江苏省徐州三十七中2015-2016学年高一（下）期中数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省徐州三十七中高一（下）期中数学试卷
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．直线x+y﹣2=0的斜率为　　，倾斜角为　　．
2．直线y=4x+8与两坐标轴所围成的三角形的面积为　　．
3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为　　．
4．斜率为﹣3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是　　．
5．在等差数列{an}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为　　．
6．在△ABC中，A=60°，B=45°，b=，则a=　　．
7．在△ABC中，若（a+b+c）（c+b﹣a）=3bc，则A=　　．
8．设=（sinx，），=（，
cosx），且∥，则锐角x为　　．
9．在△ABC中，已知==，则△ABC的形状是　　．
10．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，
a3，2a2成等差数列，则的值为　　．
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，ab=60，面积S△ABC=15，△ABC外接圆半径为，则c=　　．
12．已知数列{an}中，an=，设数列{an}的前n项和为Sn，则S12=　　．（用数字作答）．
13．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N
），关于数列{an}有下列命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1（n∈N
）；
②若Sn=an2+bn，（a，b∈R），则{an}是等差数列；
③若Sn=1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列；
④若{an}是等比数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m（m∈N
）也成等比数列；
其中正确的命题是　　．
14．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求cosβ的值．
16．已知数列{an}为等差数列，且a1=1．{bn}为等比数列，数列{an+bn}的前三项依次为3，7，13．求
（1）数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{an+bn}的前n项和Sn．
17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．
18．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣k在（0，]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
19．如图，现要在一块半径为1m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP=θ，平行四边形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应的θ的值．
20．已知数列，
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）令bn=an+1﹣an﹣1，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
　
2015-2016学年江苏省徐州三十七中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．直线x+y﹣2=0的斜率为　﹣1　，倾斜角为　　．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【分析】化直线方程的一般式为斜截式，求得斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．
【解答】解：由x+y﹣2=0，得y=﹣x+2，
∴直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，
设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），
则tanθ=﹣1，．
故答案为：﹣1，．
　
2．直线y=4x+8与两坐标轴所围成的三角形的面积为　8　．
【考点】直线的截距式方程．
【分析】分别求出直线在x、y轴上的截距，求出三角形的面积即可．
【解答】解：当x=0时，y=8，所以在y轴上截取的线段长为8．
当y=0时，x=2，所以在x轴上截取的线段长为2，
所以S△=×2×8=8，故答案为：8．
　
3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为　﹣　．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】先根据三角函数的诱导公式将cos167°化为﹣sin77°，再根据两角和的余弦公式可得答案．
【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°
=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°
=cos120°
=﹣．
故答案为：﹣
　
4．斜率为﹣3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是　3x+y﹣6=0　．
【考点】直线的一般式方程；直线的截距式方程．
【分析】由已知条件知，直线经过点（2，0），又斜率为﹣3，可用点斜式写出直线方程，并化为一般式．
【解答】解：在x轴上的截距为2的直线经过点（2，0），
又斜率为﹣3，
点斜式可得直线的方程为：y﹣0=﹣3（x﹣2），
即
3x+y﹣6=0，
故答案是：3x+y﹣6=0．
　
5．在等差数列{an}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为　52　．
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7可求a7，然后代入等差数列的求和公式=13a7即可求解
【解答】解：由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7=12
∴a7=4
∴=13a7=52
故答案为：52
　
6．在△ABC中，A=60°，B=45°，b=，则a=　　．
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理的式子，结合题中数据加以计算，即可得到边a的值．
【解答】解：∵△ABC中，A=60°，B=45°，b=，
∴由正弦定理，
得a===．
故答案为：
　
7．在△ABC中，若（a+b+c）（c+b﹣a）=3bc，则A=　60°　．
【考点】余弦定理．
【分析】已知等式左边利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：已知等式整理得：（a+b+c）（c+b﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+c2﹣a2+2bc=3bc，
即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
∵A为三角形内角，
∴A=60°．
故答案为：60°
　
8．设=（sinx，），=（，
cosx），且∥，则锐角x为　　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的化简求值．
【分析】利用向量共线的充要条件列出方程；利用三角函数的二倍角公式化简求出值．
【解答】解：∵
∴
sin2x=1
∵x是锐角
∴x=
故答案为
　
9．在△ABC中，已知==，则△ABC的形状是　等边三角形　．
【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．
【分析】根据正弦定理表示出a，b和c，分别代入已知的中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形．
【解答】解：根据正弦定理得到：
===2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入中得：
==，
即tanA=tanB=tanC，得到A=B=C，
所以△ABC的形状是等边三角形．
故答案为：等边三角形
　
10．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，
a3，2a2成等差数列，则的值为　3+2　．
【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．
【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求得答案．
【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，
即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，
求得q=1±，
∵各项都是正数，
∴q＞0，q=1+，
∴==q2=3+2．
故答案为：3+2
　
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，ab=60，面积S△ABC=15，△ABC外接圆半径为，则c=　3　．
【考点】正弦定理．
【分析】由题意和三角形的面积公式可得sinC，再由正弦定理可得c值．
【解答】解：∵△ABC中ab=60，面积S△ABC=15，
∴S=absinC=×60×sinC=15，
解得sinC=，
∵△ABC外接圆半径R=，
∴由正弦定理可得c=2RsinC=2×=3．
故答案为：3．
　
12．已知数列{an}中，an=，设数列{an}的前n项和为Sn，则S12=　1443　．（用数字作答）．
【考点】数列的求和．
【分析】由等比数列和等差数列的前n项和公式，利用分组求和法能求出S12．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，
Sn=（20+22+24+26+28+210）+（3+7+11+15+19+23），
=+，
=1443，
故答案为：1443．
　
13．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N
），关于数列{an}有下列命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1（n∈N
）；
②若Sn=an2+bn，（a，b∈R），则{an}是等差数列；
③若Sn=1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列；
④若{an}是等比数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m（m∈N
）也成等比数列；
其中正确的命题是　①②③　．
【考点】命题的真假判断与应用；数列的概念及简单表示法．
【分析】对于①，直接由等差数列和等比数列的定义列式判断；
对于②和③，利用给出数列的和求通项的方法分类求出通项，然后由等差数列和等比数列的定义加以验证；
对于④，举反例加以说明．
【解答】解：对于①，若{an}既是等差数列又是等比数列，则an+1﹣an=d，，
即（q﹣1）an=d．
若q=1，有an=an+1（n∈N
）．
若q≠1，则为常数，则有an=an+1（n∈N
）．
∴命题①正确；
对于②，由Sn=an2+bn，（a，b∈R），
当n=1时，a1=S1=a+b，
当n≥2时，
=2an﹣a+b．
当n=1时a1适合上式．
∴an=2an﹣a+b．满足an+1﹣an=2a为常数．
∴命题②正确；
对于③，若Sn=1﹣（﹣1）n，
当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，
=（﹣1）n+1+（﹣1）n﹣1，
当n为奇数时，an=2．当n为偶数时，an=﹣2．
∴{an}是等比数列．
命题③正确；
对于④，{an}是等比数列，如1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，…
则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m（m∈N
）不成等比数列．
命题④错误．
∴正确的命题是：①②③．
故答案为：①②③．
　
14．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为　2　．
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用余弦定理与三角形的面积公式，化简为C的三角函数，通过两角和化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出表达式的最大值．
【解答】解：在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，
所以=
因为c2=a2+b2﹣2abcosC，
所以==，
△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，
所以，
即absinC=c2，
∴
=
=2sinC+2cosC
=2sin（C+）≤2．
的最大值为：2．
故答案为：2．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求cosβ的值．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．
【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．
（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．
【解答】解：（1）∵，从而．
又∵，∴．
…
利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，
解得
．
…
（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．
…
∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…
==．
…
　
16．已知数列{an}为等差数列，且a1=1．{bn}为等比数列，数列{an+bn}的前三项依次为3，7，13．求
（1）数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{an+bn}的前n项和Sn．
【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（1）∵已知数列{an}为等差数列，且a1=1．{bn}为等比数列，数列{an+bn}的前三项依次为3，7，13，所以我们易得到三个关于b1和公差d及公比q的方程，解方程后，易得数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）由（1）易得数列{an+bn}的通项公式，利用裂项法易得数列{an+bn}的前n项和Sn．
【解答】解：①设公差为d，公比为q
∵数列{an+bn}的前三项依次为3，7，13
∴
又a1=1
∴
∴an=2n﹣1，bn=2n
②∵an=2n﹣1，bn=2n
∴an+bn=（2n﹣1）+2n
∴Sn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
=
=n2+2n+1﹣2
　
17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；
（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，
sinA≠0，
∴，
得，
∵C∈（0，π），
∴．
（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵△ABC为斜三角形，
∴cosA≠0，
∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a
（1）
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴，（2）
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴．
　
18．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣k在（0，]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）根据函数的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域，数形结合求得k的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x+cos2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），
故它的最小正周期为=π．
（2）由令2kπ+≤2x+≤2kπ+，
求得kπ+≤x≤kπ+，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（3）函数g（x）=f（x）﹣k在（0，]上有两个不同的零点，
即函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点．
∵在（0，]上，2x+∈（，π]，f（x）∈[0，2]，
结合f（x）的图象可得k∈（，2）．
　
19．如图，现要在一块半径为1m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP=θ，平行四边形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应的θ的值．
【考点】函数的表示方法；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）根据题设条件合理建立方程，从而导出S关于θ的函数关系式．
（2）利用三角函数求出S的最大值及相应θ的值．
【解答】解：①分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB=，
则OE=QE=PD．
所以MN=PQ=DE=OD﹣OE=cosθ﹣sinθ．
则S=MN×PD=（cosθ﹣sinθ）×sinθ=sinθcosθ﹣sin2θ，θ∈（0，）．
（2）S=sin2θ﹣（1﹣cos2θ）=sin2θ+cos2θ﹣=sin（2θ+）﹣．
因为0＜θ＜，所以＜2θ+＜，
所以＜sin（2θ+）≤1．所以当2θ+=，即θ=时，S的值最大为m2．
即S的最大值是m2，相应θ的值是．
　
20．已知数列，
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）令bn=an+1﹣an﹣1，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【考点】等比关系的确定；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（Ⅰ）根据点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，可得2an+1﹣an=n，代入计算可得a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）利用bn=an+1﹣an﹣1，及2an+1﹣an=n，即可证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）求得数列的前三项，求得λ，再验证即可求得结论．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，∵点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，
∴2an+1﹣an=n
∵，∴，
同理，，；
（Ⅱ）证明：∵bn=an+1﹣an﹣1，2an+1﹣an=n
∴bn+1=an+2﹣an+1﹣1=﹣an+1﹣1=（an+1﹣an﹣1）=bn，
∵b1=a2﹣a1﹣1=﹣
∴数列{bn}是以﹣为首项，为公比的等比数列；
（Ⅲ）解：存在λ=2，使数列是等差数列．
由（Ⅱ）知，，，
∵an+1=n﹣1﹣bn=n﹣1+，∴an=n﹣2+，
∴Sn==
由题意，要使数列是等差数列，则
∴2×=﹣λ+，∴λ=2
当λ=2时，
=，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
　
2016年10月16日