2026届高三阶段性检测 (三)
数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上.用 2B
铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，
答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 集合A= x∣0≤x≤2 ,B= x∈N ∣x<2 ，则A∩B= ( )
A. 1 B. 0,1 C. 0,1,2 D. {x ∣ 0≤ x< 2}
2. 已知复数 z满足 2z+ z = 3- i，则 z的虚部为 ( )
A. - 1 B. - i C. 2 D. 2i
3. 已知直线 l，m，n是三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 l∥m，l∥n，m α，n α，则 l∥ α B. 若m∥ α，m∥n，则n∥ α
C. 若 l⊥ α，l∥m，α⊥ β，则m∥ β D. 若 α⊥ β，α∩ β=m，l α，l⊥m，则 l⊥ β
a2
4. 若数列 an 满足
n+1 = p(p为常数，n∈N *)，则称 an 为“等方比数列”．甲：数列 an 是等方比
a2n
数列；乙：数列 an 是等比数列，则 ( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
5. 已知定义域为 R的函数 f x 为偶函数，f x+1 为奇函数，且当 x ∈ 0,1 时，f x = 2x- 2，则
( )
A. f x+2 = f x B. f log 3 = 2 C. f 2025 2 > 0 D. f -1 < 03 2
6. 若一个小球与一个四棱台 每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 S1，S2，侧面积为 S，则
·1·
( )
A. S2=S1S2 B. S=S1+S2 C. S = S1+ S2 D. S= 2 S1S2
7. 若函数 f x = x3+ ax2+ bx+ c有极值点 x1，x2，且 f x1 = x1，则关于 x的方程 3 f x 2+ 2af x +
b= 0的不同实根个数是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 下列对于函数 f x = x+a cos2x-sinx 的图象说法正确的是：( ).
A. 既可能存在对称中心，又可能存在对称轴 B. 可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C. 不可能存 对称中心，但可能存在对称轴 D. 既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 在正四棱锥M-ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P,Q分别是AB和MC的中点，则 ( )
A. PQ MA B. PQ 平面MAD C. PQ⊥MD D. PQ⊥平面MBD
10. 已知 a> b> c，且 2a，2b，2c成等差数列，则下列说法正确的是 ( )
A. a< b+ 1 B. b> a+c
2
C. 2a，2b+1，2c+2不可能成等差数列 D. 22a，22b，22c不可能成等差数列
11. 在实践课上，小明使用 8块全等的三角形薄板 (不计厚度)，仅通过拼接得到一个三棱柱，则 ( )
A. 所用薄板的形状是等腰三角形
B. 所用薄板的形状是直角三角形
C. 所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为 2
D. 所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知等比数列 an 的前n项和Sn= a 2n+ b n a,b∈R ，则 an 的公比为 ．
13. 若G为△ABC的重心，BG CG= 0，则 cosA的最小值为 ．
14. 已知函数 f x = sinωx ω>0 ，若 x1∈ 0,π ， x2∈ π,2π ，使得 f x1 + f x2 = 0，则ω的取值范
围为 ．
四、本题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 an , bn 满足 a1= 0,1+ an an+1=-2an+1,bn= an+ 1.
(1) 1求证：数列 是等差数列；bn
(2)令C = 1n ，求数列 Cn 的前n项和T .
bn 2n+1
n
2
·2·
16. 已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，AD BC，AB⊥AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)若PA=AB=BC= 1 AD，求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值．
2
17. 在△ABC中，内角A，B C 1+sinA 1+sinB， 所对的边分别为 a，b，c，且 = .
cosA cosB
(1)判断△ABC的形状；
(2)设AB= 2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积.
18. 已知函数 f x = ln x+a + e-bx- a a,b∈R ，f x 是 f x 的导函数．
(1)是否存在 a，b，使得 x= 0为 f x 的极值点？若存在，求 a，b满足的条件，若不存在，请说明理由：
(2)若 1< a< 2，b= 1，x0为 f x 最小的零点，证明：当 x∈ -a,0 时，f x < f x0 ．
·3·
19. 设 n是正整数，有穷整数列A:a1,a2, ,an(ai∈ Z,1≤ i≤ n)．若存在正整数 k(k≤ n)满足：对 1≤
i≤ n- k+ 1，都有 ai+ ai+1+ +ai+k-1> 0恒成立，则称A为P k 数列，数列A的所有项之和记为
S A ．
(1)判断A:1, -1,3, -2,1是否为P 3 数列？是否为P(4)数列？请说明理由：
(2)若n= 9，A是P 2 数列，且 a1+ a9= 5，求S A 最小值；
(3)若n= 11，A是P 3 数列，且 a1= 1，若将A各项重新排列后能构成等差数列，求S A 的最小
值．
·4·2026届高三阶段性检测 (三)
数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级填写在答题卡上.用 2B
铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，
答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 集合A= x∣0≤x≤2 ,B= x∈N ∣x<2 ，则A∩B= ( )
A. 1 B. 0,1 C. 0,1,2 D. {x ∣ 0≤ x< 2}
【答案】B
【详解】易知B= x∈N ∣x<2 = 0,1 ，
又A= x∣0≤x≤2 ，可得A∩B= 0,1 .
故选：B
2. 已知复数 z满足 2z+ z = 3- i，则 z的虚部为 ( )
A. - 1 B. - i C. 2 D. 2i
【答案】A
【详解】设复数 z= a+ bi(a,b∈R)，
因为 2z+ z = 3- i，可得 2(a+ bi) + (a- bi) = 3a+ bi= 3- i，
3a=3所以 =- ，解得 a= 1,b=-1，所以 z= 1- i，所以复数 z的虚部为-1.b 1
故选：A.
3. 已知直线 l，m，n是三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 l∥m，l∥n，m α，n α，则 l∥ α B. 若m∥ α，m∥n，则n∥ α
C. 若 l⊥ α，l∥m，α⊥ β，则m∥ β D. 若 α⊥ β，α∩ β=m，l α，l⊥m，则 l⊥ β
【答案】D
【详解】若 l∥m，l∥n，m α，n α，则 l∥ α或 l α，故选项A不正确；
若m∥ α，m∥n，则n∥ α或n α，故选项B不正确；
·1·
若 l⊥ α，l∥m，α⊥ β，则m∥ β或m β，故选项C不正确；
由面面垂直的性质定理可知选项D正确.
故选：D
a2
4. 若数列 a n+1 *n 满足 = p(p为常数，n∈N )，则称 an 为“等方比数列”．甲：数列 an 是等方比
a2n
数列；乙：数列 an 是等比数列，则 ( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
a2 a 2
【详解】若 an 为等比数列，设其公比为 q，则
n+1 = n+1 = q 2 = p，p为常数，a2n an
所以 a2n 成等比数列，即 an 是等方比数列，故必要性满足.
若 an 是等方比数列，即 a2n 成等比数列，则 an 不一定为等比数列，
2
例如 2,22, -23, -24,25, a...，有 n+1 = ±2 2 = 4，满足 an 是等方比数列，但 a2 n 不是等比数列，充分an
性不满足.
故选：B
5. 已知定义域为 R的函数 f x 为偶函数，f x+1 为奇函数，且当 x ∈ 0,1 时，f x = 2x- 2，则
( )
A. f x+2 = f x B. f log 2 2025 23 = C. f > 0 D. f -1 < 03 2
【答案】B
【详解】依题意可知 f x = f -x ，f -x+1 =-f x+1 ；
所以 f - x+1 +1 =-f x+1 +1 ，即 f -x =-f x+2 ，
因此 f x =-f x+2 ，即 f x+2 =-f x+4 ，
所以可得 f x = f x+4 ，即 f x 是以 4为周期的周期函数，
对于A，由分析可知 f x =-f x+2 ，即A错误；
对于B，由 f x =-f -x+2 ，可知 f log23 =-f -log23+2 =-f log 42 ；3
log 4
显然 log 42 ∈ 0,1 ，所以 f log 4 2 32 = 2 - 2= 4 - 2=- 2 ，3 3 3 3
所以 f log23 =-f log 42 3 =
2
，即B正确；
3
2025 1 1
对于C，易知 f = f +4×253 = f 1 = 2 2 - 2< 0，可得C错误；2 2 2
对于D，显然 f -1 = f 1 = 21- 2= 0，即D错误.
故选：B
6. 若一个小球与一个四棱台 每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 S1，S2，侧面积为 S，则
( )
A. S2=S1S2 B. S=S1+S2 C. S = S1+ S2 D. S= 2 S1S2
·2·
【答案】C
【详解】设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球
心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径
R，且棱台的高是 2R，
则四棱台的体积为V= 1 RS 11+ RS2+ 1 RS= 1 S3 3 3 3 1+S2+ S1S2 2R，
得S=S1+S2+ 2 S1S2= S1+ S 22 ，即 S = S1+ S2，
故选：C
7. 若函数 f x = x3+ ax2+ bx+ c有极值点 x1，x2，且 f x1 = x1，则关于 x的方程 3 f x 2+ 2af x +
b= 0的不同实根个数是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【详解】∵函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c有极值点 x1,x2，
∴ f x = 3x2+ 2ax+ b，且 x1,x2是方程 3x2+ 2ax+ b= 0的两个根，
不妨设 x1< x2，由 3( f(x))2+ 2af(x) + b= 0可得 f x = x1或 f x = x2，
易得当 x∈ -∞,x1 , x2,+∞ 时，f x > 0，f x 单调递增，
当 x∈ x1,x2 时，f x < 0，f x 单调递减，
又 f x1 = x1，则可画出 f x 的大致图象如下：
如图所示，满足 f x = x1或 f x = x2有 3个交点，
即关于 x的方程 3( f(x))2+ 2af(x) + b= 0的不同实根有 3个.
故选：A.
8. 下列对于函数 f x = x+a cos2x-sinx 的图象说法正确的是：( ).
A. 既可能存在对称中心，又可能存在对称轴 B. 可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C. 不可能存 对称中心，但可能存在对称轴 D. 既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
【答案】B
【详解】令 f x = 0，得 x+ a= 0或 cos2x- sinx= 0即 2sin2x+ sinx- 1= 0，
当 x+ a= 0时，解得 x=-a；
当 2sin2x+ sinx- 1= 0时，解得 sinx= 1 或 sinx=-1，
2
·3·
x= π得 + 2kπ,k∈ Z 5π或 x= + 2kπ,k∈ Z或 x= 3π + 2kπ,k∈ Z，
6 6 2
2(3k-2)π
即 x= 3π + ,k∈ = 3π + 2(3k-1)πZ x ,k∈ Z x= 3π + 2 3kπ或 或 ,k∈ Z，
2 3 2 3 2 3
即 x= 3π + 2kπ ,k∈ Z.
2 3
3π 2kπ
所以 f x 有定零点 x= + ,k∈ Z和动零点 x=-a，
2 3
所以若 f x 存在对称中心或对称轴，则其横坐标只能为 x=-a，
π kπ
而定零点也应具有对称性，所以-a= + ，k∈ Z，
2 3
f x = x- π kπ此时： - cos2x-sinx ，k∈ Z，2 3
f -2a-x =- x- π - kπ 2 3 cos2 x-
2kπ
-sin3 x-
2kπ 3 ，k∈ Z，
①当 k= 3m m∈Z 时，f x + f -2a-x = 0，
此时 f x 存在对称中心 -a,0 ；
②当 k= 3m+ 1 m∈Z 或 k= 3m+ 2 m∈Z 时，
cos 2 x- 2kπ - sin x- 2kπ = cos 2 x- 2π - sin x- 2π3 3 3 3
cos 2 x- 4π或 - sin x- 4π ，3 3
此时 f x ≠ f -2a-x ，所以 f x 不存在对称轴.
综上，f x 存在对称中心 -a,0 ，不存在对称轴.
故选：B.
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 在正四棱锥M-ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P,Q分别是AB和MC的中点，则 ( )
A. PQ MA B. PQ 平面MAD C. PQ⊥MD D. PQ⊥平面MBD
【答案】BC
【详解】
如图，取MD中点E，连接AE,EQ，
∵P,Q分别是AB和MC的中点，四棱锥M-ABCD是正四棱锥，
∴EQ DC AP 1 1且EQ= DC= AB=AP，即四边形APQE是平行四边形，
2 2
对于A，因为PQ AE,AE∩MA=A，所以PQ与MA不平行，故A错误；
对于B，因为PQ AE,AE 平面MAD,PQ 平面MAD，所以PQ 平面MAD，故B正确；
对于C，因为MA=AD=MD，E是MD中点，所以AE⊥MD，又因为PQ AE，所以PQ⊥MD，
故C正确；
对于D，连接AC,BD交于点O，连接MO，
·4·
因为四棱锥M-ABCD是正四棱锥，所以MO⊥平面ABCD，AC⊥BD，
因为MO⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以MO⊥AC，
则由AC⊥BD，MO⊥AC，BD 平面MBD,MO 平面MBD,BD∩MO=O，可证得AC⊥平面
MBD，
又因为PQ AE,AE∩AC=A，所以PQ与AC为异面直线，
如果PQ⊥平面MBD，则PQ AC与题意矛盾，故D错误.
故选：BC.
10. 已知 a> b> c，且 2a，2b，2c成等差数列，则下列说法正确的是 ( )
A. a< b+ 1 B. b> a+c
2
C. 2a，2b+1，2c+2不可能成等差数列 D. 22a，22b，22c不可能成等差数列
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意有：2× 2b= 2a+ 2c，则 2b+1= 2a+ 2c> 2a a< b+ 1，故A正确；
a+c
对于B，由 2× 2b= 2a+ 2c≥ 2 2a 2c= 2 2a+c= 2× 2 2 ，因 a> b> c，等号不成立，
a+c a+c
则可得 2b> 2 2 b> ，故B正确；
2
对于C，令 2a=m,2b=n,2c= t，由 a> b> c得m>n> t，又 2a，2b，2c成等差数列，
所以 2n=m+ t，若 2a,2b+1,2c+2成等差数列，则 2× 2b+1= 2a+ 2c+2 4n=m+ 4t，
2n=m+t n=
3
2 t由 = + ，这表明存在满足 a> b> c的 a,b,c，4n m 4t m=2t
使得 2a,2b+1,2c+2可以成等差数列，故C错误；
对于D，假设 22a,22b,22c成等差数列，仿照C项设法，即得m2,n2,t2成等差数列，
2
所以 2n2=m2+ t2 2n=m+t m+t，由 2 2= 2+ m
2+ t2= 2× ，即m2+ t2- 2mt= m-t = 0，
2n m t2 2
所以m= t与m>n> t矛盾，即 22a,22b,22c不可能成等差数列，故D正确；
故选：ABD.
11. 在实践课上，小明使用 8块全等的三角形薄板 (不计厚度)，仅通过拼接得到一个三棱柱，则 ( )
A. 所用薄板的形状是等腰三角形
B. 所用薄板的形状是直角三角形
C. 所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为 2
D. 所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
【答案】ACD
【详解】
·5·
由于三棱柱的侧面是平行四边形，因此 8个三角形中的 2个作为上下底面，
其余 6个两两拼成 3个平行四边形，这 3个平行四边形作为 3个侧面.
记该三棱柱为ABC-A1B1C1，BC= a,AC= b,AB= c，
无论如何拼接侧面，侧棱长 d必与三角形的某一边相等，在侧面BCC1B1中，有 d= b或 d= c，
同理，“d= a或 d= b”，“d= a或 d= c”都是真命题，
这说明 a、b、c中至少有两个相等，即所用薄板的形状是等腰三角形，故A正确；
不妨设 a= b，那么在 3个侧面中：
有 2个是边长为 a的菱形，且一条对角线长为 c；
另 1个是邻边长分别为 a和 c的平行四边形，且一条对角线长为 a.
在平行四边形ABB A 中，不妨设∠A AB< 90° (若∠A AB= 90°1 1 1 1 ，则两条对角线长都大于 a)，则AB
= c，
由于CA=CB=AA1=A1B，设O为AB的中点，连接OC,OA1,
则AB⊥OC,AB⊥OA1，OC∩OA1=O OC、OA1 平面CA1O,所以AB⊥平面CA1O，
又CA1 平面CA1O，则AB⊥CA1，又A1B1 AB，所以A1B1⊥CA1，
那么在Rt△CA1B1中，CB1>CA1，所以CA1=C1B，
因为 C1B = C1A1+A1B = CA+A1O+OB = CO+A 1O = 2 O O ，其中O 为A1C中点，
那么A1C= 2OO ，所以CO⊥OA1，则CO⊥平面ABB1A1，
又CO 底面ABC，则平面ABB1A1⊥底面ABC，故D正确；
2 A C 2 2
所以A1C= AC2-AO2+AA2-AO2= 2a2- c ，AC = 2 CC2- 11 1 1 = 2a2+ c ，而 2a2 2 2
> c，那么AC1> c，
2 3
因此只可能有A1C= c，解得 c= a，故B错误；3
AO c 3 2 6
侧棱与底面所成角的余弦值即为 = = ，则正弦值为 1- 3 = ，故正切值为AA1 2a 3 3 3
6
3 = 2，故C正确.
3
3
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知等比数列 an 的前n项和Sn= a 2n+ b n a,b∈R ，则 an 的公比为 ．
【答案】1
【详解】当公比为 1时，Sn=na1，此时 a= 0,b≠ 0，即可
a (1-qn)
当公比不为 1时，S = 1n - ，此时不管 a,b取何值，S = a 2
n
n + b n都无法得到这种形式，所以1 q
这种情况不成立，
故答案为：1
13. 若G为△ABC的重心，BG CG= 0，则 cosA的最小值为 ．
4
【答案】 ##0.8
5
【详解】设D,E分别为AC,AB中点，则BD∩CE=G，
·6·
∵G为△ABC的重心，
2 2 1 ∴BG= BD= × BA+BC = 1 BA+BC = 1 BC-AB CG= 2 CE= 2， ×3 3 2 3 3 3 3
1 CB+CA = 1 CB+CA =- 1 BC+AC ，2 3 3
1 2 ∴BG CG=- BC-AB BC+AC =- 1 BC + AC-AB BC-AB AC =9 9
- 1
2 2
BC +BC -AB AC = 1 AB
2
AC - 2 BC = 0，
9 9 9
记 AB = c， AC = b， BC = a，
1 2
则 bccosA- 2 a2= 0 2a，即 cosA= ，
9 9 bc
2
a2= b2+ c2- 2bccosA ∴ cosA= 2b +2c
2-4bccosA = 2b 2c又 ， + - 4cosA，
bc c b
∴ cosA= 2 b + c ≥ 2 × 2 b c = 4 (当且仅当 b= c时取等号)，5 c b 5 c b 5
∴ cosA 4的最小值为 .
5
4
故答案为： .
5
14. 已知函数 f x = sinωx ω>0 ，若 x1∈ 0,π ， x2∈ π,2π ，使得 f x1 + f x2 = 0，则ω的取值范
围为 ．
3 3 7【答案】 , 4 2 ∪ ,+∞4
【详解】设 t1∈ 0,ωπ ,t2∈ ωπ,2ωπ ，g t = sint，
若 x1∈ 0,π ， x2∈ π,2π ，使得 f x1 + f x2 = 0，
即 t1∈ 0,ωπ ,t2∈ ωπ,2ωπ ，使得 g t1 + g t2 = 0，
即-g t1 的值域是 g t2 值域的子集，
①若 0<ωπ≤ π 1，即，0<ω< ，g t1 ,g t2 均大于 0不符合题意；2 2
②若ωπ≥ 2π，即ω≥ 2时，g t1 ,g t2 的值域均为 -1,1 ，符合题意；
π
③若 <ωπ≤ π 1，即 <ω≤ 1，-g t1 的值域为 -1,0 ，g t 2 2 2 max> 0，
只需 g t2 min=-1，即 2ωπ≥
3π 3 3
，解得，ω≥ ，此时 ≤ω≤ 1；
2 4 4
④若 π<ωπ≤ 5π 5，即 1<ω≤ ，此时-g t1 的值域为 -1,-sinωπ ，g t2 的值域为 -1,sin2ωπ ，4 4
·7·
2ωπ∈ 2π, 5π ，ωπ∈ π, 5π ，2ωπ- 2π= 2 π π ωπ-π ，2 ωπ-π ∈ 0, ，ωπ- π∈ 0, ，2 4 2 4
由 y= sinx在 0, π 上单调递增，2
结合图象可知 sin2ωπ>-sinωπ，所以，此时满足题意；
5π <ωπ≤ 3π 5 3⑤若 ，即 <ω≤ ，此时 g t2 的值域为 -1,1 ，满足题意；4 2 4 2
3π
⑥若 <ωπ< 2π 3，即 <ω< 2，-g t1 的值域为 -1,1 ，2 2
要使 g t
7π 7 7
2 的值域为 -1,1 ，则 2ωπ≥ ，解得ω≥ ，即 ≤ω< 2；2 4 4
3 3
综上所述，ω的取值范围为 , 4 2 ∪
7
,+∞4 .
3 3 7
故答案为： , 4 2 ∪ ,+∞4
四、本题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 an , bn 满足 a1= 0,1+ an an+1=-2an+1,bn= an+ 1.
(1) 1求证：数列 是等差数列；bn
(2) 1令Cn= ，求数列 Cn 的前n项和T 2n+1 n
.
bn 2
2 n 4 1 2n+1
【答案】(1)证明见解析 (2)Tn= - +9 3 9 2
【小问 1详解】
因为 1+ an a =-2a a = -1n+1 n+1，所以 n+1 2+ ，an
= -1 + = 1+an 1 - 1 = 2+ab 1 1所以 n+1 + + ，所以
n
+ - + = 1，2 an 2 an bn+1 bn 1 an an 1
1 = 1 1又 ，所以 是以 1为首项，1为公差的等差数列.b1 bn
【小问 2详解】
(1) 1由 可知 =n, ∴C n
b n
=
22n+1n
n 2n+1 2n+3 2n+1
令Cn= = An+B 1 - A n+1 +B 1 = 1 An+B- 1 A n+1 - B ，
22n+
1 2 2 2 4 4
4 4 4 4 1 2n+1
对照系数可得A= ,B= ,∴Cn= d3 9 n- dn+1(其中 dn= n+ )，3 9 2
2n+1
Tn=C1+C2+ +Cn= d1- d2+ d2- d3+ +dn- dn+1= d1- d = 2 - n + 4 1n+1 .9 3 9 2
16. 已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，AD BC，AB⊥AD．
·8·
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)若PA=AB=BC= 1 AD，求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值．
2
【答案】(1)证明见解析 (2) 7 6
18
【小问 1详解】
由PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，故PA⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PA=A，AB、PA 平面PAB，
故AD⊥平面PAB，由AD BC，则BC⊥平面PAB，
又BC 平面PBC，故平面PAB⊥平面PBC；
【小问 2详解】
由PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，故PA⊥AB，
故PA、AD、AB两两垂直，
故可以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设AB= 1，
则A 0,0,0 、B 1,0,0 、P 0,0,1 、D 0,2,0 、C 1,1,0 ，
则PD= 0,2,-1 、BD= -1,2,0 、CD= -1,1,0 ，
设平面BPD与平面CPD 法向量分别为m= x1,y1,z
1 、n= x2,y2,z2 ，
m PD=2y -z =0 n PD=2y -z =0
则有 1 1 ，
2 2 ，
m BD=-x 1+2y1=0 n CD=-x2+y2=0
取 x1= 2，x2= 1，则 y1= 1、z1= 2，y2= 1，z2= 2，
m = 2,1,2 n 即 、 = 1,1,2 ，
设平面BPD与平面CPD的夹角为 θ，
m n
则 cosθ= cosm ,n = = 2+1+4 = 7 6 ，
m n 4+1+4 1+1+4 18
即平面BPD 7 6与平面CPD夹角的余弦值为 .
18
·9·
17. △ABC A B C a b c 1+sinA 1+sinB在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，，，且 = .
cosA cosB
(1)判断△ABC的形状；
(2)设AB= 2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积.
【答案】(1)等腰三角形 (2) 3 .
【小问 1详解】
2 2
sinA A2 +cos 2 sin
B
2 +cos
B
由二倍角公式得 = 2
，
cos2A -sin2A cos2B2 2 2 -sin
2B
2
sinA2 +cos
A
2 sin
B
2 +cos
B
∴ = 2 ，整理得 sinA cosB - cosA sinB = 0，
cosA -sinA cosB2 2 2 -sin
B 2 2 2 2
2
即 sin A - B2 2 = 0.
∵A,B∈ 0,π ∴ A - B ， = 0，即A=B，即△ABC为等腰三角形.
2 2
【小问 2详解】
由 (1)及题设，有AC=BC= 2CD，
2 2
AC22 2 2 +AD2- AC 3AC +AD2
∴ cos∠CAD= AC +AD -CD = 4 = 4
2AC AD 2AC AD 2AC AD
= 3AC + AD ≥ 2 3AC AD = 3 ，
8AD 2AC 8AD 2AC 2
π AD 3
而∠CAD为三角形内角，∴∠CAD≤ ，当且仅当 = 时，等号成立.
6 AC 2
2 2
即∠CAD π AD 3 CD 1 AD CD的最大值为 ，此时由 = ，而 = ，故 + = 1，
6 AC 2 AC 2 AC AC
故AD2+CD2=AC2 π，可得△ACD为直角三角形且∠ACD= ，
3
又由 (1)可得△ABC为正三角形，∴△ABC的面积S= 3 × 22= 3 .
4
18. 已知函数 f x = ln x+a + e-bx- a a,b∈R ，f x 是 f x 的导函数．
(1)是否存在 a，b，使得 x= 0为 f x 的极值点？若存在，求 a，b满足的条件，若不存在，请说明理由：
(2)若 1< a< 2，b= 1，x0为 f x 最小的零点，证明：当 x∈ -a,0 时，f x < f x0 ．
【答案】(1)x= 0不是极值点，理由见解析 (2)证明见解析
【小问 1详解】
当 a≤ 0时，x= 0无意义；
当 a> 0时，若 x= 0为 f x 的极值点，则 f x = 1 - be-bx f + 0 =
1 - b= 0 1，即 = b，
x a a a
1
a x
f x = 1 - be-bx= 1 - 1 = ae -x-a
1
+ + ，又 x+
x
a> 0,ae a > 0，
x a x a 1 1ae a
x
x+ a xa ae
1 x 1 x
令 t x = ae a - x- a,t x = e a - 1，
所以 x∈ -a,0 ,t x < 0,t x 单调递减；x∈ 0,+∞ ,t x > 0,t x 单调递增；
所以 t x ≥ t 0 = ae0- 0- a= 0，所以 f x ≥ 0恒成立，所以 f x 单调递增，故 x= 0不是极值点．
综上所述，不存在 a,b，使得 x= 0为 f x 的极值点．
·10·
【小问 2详解】
当 1< a< 2时，x∈ (-a, +∞)，f x0 = ln x -x00+a + e - a= 0，
要证：x∈ -a,0 时，ln(x+ a) + e-x- a< 1 - e-x0+ ，x0 a
由于 f(-a) →-∞，f(1- a) = ea-1- a> 0 x0∈ (-a,1- a)．
x
f (x) = 1 - e-x= e -x-a+ ．x a (x+a)ex
令 g(x) = ex- x- a，g(-a) = e-a> 0，g(0) = 1- a< 0．
则存在-a故 f x ≤ f m = ln m+a + e-m- a．
ln(m+ a) + e-m- a< 1只要证： -x0+ - e m+ e
-m- a< 1+ - a-ln x0+a m+ e
-m
x0 a x0 a
< 1 + ln x +a
x0+a 0
记 h(x) = x+ e-x，只需证：h(m)< h ln x0+a ．
由于m< 0，ln x0+a < 0，当 x< 0时，h (x) = 1- e-x< 0．
则 h(x)在 (-∞,0)上单调递减，于是只需证：m> ln x0+a m> x0 f(m)> 0．
由 f m > f 1-a > 0，得证.
19. 设 n是正整数，有穷整数列A:a1,a2, ,an(ai∈ Z,1≤ i≤ n)．若存在正整数 k(k≤ n)满足：对 1≤
i≤ n- k+ 1，都有 ai+ ai+1+ +ai+k-1> 0恒成立，则称A为P k 数列，数列A的所有项之和记为
S A ．
(1)判断A:1, -1,3, -2,1是否为P 3 数列？是否为P(4)数列？请说明理由：
(2)若n= 9，A是P 2 数列，且 a1+ a9= 5，求S A 最小值；
(3)若n= 11，A是P 3 数列，且 a1= 1，若将A各项重新排列后能构成等差数列，求S A 的最小
值．
【答案】(1)数列A不是P 3 数列，是P(4)数列，理由见解析
(2)S A 的最小值为 7
(3)S A 的最小值为 11
【小问 1详解】
①判断A是否为P(3)数列：
当 k= 3时，n- k+ 1= 5- 3+ 1= 3，所以 1≤ i≤ 3；
当 i= 2时，a2+ a3+ a4= (-1) + 3+ (-2) = 0；
不满足对 1≤ i≤n- k+ 1，都有 ai+ ai+1+ +ai+k-1> 0恒成立，
所以A不是为P(3)数列；
②判断A是否为P(4)数列：
当 k= 4时，n- k+ 1= 5- 4+ 1= 2，所以 1≤ i≤ 2，
根据P(k)数列的定义，需要判断 i= 1，i= 2时 ai+ ai+1+ ai+2+ ai+3的取值情况
i= 1时，a1+ a2+ a3+ a4= 1+ (-1) + 3+ (-2) = 1> 0；
i= 2时，a2 + a3 + a4 +a5 = (-1) + 3+ (-2) + 1= 1> 0；
满足对 1≤ i≤n- k+ 1，都有 ai+ ai+1+ +ai+k-1> 0恒成立，
所以A为P(4)数列.
·11·
【小问 2详解】
因为n= 9，A为P(2)数列，所以对 1≤ i≤ 8，都有 ai+ ai+1> 0恒成立，
又因为数列A为有穷整数列，所以 ai+ ai+1≥ 1；
则 a1+a2 + a2+a3 + + a7+a8 + a8+a9 ≥ 8，且由 a1+ a9= 5，
可得 a1+ 2(a2+ a3+ +a8) + a9= 5+ 2(a2+ a3+ +a8)≥ 8，
3
解得 a2+ a3+ +a8≥ ，又各项为整数，则 a2+ a3+ +a8≥ 2，2
所以S A = a1+ a2+ +a9= a1+a9 + a2+a3+ +a8 ≥ 5+ 2= 7；
为使S A 最小，令 a1= 3，a9= 2，
构造数列A:3, -1,2, -1,2, -1,2, -1,2.
由 3+ (-2) = (-1) + 2= 2+ (-1) = 1> 0，可知满足P 2 数列条件，
此时S A = 3+ 4× 1= 7，所以S A 的最小值为 7.
【小问 3详解】
因为n= 11，所以数列A共 11项.
设重排后所得等差数列的公差为 d(不妨设 d≥ 0)，中间项为m(m∈ Z)，
设该等差数列 b1,b2,b3, ,b11：m- 5d,m- 4d, ,m- d,m,m+ d, ,m+ 4d,m+ 5d，
则S(A) = 11m(m∈ Z).
由A为P(3)数列，即 k= 3，则n- k+ 1= 9，
所以对 1≤ i≤ 9，都有 ai+ ai+1+ ai+2> 0恒成立，
又各项均为整数，则 ai+ ai+1+ ai+2≥ 1，又 a1= 1，
所以S(A) = a1+ a2+ (a3+ a4+ a5) + (a6+ a7+ a8) + (a9+ a10+ a11)≥ 4+ a2；
且S(A) = a1+ (a2+ a3+ a4) + a5+ (a6+ a7+ a8) + (a9+ a10+ a11)≥ 4+ a5；
同理可得S(A)≥ 4+ a8；S(A)≥ 4+ a11；
四式相加可得，
4S(A)≥ 16+ a2+ a5+ a8+ a11
≥ 16+ (b1+ b2+ b3+ b4) = 16+ (m- 5d) + (m- 4d) + (m- 3d) + (m- 2d)
= 16+ 4m- 14d，
则有 44m≥ 16+ 4m- 14d，化简得 20m≥ 8- 7d.
假设S(A) = 11m≤ 0，则m≤ 0，且 b1≤ b2≤ ≤ b6=m≤ b7≤ ≤ b10≤ b11，
则由 a1= 1> 0，可知 b j= 1>m，j≥ 7，
则 d= b7- b6≤ b j- b6= 1-m，则 20m≥ 8- 7d≥ 8- 7(1-m) = 1+ 7m，
故 13m≥ 1，这与m≤ 0矛盾；
故S(A)> 0，又S(A) = 11m(m∈ Z)，则S(A)≥ 11.
显然，当 d= 0时，数列A:1,1,1, ,1满足题意，且S(A) = 11.
故S(A)的最小值为 11.
综上所述：S A 的最小值为 11.
·12·
