青岛二中2025-2026学年第一学期12月份阶段练习
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知命题，则的否定是
A． B．
C． D．
3．函数的部分图象大致是
A B
C D
4．函数的定义域为
A. B.
C. D.
5．已知函数，则的零点所在大致区间为
A． B． C． D．
6．如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫作圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为
A． B． C． D．
7．若实数满足，则的大小关系不可能是
A． B． C． D．
8．已知函数的对称中心在直线上，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则下列各项正确的有
若且，则
若，则
若，则
10．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是
A．
B．函数为奇函数
C．函数的图象的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
11．对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断正确的是
A． B．是的一个周期
C．是奇函数 D．若，则
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12． .
13．已知函数，则函数的零点个数为 .
14．已知函数的最大值为，且对任意的恒成立，则的最大值为 .
四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合，集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角终边上一点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.
（1）求；
（2）求点坐标.
（3）求的值.
17．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知（为常数），且．
（1）写出的值，并求的表达式；
（2）若用总量为4个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由．
18．已知.
（1）求不等式的解集；
（2）设和均为实数，且满足以下两个条件，求的取值范围.
①当时，的最大值为1，此时的取值集合记为；
②对任意且，不等式恒成立.
设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根、且，
请将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域.青岛二中2025-2026学年第一学期12月份阶段练习
高一数学试题（参考答案）
1. D【解析】因，，
故.
故选：D.
2. D【解析】由题意可知，命题为存在量词命题，该命题的否定为：.
故选：D.
3. A【解析】易知的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除答案B，D；
又，排除选项C．
故选:A．
4. B【解析】由解析式知，可得，故函数的定义域为.
故选：B
5. C【解析】由解析式知，则，故函数的定义域为，
而在上均单调递增，
所以在上单调递增，而，
所以的零点所在大致区间为.
故选：C
6. A【解析】由题意，圆弧六边形的面积，
圆弧六边形的周长，即，
所以.
故选：A
7. D【解析】令，得，
在同一坐标系内作出函数的图象，
则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标，
观察图象得，当时，；当时，；当时，，
因此ABC都可能，D不可能.
故选：D
8. C【解析】由，则，
所以，即函数的对称中心为，
由在直线上，则，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
综上，的最小值为.
故选：C
9. BD【解析】对于A选项，若且，不妨取，，此时，A错；
对于B选项，若，则，
所以，B对；
对于C选项，若，，不妨取，，，此时，C错；
对于D选项，，
即，当且仅当时，等号成立，D对.
故选：BD.
10. AD【解析】对于A选项，由图象可知，，
函数的最小正周期满足，
所以，故，此时，
因为，可得，
因为，所以，则，解得，A对；
对于B选项，由A选项可知，
由三角函数图象变换可得，
所以函数为非奇非偶函数，B错；
对于C选项，对于函数，
由，可得，
所以函数的图象的对称轴为直线，C错；
对于D选项，对于函数，
由得，
所以函数的单调递增区间为，D对.
故选：AD.
11. ACD【解析】令，则，可得恒成立，则，
令，则，A对，
令，则，即是奇函数，C对，
令，则，则，显然不是的一个周期，B错，
将位置作交换得，而，
所以，联立，
所以，令，且，则，
令，则，即，D对.
故选：ACD
12. 【解析】.
故答案为：.
13. 【解析】令，令，即，
当时，由，解得或；
当时，由，解得.
当时，由，可得，，该方程无解，
由，可得，解得，
由，可得，解得或；
当时，由，解得，
由，解得，
由，解得.
综上所述，函数的零点构成的集合为.
故函数的零点个数为.
故答案为：.
14. 【解析】令，则函数、的定义域均为，
因为，所以，
则.
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，
所以的最小值为.
因为对恒成立，所以，即.
即的最大值为.
故答案为：.
15. （1）因为集合，集合，且，
当时，，即，此时，符合题意；
当时，，即，
则有或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
（2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集，
当时，，即，此时是的真子集，符合题意；
当时，则，解得，
当时，为的真子集，符合题意，
当时，为的真子集，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
16. （1）因为为角终边上一点，由三角函数的定义可得.
（2）由题意可知，
由三角函数的定义可得，，
由题意可知，所以，
，
易知点的坐标为，即点.
（3）由（2）中的结论可知，
所以.
17. （1）依题意，．所以．
又因为，所以，解得．
所以．
（2）设第一、二次漂洗分别使用，个单位量的洗涤溶液，其中，，，且．
假设原污渍量为，．
因为，所以第一次漂洗后，残留的污渍量为．
因为，
所以经过二次漂洗后，残留的污渍量为．
．
因为，，所以，所以．
当且仅当时，上式等号成立．
所以的取值范围是．
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，，，
所以当时，即时，
取得最大值，最大值为81．
此时残留的污渍量最少，其值为．
所以，用总量为4个单位量的洗涤溶液，对该污渍漂洗两次，当两次漂洗使用的洗涤溶液都为2个单位量时，去污效果最好．
因为，所以，用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次，残留的污渍量为．
因为，
所以“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好.
18. （1）因为，
当时，由，解得，此时；
当时，由，可得，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）①当时，函数在上为增函数，此时，解得，
当时，因为函数在上单调递增，且最大值为；
又函数在上也为增函数，
要使函数在上的最大值为，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为；
②因为不等式恒成立，
所以，
即对任意的恒成立，
可得，
因为，所以，，
所以，
所以，
由基本不等式可得，
又由，
则当且仅当，即当时，等号成立，故.
因此，实数的取值范围是.
（3）因为，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，.
①当时，方程变为，
即，即，
因为函数在上单调递增，此时，
②当时，方程变为，
即，可得，
因为函数在上单调递增，所以，
因为、分别为方程、的两根，且，
所以，即，此时，
令，则该函数在上为增函数，
由可得，所以，故，
所以，
所以
，且该函数的定义域为.
