
C．细绳的拉力大小等于10 N
D．B物体的加速度大小是2.5 m/s2
【变式7-4】（23-24高一上·天津·期末）如图所示，固定斜面上放一木板PQ，木板的Q端放置一可视为质点的小物块，现用轻细线的一端连接木板的Q端，保持与斜面平行，绕过定滑轮后，另一端可悬挂钩码，钩码距离地面足够高。已知斜面倾角θ=30°，木板长为L，Q端距斜面顶端距离也为L，物块和木板的质量均为m，两者之间的动摩擦因数为。若所挂钩码质量为2m，物块和木板恰能一起匀速上滑；若所挂钩码质量为其他不同值，物块和木板有可能发生相对滑动。重力加速度为g，不计细线与滑轮之间的摩擦，设接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）木板与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块和木板不发生相对滑动时，所挂钩码质量不能超过多大？
（3）选取适当质量的钩码可使木板由静止开始向上滑动，试讨论木板Q端到达斜面顶端所用时间t和钩码质量之间的关系。
题型8 传送带模型
【例8】（24-25高一上·江苏苏州·期中）传送带是现代生活中应用比较广泛的装置，如图所示。相同的物体由静止被轻轻放在水平匀速转动的传送带左端，到达最右端前物体与传送带已达到相对静止。下列说法正确的是（ ）
A．物体在传送带上受到竖直向上的弹力是由物体向下形变产生的
B．物体放上传送带时，传送带受到物体水平向右的摩擦力
C．物体在传送带上先受到滑动摩擦力，后受到静摩擦力
D．如果只增大传送带的转速，物体受到的摩擦力大小不变
【变式8-1】（24-25高一上·天津南开·开学考试）如图所示，传送带的速度恒为，转轮A和B的大小不计，（即传送带的总长度为2.4m）。某偷油老鼠跳到A点，并以相对传送带0.3m/s的速度向B点爬去，到达B点后立即回头仍以相对传送带0.3m/s的速度返回A点。回到A点后，该老鼠将再次向B点爬去，到达B点后再次返回……如此反复下去，且老鼠相对传送带的速度始终为0.3m/s。老鼠在A、B两端点速度转向所需的时间不计，从该老鼠由A点出发时开始计时，经过多长时间，传送带上将都会被老鼠身上的油渍污染（ ）
A．16s B．17s C．18s D．19s
【变式8-2】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，足够长的传送带与水平面夹角，以的恒定速率逆时针转动。小砖块以的初速度沿传送带方向从传送带底端滑上传送带，其与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．砖块刚滑上传送带时的加速度大小为25
B．砖块在传送带上向上滑行的最远距离为3m
C．若增大为7，砖块返回出发点时间变长
D．若增大为7，砖块在传送带上留下的痕迹变长
【变式8-3】（24-25高一上·四川广元·月考）如图，传送带始终保持v = 0.4 m/s的恒定速率运行，煤块与传送带之间的动摩擦因数μ = 0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。将一煤块（可视为质点）无初速度地放在A处，则下列说法正确的是（ ）
A．煤块一直做匀加速直线运动
B．煤块经过2 s到达B处
C．煤块到达B处时速度大小为0.4 m/s
D．煤块在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
【变式8-4】（多选）（23-24高一上·湖北荆州·期末）传送带在社会生活生产中有着广泛的应用，一长的水平白色传动带顺时针匀速运行，如图1所示．现将一可视为质点的墨块自传送带的左端由静止释放，经墨块被送达传送带的右端，其速度－时间图像如图2所示，重力加速度g取．则下列判断正确的是（ ）
A．传动带的运行速度大小为
B．墨块在传送带上留下的黑色痕迹在墨块的左侧
C．墨块相对传送带滑动而留下黑色痕迹的长度为
D．若增大传送带的运行速度，墨块的传送时间最短可达
题型9 滑块─木板模型
【例9】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）如图甲所示，在粗糙的水平地面上有一长木板B，在其上叠放着木块A，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用一水平力F作用于B，A、B的加速度与F的关系如图乙所示，，则下列说法中正确的是（ ）
A．木板B与地面间的最大静摩擦力为N B．物体A、B的总质量为
C．A、B间的动摩擦因数为 D．长木板B与地面间动摩擦因数为
【变式9-1】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，光滑斜面上有固定挡板A，斜面上叠放着物块B和木板C，木板C下端位于挡板A处，整体处于静止状态。木板C受到逐渐增大的沿斜面向上的拉力F作用时，木板C的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，则由图像可知（ ）
A．时，物块B和木板C发生相对滑动
B．斜面倾角等于
C．木板C的质量为2kg
D．木板C和物块B两者间的动摩擦因数为
【变式9-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）如图，一长木板静止在水平地面上，一物块叠放在长木板上，整个系统处于静止状态，长木板的质量为，物块的质量为，物块与长木板间的动摩擦因数为，长木板与地面之间的动摩擦因数为，对长木板施加一个水平向右的拉力，拉力，作用后将力撤去，之后长木板和物块继续运动，最终物块没有从长木板上掉下来。物块可看作质点，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取 ，求∶
（1）刚开始运动时物块与长木板的加速度大小分别为多大；
（2）撤去拉力后，和运动的时间分别为多少；
（3）长木板的最短长度。
【变式9-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）如图甲所示，粗糙水平地面上有一质量M=6kg的足够长木板B，将一质量m=2kg的小物块A（视为质点）轻放在木板B的右端，从t=0时刻起对B施加一水平向右的水平恒力F，经过t=4s后撤去恒力F，用传感器测得A、B的速度-时间图像如图乙所示，取g=10m/s2。求：
（1）A、B间的动摩擦因数μ1；
（2）B与地面间的动摩擦因数μ2，恒力F的大小；
（3）A、B均停止运动后A到B右端的距离L。
题型10 物体的临界、极值问题
【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）如图甲所示，水平面上有一倾角为的光滑斜面，斜面上用一平行于斜面的轻质细绳系质量为的小球。当斜面以水平向右的加速度做匀加速直线运动，系统稳定时细绳上的张力随加速度的变化图像如图乙所示，段是直线，点坐标为，g取，，，则（ ）
A．
B．
C．当时小球恰好离开斜面
D．小球离开斜面之前，受到的支持力
【变式10-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）如图所示，4块完全相同的质量均为m的长木板叠放在水平粗糙木地板上。一根不可伸长的水平轻绳将最上方的木板与左方竖直墙连接在一起，细绳处于恰好伸直但无拉力的状态。已知所有接触面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，本题中任意一个接触面间的最大静摩擦力都等于该接触面间的滑动摩擦力。现在对最下面的木板施加一个水平向右的、缓慢增加的拉力F。为了使最下面的木板运动起来，求F至少需要增加到多大（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）如图所示，质量为的物块放在水平桌面上，桌面的左端固定一光滑定滑轮，轻绳绕过定滑轮，一端连接在物块上，另一端吊着质量为的小球，物块与滑轮间的轻绳水平。由静止释放物块，当小球的质量为时，物块由静止开始在水平桌面上运动所用的时间为。已知重力加速度g取，不计空气阻力，物块与水平桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．若小球的质量增大，则轻绳的拉力也增大，但不可能超过
B．若小球的质量增大，轻绳的拉力也增大，但不可能超过
C．要使物块能运动，小球的质量至少大于
D．要使物块能运动，小球的质量至少大于
【变式10-3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）如图所示，在水平面上固定放置一个倾角为的光滑斜面；一物块以的初速度从斜面底端滑上斜面，恰好能到达斜面顶端。g取。
（1）求斜面的长度L；
（2）在斜面上设置一个长度为的摩擦区，物块与摩擦区之间的动摩擦因数，要使木块在上滑过程中不滑出摩擦区，求摩擦区下边界到斜面底端的最小距离。
【变式10-4】（20-21高一上·陕西渭南·期末）如图所示，光滑水平面上静止放着长L=0.16m，质量为M=3kg的木板，一个质量为m=1kg的小物体（可视为质点）放在木板的最右端，m和M之间的动摩擦因数μ=0.1，现对木板施加一水平向右的拉力F。（g取）
（1）若木板与小物体相对滑动，求小物体的加速度；
（2）为使小物体不掉下去，F不能超过多少？
（3）如果拉力F=10N恒定不变，求小物体在木板上运动的时间。
4.5 牛顿运动定律的应用题型归纳答案
题型1 从受力确定运动情况
【例1】（24-25高三上·广东茂名·期中）如图所示，运动员把冰壶沿平直冰面投出，冰壶先在冰面AB段滑行，再进入冰刷刷过的冰面BC段并最终停在点。已知冰壶与AB段、BC段间的动摩擦因数的比值为，冰壶在AB段和BC段滑行所用的时间的比值为，则冰并在AB段和BC段的位移大小的比值为（ ）
A．pq B． C． D．
【答案】D
【解析】设AB段和BC段动摩擦因数分别为、，在AB段和BC段，分别对冰壶列牛顿第二定律得加速度大小分别为
，
将全过程看成两段反向的匀加速直线运动，则在段位移为
在段位移为
又因为
根据题中信息可知
，
各方程联立解得
故选D。
【变式1-1】 （24-25高一上·江苏·月考）无风的时候，一片树叶从距地高5m的地方落下。重力加速度，则树叶（ ）
A．下落的位移 B．下落的加速度
C．落地速度 D．下落的时间
【答案】A
【解析】A．依题意，树叶下落过程受自身重力与空气阻力共同作用，不一定落在正下方的位置，下落的位移。故A正确；
B．根据
可知下落的加速度
故B错误；
C．无阻力时，有
由于阻力的影响，落地速度。故C错误；
D．同理，若无阻力，有
由于阻力的影响，下落的时间。故D错误。
故选A。
【变式1-2】（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，送入货舱前行李箱已做匀速运动。已知行李箱与传送带之间动摩擦因数为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．运输行李时该传送带的倾角必须小于
B．提高传送带的运转速度，传送时间不变
C．匀速阶段行李箱不受摩擦力
D．重的行李箱比轻的行李箱加速阶段用时短些
【答案】A
【解析】A．将行李箱无初速度地放在传送带底端，一开始行李箱向上加速运动，合力方向沿传送带向上，受到的滑动摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，即
可得
可得运输行李时该传送带的倾角必须满足，故A正确；
C．匀速阶段，根据受力平衡可知，行李箱受到静摩擦力作用，大小等于重力沿传送带向下的分力，故C错误；
D．根据牛顿第二定律可得
可得加速度大小为
可知行李箱的加速度与行李箱的质量无关，则重的行李箱与轻的行李箱加速阶段用时相等，故D错误；
B．设传送带提速前的速度为，则行李箱加速阶段所用时间和位移分别为
，
提高传送带的运转速度，由于加速阶段行李箱的加速度不变，则行李箱加速到提速前传送带速度过程所用时间不变，通过的位移不变，但提速后行李箱继续加速运动再匀速运动，则之后的运动过程，提速后所用时间更短，则提高传送带的运转速度，传送时间变短，故B错误。
故选A。
【变式1-3】（多选）（2024·广东汕头·二模）如图所示，球筒中静置着一个羽毛球。小明左手拿着球筒，右手迅速拍打筒的上端，使筒获得向下的初速度并与左手发生相对运动，最后羽毛球（视为质点）从筒口上端出来，已知球筒质量为（不含球的质量），羽毛球质量为，球筒与手之间的滑动摩擦力为，球与筒之间的滑动摩擦力为，球头离筒的上端距离为，重力加速度g取，空气阻力忽略不计，当球筒获得一个向下的初速度后（ ）
A．静置时，羽毛球的摩擦力为
B．拍打球筒后瞬间，羽毛球受到向上的摩擦力
C．拍打球筒后瞬间，羽毛球的加速度为
D．仅拍打一次，羽毛球恰能出来，则筒的初速度为
【答案】CD
【解析】A．静置时，根据平衡条件有
故A错误；
B．拍打球筒后瞬间，球筒相对于羽毛球向下运动，则羽毛球给球筒的摩擦力向上，而根据牛顿第三定律可知，球筒给羽毛球的摩擦力向下，故B错误；
C．拍打球筒后瞬间，对羽毛球由牛顿第二定律有
解得
故C正确；
D．仅拍打一次，羽毛球恰能出来，则羽毛球与球筒恰好达到共速，设球筒的加速度为，筒的初速度为，则对球筒由牛顿第二定律有
解得
球筒做匀减速运动，羽毛球做匀加速运动，有
代入数据解得
故D正确。
故选CD。
【变式1-4】（24-25高二上·北京房山·期中）如图所示，一质量为的物体静止在光滑水平面上，现用的水平恒力使其加速运动。求：
（1）物体的加速度大小。
（2）末物体的速度大小。
（3）内物体通过的位移大小。
【答案】（1） （2）10m/s （3）25m
【解析】（1）由牛顿第二定律可得，物体的加速度大小为
（2）由运动学公式可得末物体的速度大小为
（3）由运动学公式可得内物体通过的位移大小为
【变式1-5】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）如图所示，一个滑雪场的滑雪赛道由一个斜坡直滑道和水平直滑道组成，斜坡滑道的倾角θ＝37°，斜坡滑道和水平滑道平滑连接。一个滑雪运动员从距离斜坡滑道底部100m处由静止开始下滑，经过斜坡滑道底部后在水平滑道上减速至停止。运动过程中运动员仅受重力、支持力和摩擦力，滑雪板与滑道的动摩擦因数恒为μ＝0.125，不计运动员在斜坡滑道与水平滑道连接处的速率损失，水平滑道足够长，重力加速度，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：（结果可保留根号）
（1）运动员滑到斜坡滑道底部时的速度大小。
（2）运动员在水平滑道上滑行的位移大小。
（3）运动员从开始下滑到停下来经历的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设运动员在斜坡滑道上运动的加速度大小为，运动到斜坡滑道底端的速度为v，有
由题意知运动员在斜坡滑道上运动的位移大小
根据匀变速直线运动规律有
解得
（2）设运动员在水平滑道上的加速度大小为，在水平滑道上滑行的位移大小为，有
由匀变速直线运动规律有
解得
（3）设运动员在斜坡滑道上运动的时间为，有
设运动员在水平滑道上运动的时间为，有
运动员运动的总时间
解得
题型2 从运动情况确定受力
【例2】（23-24高二下·山东青岛·期末）2024年4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。当返回舱距离地面高度为1.2m时，返回舱的速度为8m/s，此时返回舱底部的4台反推发动机同时点火工作，返回舱触地前的瞬间速度降至2m/s，从而实现软着陆。若该过程飞船始终竖直向下做匀减速运动，返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为，重力加速度，则平均每台反推发动机提供的推力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据运动学公式可得
解得加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得均每台反推发动机提供的推力大小为
故选A。
【变式2-1】（多选）（23-24高三上·贵州贵阳·月考）现在大型室外活动通常用无人飞机进行航拍。如图所示，一质量m=4.0kg的无人飞机在操作员的操控下由静止开始竖直向上匀加速运动2s，然后无人飞机又匀速向上运动3 s，接着匀减速向上运动4s速度恰好为零，之后悬停进行航拍。已知无人飞机上升过程中的最大速度为vm=4m/s，受到的空气阻力恒为f=2N，重力加速度大小g=10m/s2，则（ ）
A．无人飞机上升的第一个阶段，受到向上的作用力大小是50 N
B．无人飞机上升的第二个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
C．无人飞机上升的第三个阶段，受到向上的作用力大小是40 N
D．无人飞机上升的总高度为24m
【答案】AD
【解析】A．无人飞机上升的第一个阶段的加速度
由牛顿第二定律可知
F1-mg-f=ma
代入数据解得
F1=50N
A正确；
B．无人飞机第二个阶段匀速上升
F2=mg+f=42N
B错误；
C．无人飞机第三个阶段减速上升，加速度大小
无人飞机第三个阶段减速上升，根据牛顿第二定律
可得
F3=38N
C错误；
D．无人飞机上升的总高度为
D正确。
故选AD
【变式2-2】（24-25高三上·安徽合肥·月考）又到了周末，合肥一中迎来大量的返校学生。一名学生拉着行李箱在水平地面行走，行李箱的运动可看成在地面上滑行，已知行李箱的质量为，取重力加速度，，。
（1）若该学生用如图甲所示的力拉行李箱匀速行走，已知拉力的方向与水平方向的夹角为，大小为，如果该同学想更省力，求最小拉力；
（2）若行李箱拉杆器件损坏，该同学停下来，改用如图乙所示的力推行李箱匀加速追赶前方的同学，跑了才追上，已知推力的方向与水平方向夹角仍为，求该推力的大小。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）对行李箱受力分析，如图所示
行李箱匀速，则有
又
解得
设与水平方向成时，拉力最小，有
由数学关系可得出，当时
（2）如图所示
行李箱匀加速运动
得出
竖直方向，根据平衡条件
水平方向，由牛顿第二定律
又
解得
【变式2-3】（2024·山东·一模）如图所示，斜面ABC中AB段粗糙，BC段光滑。物块以10m/s的初速度从A点沿斜面向上滑行，到达C点速度恰好为零。已知BC段的长度为2m，物块上滑过程中，在AB段的加速度是BC段加速度的1.5倍，且物块在AB段和BC段运动的时间相等，g取10m/s2，求：
（1）斜面AB段的长度；
（2）物块与斜面AB段间的动摩擦因数。
【答案】（1）7m （2）
【解析】（1）设物体在AB段的加速度大小为，BC段加速度大小为，根据题意有
有
在上滑AB段
在上滑BC段
得
（2）对两段过程，分别由牛顿第二定律有
得
【变式2-4】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）小明通过拉轮胎跑训练体能。如图所示，小明腰部系着轻绳拖着轮胎，已知轮胎的质量为10kg，绳与地面的夹角，轮胎与地面间的动摩擦因数。小明拉着轮胎从静止开始全力奔跑，跑出20m达到最大速度（这一过程可看作匀加速直线运动），然后以最大速度匀速跑到60m终点处，共用时10s。重力加速度，，。求：
（1）小明加速所用的时间；
（2）小明匀加速运动阶段对轮胎的拉力F的大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设最大速度为，匀速阶段所用时间为，根据题意有
，
联立解得
，
（2）小明匀加速运动阶段的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
又
联立解得
题型3 动力学图像问题
【例3】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，物块的质量，初速度大小，在一水平向左的大小恒定的力F作用下从O点沿粗糙的水平面开始向右运动，并从此刻开始计时，某时刻力F突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g取。下列说法正确的是（ ）
A．2s末力F反向 B．2s末到3s末物块做匀减速运动
C．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3 D．力F大小为8N
【答案】C
【解析】AB．由题图乙可知，物块速度减为零时，力F突然反向，由
，
代入题图乙中所给数据，解得
，
则水平向左的力F作用的时间
1s末力F反向，物块开始做匀加速运动。故AB错误；
CD．力F反向前，由牛顿第二定律有
力F反向后，由牛顿第二定律有
其中
解得
，
故C正确；D错误。
故选C。
【变式3-1】（23-24高一上·全国·期末）无线充电宝可通过磁吸力吸附在手机背面，如图甲所示为科创小组某同学手握手机（手不接触充电宝），利用手机软件记录竖直放置的手机及吸附的充电宝从静止开始在竖直方向上的一次变速运动过程（手机与充电宝始终相对静止），记录的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（规定向上为正方向），时刻充电宝速度为零，且最终处于静止状态．已知手机的质量为，无线充电宝质量为，手机与充电宝之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，在该过程中下列说法正确的是（ ）
A．充电宝在与时刻所受的摩擦力方向相反
B．时刻充电宝受的摩擦力大小为
C．充电宝受到的静摩擦力的最大值为
D．充电宝与手机之间的吸引力大小至少为
【答案】D
【解析】A．充电宝在时刻具有向上的加速度，由牛顿第二定律可知，摩擦力方向竖直向上，时刻充电宝具有向下的加速度，而且加速度小于重力加速度，所以摩擦力方向向上，所以充电宝在与时刻所受的摩擦力方向相同，故A错误；
B．时刻由牛顿第二定律可得
由图像可知，解得
故B错误；
C． 时刻充电宝具有向上的最大加速度，充电宝和手机之间的摩擦力最大，此时，由牛顿第二定律有
故 C错误；
D．由摩擦力公式解得充电宝与水机之间的吸引力大小至少为
故D正确。
故选D。
【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江西宜春·月考）用如图所示的装置做课题研究发现：球形物体所受空气阻力的大小f跟运动的速率v有:f∝v2。当气球和重物由静止释放，在一起竖直下落的过程中，其速率v、加速度的大小a和运动的时间t之间的关系图像，下列可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】根据牛顿第二定律
解得
可知加速度与速度的图线关系为开口向下的二次函数关系；因气球和重物由静止释放，则加速度的方向与速度方向都竖直向下，故球形物体做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度为零，最后做匀速直线运动，故图像的斜率逐渐变小。
故选AD。
【变式3-3】（多选）（23-24高一上·陕西西安·月考）放置于固定斜面上的物块，在平行于斜面向上的拉力作用下，沿斜面向上做直线运动。拉力和物块速度随时间变化的图像如图，则（ ）
A．第内物块受到的合外力为
B．物块的质量为
C．斜面倾斜角一定是
D．如果撤去拉力，物块瞬时加速度
【答案】AD
【解析】ABC．由图可得，内物体的加速度为
由牛顿第二定律可得
后有
联立并将，代入解得
第内物块受到的合外力为
由于动摩擦因数未知，斜面倾角无法确定，故无法求出斜面的倾角，故A正确，BC错误；
D．如果撤去拉力，撤去后，物体所受合力为
根据牛顿第二定律有
解得
故D正确。
故选AD。
【变式3-4】 （23-24高一上·新疆省直辖县级单位·月考）如图a所示，一根水平长杆固定不动,一个质量m=1.2kg的小环静止套在杆上，环的直径略大于杆的截面直径,现用斜面向上53°的拉力F作用于小环，将F从零开始逐渐增大，小环静止一段时间后开始被拉动，得到小环的加速度a与拉力F的图象如图b所示，加速度在F达到15N后保持不变。(g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)求：
（1）F=15N时长杆对小球的弹力大小，及小环加速度的大小；
（2）环和长杆的动摩擦因数。
【答案】（1）0，7.5m/s2 （2）μ=0.75
【解析】（1）将F分解到竖直和水平两个方向，F=15N时，分解F可知，F竖直向上的分力大小为
Fsin53°=15×0.8N=12N=mg
所以杆与环间无弹力，杆对小球的弹力大小为0
根据牛顿第二定律得
Fcos53°=ma
解得
a=7.5m/s2
（2）当F超过15N以后，由牛顿第二定律得
Fcos53°－μ(Fsin53°－mg) = ma
因为加速度在F达到15N后保持不变，即a与F无关，所以有
Fcos53° = μFsin53°
解得
μ=0.75
【变式3-5】（23-24高一上·北京西城·期末）质量为2kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的图像如图所示。g取，求：
（1）0~10s和10s~30s内物体运动的加速度大小；
（2）物体与水平面间的动摩擦系数；
（3）水平推力F的大小。
【答案】（1），；（2）0.05；（3）
【解析】（1）图像的斜率表示加速度，由题图可知0~10s和10s~30s内物体运动的加速度大小分别为
（2）撤去F后，由牛顿第二定律可得
解得
（3）撤去F前，由牛顿第二定律可得
解得
F=3N
【变式3-6】（23-24高一上·福建三明·月考）质量为1kg的物块（可视为质点）静止于粗糙水平面上，现对其施加一随时间做周期性变化的水平拉力F，F随时间的变化规律如图甲所示，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块在4s时的速度；
（2）若先将物块固定，从1s末才放物块。求物块在1s至8s过程的位移。
【答案】（1）；（2）1m
【解析】（1）物块做匀加速直线运动，加速度大小为
物块做匀减速直线运动，加速度大小为
根据运动过程画出图像
可知物块在4s时的速度为0。
（2）若先将物块固定，从1s末才放物块，画出对应的图像
根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知物块在1s至8s过程的位移为
题型4 绳、弹簧类问题
【例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）如图，绕过光滑定滑轮的绳子将物体A和B相连，绳子与桌面平行，物体A恰好不滑动。已知物体A的质量大于物体B的质量，A和B与桌面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，不计滑轮和绳子质量。现将A和B互换位置，绳子仍保持与桌面平行，则（ ）
A．绳子的拉力大小为 B．绳子的拉力大小为
C．物体与桌面间的动摩擦因数为 D．物体A和B的加速度大小为
【答案】A
【解析】C．如图所示物体A恰好不滑动，则
解得
故C错误；
ABD．A和B互换位置后，设绳子的拉力大小为F，物体A和B的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
，
解得
，
故A正确，BD错误。
故选A。
【变式4-1】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）如图，质量为的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则下列说法不正确的是（ ）
A．车厢的加速度为
B．绳对物体1的拉力为
C．物体2所受底板的摩擦力为
D．底板对物体2的支持力为
【答案】D
【解析】AB．以物体1为研究对象，重力和拉力T，根据牛顿第二定律得
得
则车厢的加速度也为。对1的拉力为
故AB正确；
CD．对物体2研究，根据牛顿第二定律得
竖直方向，根据平衡条件可得
故C正确，D错误。
本题选不正确项，故选D。
【变式4-2】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）如图所示，物体A质量为2kg，物体B重0.5kg，不计一切摩擦和绳的重力，g取10m/s2。当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为（ ）
A．6m/s2，8N B．10m/s2，8N
C．8m/s2，6N D．6m/s2，9N
【答案】A
【解析】分别对A、B，由牛顿第二定律得
解得
故选A。
【变式4-3】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，在竖直放置的弹簧上放置一物块m，最开始对m施加竖直向下的力F使得弹簧压缩。在时撤去F释放小物块，计算机通过小物块上的速度传感器描绘出它的图线如图乙所示。其中段为曲线，bc段为直线，倾斜直线Od是时图线的切线。重力加速度为g，不计弹簧自身重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧在时刻恢复原长 B．
C．弹簧的劲度系数 D．小物块向上的最大位移为
【答案】D
【解析】A．v-t图像的斜率表示物体的加速度，当弹簧在时刻时，物块的加速度为零，所以弹簧的弹力与重力相等，故A错误；
B．若物块做匀变速直线运动时
但撤去F后物块做加速度减小的变速运动，匀变速直线运动的位移公式不再适用，故B错误；
C．在时物块的加速度为
根据牛顿第二定律
解得
故C错误；
D．在t3时刻之后物块做匀变速直线运动，所以t3时刻物块离开了弹簧，离开弹簧后物块上升的最大高度为
所以小物块向上的最大位移为
故D正确。
故选D。
【变式4-4】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1kg的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做匀加速直线运动，外力F与物体离开静止位置的位移x的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的加速度大小为
B．弹簧开始时形变量为4cm
C．弹簧的劲度系数为200N/m
D．从物体开始运动时计时，当时弹簧的形变量为3cm
【答案】CD
【解析】A．物体从静止开始运动时重力与弹簧弹力平衡，从题图乙读出外力从开始变化，则开始运动时合力为
根据牛顿第二定律有
解得物体运动的加速度为
故A错误；
BC．假设开始时弹簧形变量为，此时弹簧弹力
根据胡克定律可得
当时，根据牛顿第二定律有
解得
从题图乙读出此时的位移为4cm，则根据胡克定律可得
解得
故B错误，C正确；
D．物体做初速度为0的匀加速直线运动，当时位移为
则此时弹簧的形变量为
故D正确。
故选CD。
【变式4-5】（24-25高一上·全国·单元测试）如图甲所示，一轻弹簧左端固定，右端接触滑块，利用滑块将弹簧压缩0.4m后锁定，时刻解除锁定释放滑块。借助计算机和速度传感器描绘出滑块的图线，如图乙所示，其中段图线为曲线，bc段图线为直线，倾斜直线Od是图线的切线。已知滑块的质量，取。则滑块与地面间的动摩擦因数是 ；弹簧的劲度系数为 N/m。
【答案】0.5 350
【解析】[1]bc段图线为直线，表示滑块已经离开弹簧，滑块做匀减速直线运动，其加速度大小
根据牛顿第二定律得
解得滑块与地面间的动摩擦因数
[2]根据图像中切线的物理意义，可知滑块开始运动时的加速度大小
根据牛顿第二定律得
其中弹簧压缩量
解得弹簧的劲度系数
题型5 斜面模型
【例5】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）一质量为m的物块恰好能沿倾角为30°的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力F，F与水平方向的夹角为α，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若α=0°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左
B．若α=60°，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
C．若α=90°，物块将不能沿斜面匀速下滑
D．若F推着物块沿斜面匀速上滑，则斜面对地面的静摩擦力水平向左
【答案】B
【解析】AB．物块在沿斜面匀速下滑，根据平衡条件有
，
解得
物块匀速下滑过程中，整体水平方向受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；若α=0°，对物块施加一个水平方向的力，物块下滑过程中对摩擦力和斜面压力成比例增加，即物块对斜面的作用力方向没有变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；若α=60°，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对斜面的压力增加F、摩擦力增加μF，如图所示
根据几何关系可知
故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩擦力为零，在竖直平面内给物块一任意方向的外力F，此力F可以分解为垂直于斜面方向的力和沿斜面方向的力，而这两个分力对斜面的摩擦力均为零，所以无论施加什么方向的力，在B停止运动前，地面对斜面的摩擦力为零，物块仍沿斜面匀速下滑，故A错误，B正确；
C．若α=90°，对物块进行分析有
物块受到沿斜面向上的滑动摩擦力为
结合上述解得
可知，物块沿斜面的合力为0，物块仍然沿斜面向下做匀速直线运动，故C错误；
D．若F推着物块沿斜面匀速上滑，则物块受到沿斜面向下的滑动摩擦力，则斜面对物块的支持力与摩擦力的合力，即斜面对物块的作用力方向整体向左，根据牛顿第三定律可知，物块对斜面的压力与摩擦力的合力，即物块对斜面的作用力方向整体向右，斜面在水平方向相对于地面有向右运动的趋势，地面对斜面静摩擦力方向水平向左，根据牛顿第三定律可知，斜面对地面的静摩擦力水平向右，故D错误。
故选B。
【变式5-1】（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示的小木块在倾角为的固定斜面上由静止开始加速下滑，时间t内运动的距离为s，下列说法正确的是（ ）
A．小木块与斜面间的动摩擦因数为
B．小木块运动距离s后的速度大小为
C．s大小不变，越小，时间t越长
D．越小，小木块对斜面的压力越小
【答案】C
【解析】A．小木块在倾角为的固定斜面上由静止开始加速下滑，根据牛顿第二定律
可得
即动摩擦因数
故A错误；
B．时间t内运动的距离为s，有
则小木块运动距离s后的速度大小为
故B错误；
C． s大小不变，越小，则加速度a越小，根据运动学公式
可知越小，时间t越长，故C正确；
D．对小木块受力分析，得
越小，越大，则小木块对斜面的压力越大，故D错误。
故选C。
【变式5-2】（多选）（24-25高三上·河南·月考）如图甲所示，倾角、底端带有固定挡板的足够长的斜面体置于水平面上，斜面光滑，劲度系数的轻质弹簧，一端固定在斜面体底端挡板上，另一端与小物块A相连，小物块B紧靠着A一起静止在斜面上。现用水平向左的推力使斜面体向左以加速度a做匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x，如图乙所示为弹簧形变量x与相应加速度a间的关系图像，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度，，。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中
B．物块A的质量
C．物块B的质量
D．当时，斜面体对物块B的支持力与a的关系式为
【答案】ABD
【解析】A．根据图乙可知，加速度为时， 弹簧形变量x为0，即此时弹簧处于原长，对A、B整体分析有
解得
故A正确；
BC．根据图乙，加速度为0时，弹簧压缩量为
A、B处于静止状态，对A、B整体分析有
根据图乙可知，加速度大于时，弹簧处于拉伸状态，此时A、B分离，对A进行分析有
，
解得
结合图乙有
结合上述解得
，
故B正确，C错误；
D．结合上述可知，当时，A、B分离，B与斜面在垂直于斜面方向的分加速度相等，对B进行分析，则垂直于斜面方向上，根据牛顿第二定律有
结合上述解得
故D正确。
故选ABD。
【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·月考）如图所示，一固定斜面倾角为θ，在斜面顶端放置一质量为m小物体，小物体恰好能沿斜面匀速下滑，已知重力加速度为g。则：
（1）求小物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）若施加沿斜面向上的恒力拉该小物体，小物体恰好能沿斜面向上做匀速直线运动，求该恒力的大小；
（3）若施加（2）沿斜面向下的恒力大小拉该小物体，求小物体的加速度大小。
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）小物体沿斜面匀速下滑，重力沿斜面向下的分力与滑动摩擦力平衡
解得
（2）若施加沿斜面向上的恒力拉该小物体，小物体恰好能沿斜面向上做匀速直线运动，则滑动摩擦力沿斜面向下，故沿斜面方向的平衡方程为
解得
（3）若施加（2）沿斜面向下的恒力大小拉该小物体，沿斜面方向应用牛顿第二定律可得
解得
【变式5-4】（24-25高一上·全国·课后作业）一足够长的斜面固定在水平地面上，斜面倾角，斜面分为粗糙程度不同的段和段。段长22.5m，与物体间的动摩擦因数为，段足够长，与物体间的动摩擦因数为，，重力加速度。质量的物体恰好能在斜面的段匀速下滑。
（1）求斜面段的动摩擦因数；
（2）如图所示，如果给物体一个方向沿斜面向上的拉力，使物体从点由静止开始运动，运动到点时立即撤去拉力，求物体再次回到点时的速度。
【答案】（1） （2），方向沿斜面向下
【解析】（1）由题可知，物体恰好能在斜面的段匀速下滑，有
解得
（2）物体在段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
根据运动学规律可得，解得物体运动到点时速度大小
此后撤去拉力，物体先在段向上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
其中
向上运动位移为
之后向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
则物体再次回到点的速度大小为
方向沿斜面向下
题型6 等时圆模型
【例6】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，Oa、Ob是竖直平面内两根固定的光滑细杆，O、a、b、c位于同一圆周上，Ob过圆心，c为圆周的最高点，a为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环都从O点无初速度释放，用、分别表示滑环从O点到达a、b两点所用的时间，另有一个小球从c点由静止自由下落到a点所用的时间为。则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆周的半径为，与水平方向的夹角为，则沿下滑的加速度大小为
根据运动学公式可得
联立解得
与水平方向的夹角为，则沿下滑的加速度大小为
根据运动学公式可得
联立解得
一个小球从c点由静止自由下落到a点所用的时间为
则有
故选A。
【变式6-1】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）如图所示，AQ为圆的竖直直径，沿AQ、BQ、CQ固定三个光滑杆，现让三个小环（可以看作质点）套在杆上，并分别沿着AQ、BQ、CQ杆自顶端由静止开始下滑到Q点，下滑所用时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设斜面的倾角为，圆的直径为，根据牛顿第二定律可得小环下滑的加速度为
斜面的长度为
根据动力学公式
小环下滑所用时间为
则
由于
根据平均速度公式
可得
故选D。
【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD三点，其中轻杆AC与斜面垂直，，把可看成质点的质量为m的圆环依次沿三根轻杆从A点由静止滑下，滑到斜面过程中的平均速度分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因AB垂直于斜面底边，以AB为直径做圆，则必过C点，如图
圆环在杆AC上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得
联立解得
即从A点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得
由平均速度
又因为
可得
圆环从A到C的平均速度
圆环从A到D的过程有
则平均速度
则可得
综上可得
故选B。
【变式6-3】（22-23高一上·山东临沂·期末）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（ ）
A．<<
B．=<
C．>=
D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
【答案】C
【解析】对于BM段，位移
加速度
根据得
对于AM段，位移
加速度
由得
对于CM段，设CM与竖直方向夹角为θ，同理可解得
即，故选C。
【变式6-4】（22-23高一下·广东东莞·开学考试）如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
【答案】C
【解析】设杆AB长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为 m，对圆环a，根据牛顿第二定律可得
mgsinθ=ma
可得
a=gsinθ
由运动学公式可得
由几何关系可知
l= 2Rsinθ
解得
则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d的下滑时间同为
故选C。
【变式6-5】（23-24高三上·山东德州·月考）如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对物块沿A板或D板运动到a点过程进行分析，设最低点a到竖直直线的距离为x，斜板与水平方向的夹角为θ，则斜板长为
根据牛顿第二定律可得物块的加速度为
根据运动学公式可得
解得
由于A板与D板最低点交于一点a（d），则x相等，且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60°，则与水平方向的夹角为60°和30°，则sin2θ相等，所以有
tA=tD
根据等时圆原理可知
tD＞tB＞tC
故有
tA=tD＞tB＞tC
故选C。
题型7 连接体模型
【例7】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）在水平桌面上，并排放置5个相同的木块，水平的推力F作用在第一个木块上使5个木块一起向右加速，则木块之间弹力的比例从左向右依次为（ ）
A．1∶1∶1∶1（水平桌面光滑）
B．4∶3∶2∶1（水平桌面光滑）
C．1∶1∶1∶1（水平桌面粗糙程度相同）
D．4∶3∶2∶1（水平桌面粗糙程度相同）
【答案】BD
【解析】AB．若水平桌面光滑，先整体分析，根据牛顿第二定律得
把右面的4个木块作为一个整体，设2受到1的弹力为，根据牛顿第二定律得
把最右面的3个木块作为一个整体，设3受到2的弹力为，根据牛顿第二定律得
依次类推，可以得到弹力之比依次为，故A错误，B正确；
CD．若水平桌面粗糙程度相同，设每个木块与水平桌面间的摩擦力为，先整体分析，根据牛顿第二定律得
把右面的4个木块作为一个整体，设2受到1的弹力为，由牛顿第二定律得
解得
把最右面的3个木块作为一个整体，设3受到2的弹力为，根据牛顿第二定律得
解得
依次类推，可以得到弹力之比依次为，故C错误，D正确。
故选BD。
【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，质量为m的小球a和质量为2m的小球b用轻弹簧A、B连接并悬挂在天花板上保持静止，水平力F作用在a上使a缓慢移动，当B与竖直方向夹角为60°时，A、B伸长量刚好相同。若A、B的劲度系数分别为、，重力加速度g。则以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．撤去F的瞬间，b球的加速度大小等于重力加速度g
D．撤去F的瞬间，a球的加速度大小等于重力加速度g
【答案】A
【解析】AB．先对b球受力分析，受重力和弹簧A的拉力，根据平衡条件，有弹簧A的拉力
再对a、b球整体受力分析，受重力、水平力F和弹簧B的拉力，根据平衡条件，有弹簧B的拉力
根据胡克定律，有
得
A正确，B错误；
C．球b受重力和弹簧A的拉力，撤去F的瞬间，重力和弹簧A的拉力都不变，加速度仍然为零，处于平衡状态，C错误；
D．球a原来受重力、水平力F和两个弹簧的拉力，撤去F瞬间，其余3个力不变，合外力与原来的F大小相等，方向相反，a球加速度为
D错误。
故选A。
【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示，水平面上有一质量为2m的物体A，左端用跨过光滑定滑轮的细线连接着物体B，物体B、C的质量均为m，用轻弹簧相连放置在倾角为θ的斜面上，不计一切摩擦。开始时，物体A受到水平向右的恒力F的作用而保持静止，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．在细线被烧断的瞬间，A的加速度大小为2gsinθ
B．在细线被烧断的瞬间，B的加速度大小为0
C．剪断弹簧的瞬间，细线上的拉力大小瞬间突变为
D．突然撤去外力F的瞬间，A的加速度大小为
【答案】CD
【解析】A．对物体A受力分析，水平方向受到拉力F和细线的拉力T，根据平衡条件可知
在细线被烧断的瞬间，细线对物体A的拉力T变为零，由牛顿第二定律得，物体A的加速度
故A错误；
B．在细线被烧断前，对C受力分析，由平衡条件得，弹簧对物体C的弹力
在细线被烧断的瞬间，细线对物体B的拉力变为零，对物体B，由牛顿第二定律得
则物体B的加速度
故B错误；
C．剪断弹簧的瞬间，弹簧的弹力突变为0，所以A、B成为连接体，加速度应为
对物体B
解得
即细线上的拉力大小瞬间突变为，故C正确；
D．撤去F的瞬间，细线拉力会突变，A和B的加速度相等，对物体A、B整体，由牛顿第二定律得
则物体A的加速度
故D正确。
故选CD。
【变式7-3】（多选）（2025·四川德阳·一模）如图A、B两物体叠放在光滑水平桌面上，轻质细绳一端连接B，另一端绕过定滑轮连接C物体，已知A和C的质量都是1 kg，B的质量是2 kg，A、B间的动摩擦因数是0.3，其它摩擦不计。由静止释放C，C下落一定高度的过程中（C未落地，B未撞到滑轮，g=10m/s2）。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两物体没有发生相对滑动
B．A物体受到的摩擦力大小为3N
C．细绳的拉力大小等于10 N
D．B物体的加速度大小是2.5 m/s2
【答案】AD
【解析】ABD．假设A、B不发生相对滑动，整体的加速度为
隔离对A分析
NN
可知假设成立，即A、B两物体不发生相对滑动，A所受的摩擦力为2.5N，加速度为，故B错误，AD正确；
C．隔离对C分析，根据牛顿第二定律得
解得
N
故C错误。
故选AD。
【变式7-4】（23-24高一上·天津·期末）如图所示，固定斜面上放一木板PQ，木板的Q端放置一可视为质点的小物块，现用轻细线的一端连接木板的Q端，保持与斜面平行，绕过定滑轮后，另一端可悬挂钩码，钩码距离地面足够高。已知斜面倾角θ=30°，木板长为L，Q端距斜面顶端距离也为L，物块和木板的质量均为m，两者之间的动摩擦因数为。若所挂钩码质量为2m，物块和木板恰能一起匀速上滑；若所挂钩码质量为其他不同值，物块和木板有可能发生相对滑动。重力加速度为g，不计细线与滑轮之间的摩擦，设接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）木板与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块和木板不发生相对滑动时，所挂钩码质量不能超过多大？
（3）选取适当质量的钩码可使木板由静止开始向上滑动，试讨论木板Q端到达斜面顶端所用时间t和钩码质量之间的关系。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）整个系统匀速时有
2mg=FT
FT=2mgsinθ＋μ22mgcosθ
解得
（2）要使二者发生不相对滑动，保证木板的加速度a1不大于物块的加速度a2，对物块有
μ1mgcosθ－mgsinθ=ma2
可得
对木块有
F′T－mgsinθ－μ1mgcosθ－μ22mgcosθ=ma1
对钩码有
m′g－F′T=m′a1
解得
联立解得
即物块和木板不发生相对滑动时，所挂钩码质量不能超过。
（3）若，二者相对滑动，木板的位移
物块的位移
由于L－s
m′g－2mgsinθ－μ22mgcosθ=（2m+m′）a3
解得
所以有
题型8 传送带模型
【例8】（24-25高一上·江苏苏州·期中）传送带是现代生活中应用比较广泛的装置，如图所示。相同的物体由静止被轻轻放在水平匀速转动的传送带左端，到达最右端前物体与传送带已达到相对静止。下列说法正确的是（ ）
A．物体在传送带上受到竖直向上的弹力是由物体向下形变产生的
B．物体放上传送带时，传送带受到物体水平向右的摩擦力
C．物体在传送带上先受到滑动摩擦力，后受到静摩擦力
D．如果只增大传送带的转速，物体受到的摩擦力大小不变
【答案】D
【解析】A．物体在传送带上受到竖直向上的弹力是由传送带向下形变产生的，故A错误；
BC．物体放上传送带时，物体的速度小于传送带速度，传送带受到物体水平向左的摩擦力，而物体受到向右的滑动摩擦力，做匀加速直线运动；过一段时间物体与传送带相对静止，一起做匀速直线运动，受到的摩擦力为零，故BC错误；
D．如果只增大传送带的转速，物体受到的摩擦力仍为滑动摩擦力，物体与传送带间的摩擦因数不变，压力不变，根据
可知物体受到的摩擦力大小不变，故D正确。
故选D。
【变式8-1】（24-25高一上·天津南开·开学考试）如图所示，传送带的速度恒为，转轮A和B的大小不计，（即传送带的总长度为2.4m）。某偷油老鼠跳到A点，并以相对传送带0.3m/s的速度向B点爬去，到达B点后立即回头仍以相对传送带0.3m/s的速度返回A点。回到A点后，该老鼠将再次向B点爬去，到达B点后再次返回……如此反复下去，且老鼠相对传送带的速度始终为0.3m/s。老鼠在A、B两端点速度转向所需的时间不计，从该老鼠由A点出发时开始计时，经过多长时间，传送带上将都会被老鼠身上的油渍污染（ ）
A．16s B．17s C．18s D．19s
【答案】B
【解析】从A到B，老鼠相对A、B两点的速度为
到达B点所用的时间为
s
这时被污染是B点左侧0.9m的部分；
老鼠开始回到A，从B到A，老鼠相对A、B两点的速度为
第一次回到A时用时
s
这时被污染的是上方的A段及下方B点左侧0.6m的部分；
老鼠又去B点，第二次到达B点时经过的都是被污染的部分，用时
s
被污染的变成上下都是B点左侧0.9m处；
老鼠开始回A，距最后需污染的传送带上那一点距离
2.4m 0.9m=1.5m
相对于带的速度为0.3m/s，故又经过
s=5s
总用时为
s
故选B。
【变式8-2】（2024高一上·全国·专题练习）如图所示，足够长的传送带与水平面夹角，以的恒定速率逆时针转动。小砖块以的初速度沿传送带方向从传送带底端滑上传送带，其与传送带间的动摩擦因数，取重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．砖块刚滑上传送带时的加速度大小为25
B．砖块在传送带上向上滑行的最远距离为3m
C．若增大为7，砖块返回出发点时间变长
D．若增大为7，砖块在传送带上留下的痕迹变长
【答案】D
【解析】A．砖块刚滑上传送带时，受到的滑动摩擦力沿传送带向下，根据牛顿第二定律可得
解得
故A错误；
B．砖块在传送带上向上滑行的最远距离为
故B错误；
C．在的情况下，砖块到达最高点后，继续以相同的加速度向下加速运动到与传送带共速，由于
砖块与传送带共速后一起做匀速运动回到出发点，上滑时间为
向下加速到与传送带共速所用时间和加速阶段的位移分别为
，
则匀速阶段时间为
则总时间
当时
当时
故C错误；
D．情况下，在砖块与传送带共速前，砖块一直相对于传送带向上运动，砖块在传送带上留下的痕迹长度为
则增大为7时，砖块在传送带上留下的痕迹变长，故D正确。
故选D。
【变式8-3】（24-25高一上·四川广元·月考）如图，传送带始终保持v = 0.4 m/s的恒定速率运行，煤块与传送带之间的动摩擦因数μ = 0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2。将一煤块（可视为质点）无初速度地放在A处，则下列说法正确的是（ ）
A．煤块一直做匀加速直线运动
B．煤块经过2 s到达B处
C．煤块到达B处时速度大小为0.4 m/s
D．煤块在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
【答案】C
【解析】AC．开始时煤块初速度为零，相对传送带向右滑动，设煤块刚开始时的加速度为a，煤块从放上传送带到与传送带共速过程中的位移为x1，由牛顿第二定律和运动学公式得
解得
，
由于x1 < LAB = 2 m，所以煤块是先做初速度为0的匀加速直线运动，与传送带共速后，做匀速直线运动，故煤块到达B处时速度大小为0.4 m/s，故A错误，C正确；
B．设煤块在传送带上做加速运动的时间为t1，做匀速运动的时间为t2，则
煤块到达B处所用时间
解得
，，
故B错误；
D．煤块在传送带上留下的摩擦痕迹长度为
故D错误。
故选C。
【变式8-4】（多选）（23-24高一上·湖北荆州·期末）传送带在社会生活生产中有着广泛的应用，一长的水平白色传动带顺时针匀速运行，如图1所示．现将一可视为质点的墨块自传送带的左端由静止释放，经墨块被送达传送带的右端，其速度－时间图像如图2所示，重力加速度g取．则下列判断正确的是（ ）
A．传动带的运行速度大小为
B．墨块在传送带上留下的黑色痕迹在墨块的左侧
C．墨块相对传送带滑动而留下黑色痕迹的长度为
D．若增大传送带的运行速度，墨块的传送时间最短可达
【答案】AC
【解析】A．根据图像可知，墨块先加速达到传送带速度与其一起匀速，所以传动带的运行速度大小为2m/s，故A正确；
B．由于墨块刚放到传送带上至与传送带共速时间内速度小于传送带的速度，传送带相对墨块向右运动，划痕也出现在墨块的右侧，故B错误；
C．根据题意，设加速时间为t，则
解得
所以加速阶段加速度
物块相对传送带滑动而留下痕迹的长度为
故C正确；
D．若增大传送带的运行速度，由于墨块与传送带间的摩擦力不变，可知加速度
则物体一直加速时间最短，有
代入数据解得
故D错误。
故选AC。
题型9 滑块─木板模型
【例9】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）如图甲所示，在粗糙的水平地面上有一长木板B，在其上叠放着木块A，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用一水平力F作用于B，A、B的加速度与F的关系如图乙所示，，则下列说法中正确的是（ ）
A．木板B与地面间的最大静摩擦力为N B．物体A、B的总质量为
C．A、B间的动摩擦因数为 D．长木板B与地面间动摩擦因数为
【答案】B
【解析】A．由图可知，、二者开始时对地静止，当拉力为时开始AB一起运动，故B与地面间的最大静摩擦力为
A错误；
C．当拉力为时，、发生相对滑动，此时的加速度为
当拉力为13N时，的加速度为
相对于滑动时，由牛顿第二定律，对有
联立解得AB之间的动摩擦因数为
C错误
B．对于，根据牛顿第二定律有
对整体有
联立解得
物体、的总质量为，B正确；
D．由乙图可知
解得与地面间的动摩擦因数为
D错误。
故选B。
【变式9-1】（2024高一上·全国·专题练习）如图甲所示，光滑斜面上有固定挡板A，斜面上叠放着物块B和木板C，木板C下端位于挡板A处，整体处于静止状态。木板C受到逐渐增大的沿斜面向上的拉力F作用时，木板C的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，则由图像可知（ ）
A．时，物块B和木板C发生相对滑动
B．斜面倾角等于
C．木板C的质量为2kg
D．木板C和物块B两者间的动摩擦因数为
【答案】D
【解析】A．由题图乙可知，当时木板C的加速度增大趋势变大，可知此时物块B和木板C发生了相对滑动，故当时物块B和木板C相对静止，故A错误；
BC．对木板C和物块B的整体分析，结合上述，当时有
则有
当时有
则有
联立可得
，
但是不能求解物块B和木板C各自的质量，故BC错误；
D．根据图乙可知，当时有
此时物块B和木板C开始发生相对滑动，此时物块B和木板C之间的摩擦力达到最大，则对物块B有
联立方程解得
故D正确。
故选D。
【变式9-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）如图，一长木板静止在水平地面上，一物块叠放在长木板上，整个系统处于静止状态，长木板的质量为，物块的质量为，物块与长木板间的动摩擦因数为，长木板与地面之间的动摩擦因数为，对长木板施加一个水平向右的拉力，拉力，作用后将力撤去，之后长木板和物块继续运动，最终物块没有从长木板上掉下来。物块可看作质点，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取 ，求∶
（1）刚开始运动时物块与长木板的加速度大小分别为多大；
（2）撤去拉力后，和运动的时间分别为多少；
（3）长木板的最短长度。
【答案】（1）， （2）1.1s，0.5s （3）0.6m
【解析】（1）假设物块与长木板一起运动，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
当物块与长木板之间相对滑动时，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
由于，则物块与长木板之间发生相对滑动。以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
（2）作用时间s过程中，物块做匀加速直线运动，物块速度的大小为
长木板做匀加速直线运动，长木板速度的大小为
撤去拉力时长木板的速度大于物块速度，则撤去拉力之后物块与长木板之间继续发生相对滑动，设再经二者共速，物块继续做匀加速运动，加速度为
长木板做匀减速直线运动，以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
设经过时间物块与长木板达到共同速度v，根据运动学公式
解得
s，
当两者速度相等之后，假设物块与长木板一起运动，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
此时物块与长木板之间的摩擦力为
N
物块与长木板之间的最大静摩擦力为
N
由于，则物块与长木板两者速度相等之后不会一起做减速运动，物块相对于长木板向前滑动，物块的加速度
停止的时间
s
物块运动的时间为
以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
停止的时间
长木板运动的时间为
（3）作用s时间过程中，物块的位移
m
长木板的位移
m
撤去拉力后0.1s，此过程中物块的位移为
m
长木板的位移
m
在s和s时间内物块相对于长木板向左滑动的距离为
m
当两者速度相等之后，物块减速过程运动位移为
长木板减速过程运动位移为
m
此过程中物块相对于长木板向前滑动的位移为
m
则，则长木板的最小长度为
m
【变式9-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）如图甲所示，粗糙水平地面上有一质量M=6kg的足够长木板B，将一质量m=2kg的小物块A（视为质点）轻放在木板B的右端，从t=0时刻起对B施加一水平向右的水平恒力F，经过t=4s后撤去恒力F，用传感器测得A、B的速度-时间图像如图乙所示，取g=10m/s2。求：
（1）A、B间的动摩擦因数μ1；
（2）B与地面间的动摩擦因数μ2，恒力F的大小；
（3）A、B均停止运动后A到B右端的距离L。
【答案】（1）0.1；（2）0.35；45N；（3）5.38m
【解析】（1）物块A在B上做加速运动，加速度为
根据
可得
μ1=0.1
（2）力F作用于木板B时的加速度
由牛顿第二定律
撤去F后木板B的加速度大小
由牛顿第二定律
联立解得
μ2=0.35
F=45N
（3）由图像可知5s时AB速度相等v=5m/s，此时A相对B向后的位移，即A距离B右端的距离为
AB速度相等以后，A做减速运动，加速度为；B减速运动的加速度
速度减为零时的位移
A速度减为零时的位移
A、B均停止运动后A到B右端的距离
题型10 物体的临界、极值问题
【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）如图甲所示，水平面上有一倾角为的光滑斜面，斜面上用一平行于斜面的轻质细绳系质量为的小球。当斜面以水平向右的加速度做匀加速直线运动，系统稳定时细绳上的张力随加速度的变化图像如图乙所示，段是直线，点坐标为，g取，，，则（ ）
A．
B．
C．当时小球恰好离开斜面
D．小球离开斜面之前，受到的支持力
【答案】C
【解析】ABC．段为直线，时，有
点表示此时小球恰好离开斜面，有
联立解得
，
则
AB错误，C正确；
D．小球离开斜面之前，对小球受力分析可得
，
解得
代入数据有
D错误。
故选C。
【变式10-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）如图所示，4块完全相同的质量均为m的长木板叠放在水平粗糙木地板上。一根不可伸长的水平轻绳将最上方的木板与左方竖直墙连接在一起，细绳处于恰好伸直但无拉力的状态。已知所有接触面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，本题中任意一个接触面间的最大静摩擦力都等于该接触面间的滑动摩擦力。现在对最下面的木板施加一个水平向右的、缓慢增加的拉力F。为了使最下面的木板运动起来，求F至少需要增加到多大（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从上向下看，第一、二块木板间的最大静摩擦力最小，第二、三木板间的最大静摩擦力为，第三、四木板间的最大静摩擦力为，因此第一、二木板最先出现相对运动。当F缓慢增大至下的木板相对静止的向右运动时，对下面三块木板整体分析，受到第一块木板对其水平向左的滑动摩擦力和地面对整体向左的滑动摩擦力，因此F至少需要增加到。
故选B。
【变式10-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）如图所示，质量为的物块放在水平桌面上，桌面的左端固定一光滑定滑轮，轻绳绕过定滑轮，一端连接在物块上，另一端吊着质量为的小球，物块与滑轮间的轻绳水平。由静止释放物块，当小球的质量为时，物块由静止开始在水平桌面上运动所用的时间为。已知重力加速度g取，不计空气阻力，物块与水平桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．若小球的质量增大，则轻绳的拉力也增大，但不可能超过
B．若小球的质量增大，轻绳的拉力也增大，但不可能超过
C．要使物块能运动，小球的质量至少大于
D．要使物块能运动，小球的质量至少大于
【答案】B
【解析】CD．根据运动学公式有
式中
，
代入解得
由牛顿第二定律有
解得
设当小球的质量为时小球和物块一起做匀速直线运动，则有
解得
而由静止释放时要使小球和物块组成的连接体运动，则小球的质量至少大于，故CD错误；
AB．设绳上的拉力为，对小球和物块分别由牛顿第二定律有
，
联立可得
可知，若小球的质量增大，轻绳的拉力也增大，但不可能超过，故A错误，B正确。
故选B。
【变式10-3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）如图所示，在水平面上固定放置一个倾角为的光滑斜面；一物块以的初速度从斜面底端滑上斜面，恰好能到达斜面顶端。g取。
（1）求斜面的长度L；
（2）在斜面上设置一个长度为的摩擦区，物块与摩擦区之间的动摩擦因数，要使木块在上滑过程中不滑出摩擦区，求摩擦区下边界到斜面底端的最小距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由物块的受力可知，物块运动的加速度为
根据速度位移公式可知
（2）当物块在上滑过程中恰好不滑出摩擦区时，摩擦区下边界到斜面底端距离最小，设最小距离为，到达摩擦区上边界时的速度恰好为零，则
代入数据解得摩擦区下边界到斜面底端的最小距离为
【变式10-4】（20-21高一上·陕西渭南·期末）如图所示，光滑水平面上静止放着长L=0.16m，质量为M=3kg的木板，一个质量为m=1kg的小物体（可视为质点）放在木板的最右端，m和M之间的动摩擦因数μ=0.1，现对木板施加一水平向右的拉力F。（g取）
（1）若木板与小物体相对滑动，求小物体的加速度；
（2）为使小物体不掉下去，F不能超过多少？
（3）如果拉力F=10N恒定不变，求小物体在木板上运动的时间。
【答案】（1），加速度方向水平向右；（2）；（3）
【解析】（1）小物体受到的滑动摩擦力提供加速度，根据牛顿第二定律可得
解得
且加速度方向水平向右。
（2）以小物体和木板为研究对象，根据牛顿第二定律
F=(M＋m)a
小物体刚要滑动时有最大静摩擦力提供加速度，即
mg=ma
联立并代入数据解得
F=(M＋m)a=(3＋1)×1N=4N
故F不能超过4N。
（3）刚开始时，当时，小物体相对于木板滑动，对木板根据牛顿第二定律
代入数据解得木板的加速度
经过时间t时小物体将会从木板上掉落，根据位移—时间关系可得
解得