第二十一章 一元二次方程 单元提优卷（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 单元提优卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10 小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·四川眉山东坡区期末)关于x的方程( 是一元二次方程，则（ ）.
A. m=1 B. m≠1 C. m=-3 D. m=1或m=-3
2.若关于x 的一元二次方程 有一根为x=2025，则关于x 的一元二次方程 必有一根为（ ）.
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
3.(2025·福建泉州南安期末)已知m 是关于x 的一元二次方程 的一个实数根，且满足 则a 的值为（ ）.
A. - 3 B. 1 C. - 3或-1 D. - 3或1
4.若一元二次方程 的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0)，则 等于( ).
A. m B. - m C. 2m D. - 2m
5.(2024·黑龙江中考)关于x 的一元二次方程( 有两个实数根，则m 的取值范围是( ).
A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2
6.(2024·四川乐山期末)定义一种新运算 其中a>0,b>0,当x (x-3)=2时,x的值为( ).
A. - 1 B. 4 C. 4或-1 D. 3
7. (2025·江苏镇江句容期中)《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何 ”大意为：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少 利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为(1丈=10尺，1尺=10寸)（ ）.
8.(2024·南通中考)红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则列方程为( ).
B. 7200(1+2x)=8450
D. 8450(1-2x)=7200
9.(安徽宣城二中自主招生)已知三个关于x 的一元二次方程 b=0恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.已知关于x 的一元二次方程 下列说法正确的有（ ）.
①若 ac>0,则方程 必有两个不相等的实数根；
②若a+b+c=0,则
③若c 是方程 的一个根,则一定有 ac+b+1=0成立;
④若x 是一元二次方程 的根，则
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·湖南岳阳汨罗期中)将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 .
12.若m 是方程 的根，则
13.(2024·青岛中考)如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
14.(2024·烟台中考)若一元二次方程 的两根为m，n，则 n 的值为 .
15.(2024·湖南邵阳期末)在△ABC 中, 且关于x 的方程 有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 .
16.(2024·湖南湘潭期末)对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a，b中的较大值,如: max{2,5}=5.按照这个规定,方程 的解为 .
17.(2024·南京中考)已知 是关于x的方程( (a,b,c是有理数，a≠0)的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， .
18.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如 和(x-2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.若关于x的方程 的参数同时满足a+b+c=0和a-b+c=0,且该方程与(x+2)(x-n)=0互为“同伴方程”,则n= .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)解方程:
20.(6分) (2025·湖北宜昌夷陵区期中)设一元二次方程 在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.
21.(8分)(2025·福州一中一模)已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：该方程一定有两个实数根；
(2)若x=2为该方程的一个解，求k 的值.
22.(8分)(2024·南充中考)已知 是关于x的方程 的两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围；
(2)若k<5,且k,. 都是整数，求k 的值.
23.(8分) (2025·湖南张家界永定区期中)我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c,d]=ac-bd,，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：|
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m 的取值范围.
24.(8分)(2024·湖南株洲建宁实验中学期末)定义：如果关于x 的一元二次方程 bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,，那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程 是否为黄金方程，并说明理由；
(2)已知 是关于x 的黄金方程，若a 是此黄金方程的一个根，求a 的值.
25.(10分)(2025·宁夏银川期中)如图,在 中， 现有两个动点 P，Q分别从点A 和点 B 同时出发，其中点 P 以2cm/s的速度，沿AB 向终点 B 移动；点Q以1cm/s的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止.连接PQ，设两个动点运动时间为x秒.
(1)用含x 的代数式表示BQ,PB 的长度.
(2)当x为何值时， 为等腰三角形.
(3)是否存在x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由.
26.(12分)(2024·陕西商洛期末)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降了x元.
(1)完成下列表格(用含x 的式子填空).
每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元
降价前 20 40
降价后
(2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利1050元，且对消费者更有利
(3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元
1. C[解析]根据一元二次方程的定义得出|m+1|=2且m-1≠0,解得m=-3.故选C.
2. B [解析]
整理，得
设t=x+1,则
因为关于x的一元二次方程( 有一根为x=2025,
所以 有一个根为t=2025,
则x+1=2025,解得x=2024,
所以一元二次方程 必有一根为x=2024.故选B.
3. A[解析]∵m是关于x 的一元二次方程 2=0的一个实数根,∴m -3m+a+2=0,∴m -3m+ ∴a=1或-3.∵在方程 中， 解得a≤ ,∴a=-3.故选A.
4. D [解析]∵ 的两个实数根中较小的一个根是m, 解得 故选 D.
5. D[解析]根据题意，得 解得m≤4且m≠2.故选D.
6. B [解析]· ,其中a>0,b>0,∴x (x-3)=2,即 两边平方,得x(x-3)=4,整理得.x -3x-4=0,∴(x-4)(x+1)=0,∴x =4,x =-1.∵x>0,x-3>0,∴x>3,∴x=4.故选 B.
7. A 8. A
9. D[解析]设x 是它们的一个公共实数根，则 把上面三个式子相加，整理，得( 因为 所以a+b+c=0,即a+b=-c.由题易知,abc≠0,于是 3.故选 D.
10. B [解析]①∵ac>0,∴△=b -4ac的符号无法确定，故①错误;②∵a+b+c=0,∴a=-b-c,∴方程为 ,故②正确;③当c=0时,c 是方程 的根，但是b+1不一定等于0，故③错误；④∵x 是一元二次方程 的根,∴x = 故④正确.故选B.
11.-5
12.6 [解析]∵m 是方程. 的根， 1=0,即
13.2 [解析]设小路宽为 x m,根据题意,得(16-2x)(12- 解得x=2或x=12(舍去),∴小路宽为2m.
14.6 [解析]∵一元二次方程 的两根为m，
15.5 [解析]∵关于x的方程. 有两个相等的实数根，. 解得a=10 或a=-10(舍去),. 84 为直角三角形，且AC 为斜边，∴AC边上的中线长为
16. x=-2或 [解析]当x<1时,方程 max{1,为 即 解得 (不合题意，舍去)， ;当x>1时,方程 3为 即 解得 (不合题意，舍去).
[解析]关于x的方程( +c)=0(a,b,c是有理数,a≠0)中,x-2=0或 是关于x的方程( bx+c)=0的一个根, 且将 代入原方程，可得( 整理，得
∵a,b,c为有理数, 解得 将 代入 整理得 8x+1=0,解得. 或 则该方程的另外两个根为2和
18.1或-1 [解析]∵同时满足a+b+c=0和a-b+c=0，∴关于x的方程( 的两个实数根分别为
∵(x+2)(x-n)=0,∴x+2=0或x-n=0,
∴(x+2)(x-n)=0的根为x=-2或x=n.
与(x+2)(x-n)=0互为“同伴方程”,∴n=1或n=-1.
19.(1)分解因式,得(x-1)(x-5)=0,
∴x-1=0或x-5=0,∴x =1,x =5.
(2)2x +x-2=0,∵a=2,b=1,c=-2,
20.∵使这个方程有两个不相等的实数根，
即b >4c,∴②③均可.
选②解方程，则这个方程为.
选③解方程，则这个方程为
21.(1)∵a=1,b=-(k-2),c=-k,
∴该方程一定有两个实数根.
(2)把x=2代入方程. 得 2)-k=0,解得 ∴k的值为
22.(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴△>0，
4=4k-4>0,解得k>1.
(2)∵1当k=2时，方程为. 解得 当k=3或4时，此时方程解不为整数.
综上所述，k的值为2.
23.(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意,得x(mx+1)-m(2x-1)=0,整理得
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根， 且m≠0,解得 且m≠0.
24.(1)一元二次方程 是黄金方程.理由如下：由题意，得a=2,b=5,c=3,∴a-b+c=2-5+3=0,
∴一元二次方程 是黄金方程.
是关于x的黄金方程，
∴3+b-(-a)=0,∴b=-a-3,
∴原方程为
∵a是此黄金方程的一个根，
即
∴(a+1)(2a-3)=0,解得a=-1或
25.(1)∵∠B=90°,AC=10cm,BC=6cm,
∴AB=8,∴BQ= xcm,PB=(8-2x) cm.
(2)由题意，得8-2x=x,∴x= ,∴当 时，△PBQ为等腰三角形.
(3)假设存在x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于20cm ,则
解得
假设成立，所以当x=2时，四边形APQC 面积的面积等于20cm .
26.(1)20+2x 40-x
(2)由题意,得(20+2x)(40-x)=1050,
整理，得
解得 (不符合题意，舍去)，
故当衬衫的单价降25元时，商场销售这批衬衫每天可盈利1050元，且对消费者更有利.
(3)由题意,得(20+2x)(40-x)=1500,整理，得
∴此方程没有实数根.故不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元.