北京市第十一中学顺义学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（图片版，含答案）

2025 北京十一学校顺义学校高一（上）期中
数 学
总分：150 分 时间：120 分钟
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
已知集合 A ={x | x +1 0}
B = x N | 2 x 3
1. ， ，则 A B =（ ）
A. {x | 1 x 3} B. 0,1,2,3 C. {x | 1 x 3} D. 1,0,1,2
a = 40.1,b = 20.62. 已知 ,c = log4 0.6，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A. c a b B. c b a
C. a b c D. b a c
3 2
3. 函数 f (x) = x + x 5的一个零点所在区间为（ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
x 1, x 1
A. f ( x) = x， g (x) = x2 B. f (x) = x 1 ， g (x) =
1 x, x 1
x2 1 2
C. f (x) = x +1， g (x) = D. f (x) = lgx ， g (x) = 2lgx
x 1
5. 下列函数中，既是偶函数又在 (0,+ )上是增函数的是（ ）
1 2
A. f (x) = B. f (x) = x +1 C. f (x) = lg x D. f (x) = (x 2)
x
6. 已知 a,b,c都是实数，则“ a b”是“ac2 bc2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：m / s ）可以表示为
Q
v = 5log Q2 ，其中 表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为Q1时的飞行速度为 v1，耗
10
Q2
氧量的单位数为Q2 时的飞行速度为 v2，若 v2 v1 = 7.5( m / s)，则 的值为（ ）
Q1
2
A. 2 B. 3 4 C. 2 2 D.
4
8. 已知 f (x) = log
4
1 x，则不等式 f (x) (x 1)的解集为（ ）
4 3
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1 1 1
A. , 1,+ ) B. , ,+
4 4 2
1 1 1
C. 0,
4
,+ D. 0, 1,+ )
2 4
9. 已知函数 f ( x) 的图象关于直线 x =1 对称，当 x2 x1 1时， f (x 2 ) f (x1 ) (x2 x1 ) 0 恒成
1
立．设 a = f ,b = f (2) ,c = f (3)，则 a，b，c的大小关系为（ ）
2
A. c a b B. b a c C. a c b D. c b a
10. 悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨
深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬
x x
链线对应的函数表达式为 f (x) = ae +be （ a，b是非零常数，无理数 e = 2.71828 ）.给出下列三个
结论：
①当 a =1，b = 1时， f ( x)为奇函数；
②当 ab 0 时， f ( x)为单调函数；
③若 f ( x)的最小值为 2，则a + b的最小值为 2.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 函数 y = 3x 1+ ln (1 x)的定义域是__________.
2 3 2
12. 30 +83 = __________，
lg6 lg + lne = __________.
5
13. 已知 f ( x)是定义在 4, 4 上的奇函数，当 x (0, 4 时， f ( x)的图象如图所示，则不等式
xf (x) 0的解集为__________.
2x 1, x 0
14. 已知 f (x) = ，当 a = 2时， f ( x)的单调减区间为______；若 f ( x)存在最小值，则实2
x ax, x 0
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数 a的取值范围是______．
15. 如图，函数 f ( x)的图象为折线 ACB，函数 g (x)是定义域为R 的奇函数，满足
g (4 x) g (x) = 0，且当 x (0, 2 时， g (x) = f (x)，给出下列四个结论：
① g (0) = 0 ；
②函数 g (x)在 ( 4,8)内有且仅有 3 个零点；
7
③ g g (0) g (3)；
2
1
④不等式 f (x) log2 (x +1) 的解集 1, 1,2 .
2
其中正确结论的序号是__________.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
2
16. 已知全集U = R ， A = x | x 3 ，B = x | x 4x 5 0 ，
（1）求 UB， A B， U (A B) .
（2）若集合C ={x | x a}且 A C = A，求实数a的取值范围.
2
17. 已知函数 f ( x)是定义在R 上的偶函数，且当 x 0 时， f (x) = x + 2x；
（1）已知函数 f ( x)部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数 f ( x)的单调递减区间；
（2）求出函数 f ( x)的解析式；
（3）若关于 x的函数 y = f (x) k有且只有 4 个不同的零点，求实数 k的取值范围.（只需写出结论）
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2
18. 已知函数 f (x) = x 2ax + 2 .
（1）当a = 2时，设 x1, x2 是 f (x) = 0 的两个根，求 x1 x2 的值；
（2）若函数 f ( x)在区间 3,3 上是单调函数，求 a的取值范围.
（3）求 f ( x)在区间 3,3 的最小值
2
19. 已知函数 f (x) = m+ (m R)
3x +1
（1）若函数 f ( x)为奇函数，求实数m的值；
（2）判断函数 f ( x)在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若函数 f ( x)为奇函数，求满足不等式 f (2t 1)+ f (t 2 2) 0 的实数 t的取值范围.
20. 为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现
有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量 y（单位：mg）随时间 x（单位： h）的变
化情况如图所示，在药物释放的过程中 y与 x成正比，药物释放完毕后， y与 x的函数关系为 y = a x b
1 1
（ a，b为常数），其图象经过 A( ,1)，B(1, ) ，根据图中提供的信息，解决下面的问题.
5 16
（1）求从药物释放开始， y与 x的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到0.25 mg 以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操
时间为 40 分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.
21. 对于定义域为 I 的函数，如果存在区间[m,n] I ，同时满足下列两个条件：
① f (x) 在区间[m,n]上是单调的；
②当定义域是[m,n]时， f (x) 的值域也是[m,n]．则称[m,n]是函数 y = f (x) 的一个“黄金区间”．
1
（1）请证明：函数 y =1 (x 0) 不存在“黄金区间”．
x
2
（2）已知函数 y = x 4x + 6在 R上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
(a2 + a)x 1
（3）如果[m,n]是函数 y = (a 0) 的一个“黄金区间”，请求出n m的最大值．
a2x
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参考答案
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B C B C D B D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
3x 1 0 1
11. 【答案】由题意得 ，解得 x 1，
1 x 0 3
1
则其定义域为 ,1 .
3
1
故答案为： ,1 .
3
2 2
12. 【答案】30 +83 =1+ (23 )3 =1+ 4 = 5，
3 2 5 5 lg6 lg + lne = lg 6+ lg + 2 = lg 6 + 2 = 3 .
5 3 3
故答案为：5；3.
13. 【答案】由图象可知：当 x (0,1)时， f (x) 0 ； f (1) = 0；当 x (1, 4 时， f ( x) 0；
因为 f ( x)是定义在 4, 4 上的奇函数，则 f (0) = 0，
且当 x 4, 1)时， f (x) 0 ； f ( 1) = 0；当 x ( 1,0)时， f ( x) 0；
则若 xf (x) 0，则 x 1,1
故答案为； 1,1 .
2x 1, x 0
14. 【答案】当 a = 2时， f (x) = ，
x2 2x, x 0
x
当 x 0 时函数 f (x) = 2 1单调递增，
2
当 x 0 时函数 f (x) = x2 2x = (x 1) 1，
所以函数 f ( x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+ )单调递增，所以函数 f ( x)的单调减区间为 (0,1)；
2x 1, x 0
2x 1, x 0
因为函数 f (x) = = 22 2 a a ，
x ax, x 0 x , x 0
2 4
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a
当 0 a 0并且 f (0) = 0，所以函数 f ( x)在R 上单调递增，没有最小值；
2
a a2
当 0 a 0，要想函数 f ( x)有最小值则满足 1即 a 2 .
2 4
故答案为： (0,1)； 2,+ ) .
15. 【答案】因为函数 g (x)是定义域为 R 的奇函数，
所以 g( x) = g(x)，故 g( 0) = g(0) ，即 g(0) = 0，故①正确；
又 g (4 x) g (x) = 0，所以 g(4 x) + g( x) = 0，所以 g(4+ x) + g(x) = 0，
由图象可知 g(2) = 0，令 x = 2，所以 g( 2) = 0 ，令 x = 0 则 g(4) = 0 ，令 x = 2 则 g(6) = 0，故函数
g (x)在 ( 4,8)内有 2,0, 2, 4,6共 5 个零点，故②错误；
7 7 1
因为 g = g 4 = g ， g(0) = 0， g (3) = g(3 4) = g(1)，
2 2 2
1
由图象可知， g 0， g(1) 0 ，又 g(0) = 0，
2
7
所以 g g (0) g (3)，故③正确；
2
2x + 2, 1 x 0
由图象，利用待定系数法可知 f (x) = ，
x + 2,0 x 2
在同一坐标系下，作出 y = f (x) ， y = log2 (x +1) 的图象如下，
1
由图易知 x1 = ， x2 =1，
2
1
所以结合图象知不等式 f (x) log2 (x +1) 的解集 1, 1,2 ，故④正确.
2


故答案为：①③④
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）
2
因为 A = x | x 3 = ( 3,3)，B = x x 4x 5 0 = ( , 1) (5,+ )，
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所以 UB = 1,5 ， A B = ( 3, 1)，
又因为 A B = ( ,3) (5,+ )，所以 U (A B) = 3,5 .
（2）
因为 A C = A，所以 A C ,
所以 a 3 .
17. 【答案】（1）
解：函数 f ( x)的图象，如图所示
由图象可得，函数 f ( x)的递减区间为 ( , 1]，[0,1] .
（2）
解：设 x 0 ，则 x 0，
2
因为函数 f ( x)是R 上的上的偶函数，且当 x 0 时， f (x) = x + 2x，
2
可得 f (x) = f ( x) = ( x) + 2( x) = x2 2x，
x2 + 2x, x 0
所以函数 f ( x)的解析式为 f (x) = . 2
x 2x, x 0
（3）解：关于 x的方程 y = f (x) k有且仅有 4 个不同的零点，
即方程 f (x) k = 0 有且仅有 4 个不同的实数根，
即函数 y = f (x)与 y = k的图象有 4 个不同的交点，
结合图象知，当 k ( 1,0) 时，此时函数 y = f (x)与 y = k的图象有 4 个不同的交点，
所以实数 k的取值范围为 ( 1,0) .
18. 【答案】（1）
当 a = 2时， f (x) = x2 4x + 2，令 f (x) = 0 ，可得 x2 4x + 2 = 0，
因为 x1, x2 是 f (x) = 0 的两个根，可得 x1 + x2 = 4, x1x2 = 2，
则 x1 x2 = (x1 + x2 )
2 4x1x = 4
2 4 2 = 2 2 . 2
（2）
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2
由函数 f (x) = x 2ax + 2，可得其图象开口向上，对称轴为 x = a，
要使得函数 f ( x)在区间 3,3 上是单调函数，则满足 a 3或 a 3，
所以实数 a的取值范围 ( , 3] [3,+ ) .
（3）
由函数 f (x) = x2 2ax + 2，可得其图象开口向上，对称轴为 x = a，
当 a 3时，函数 f ( x)在区间 3,3 上单调递增，所以 f (x) = f ( 3) =11+ 6a；
min
当 3 a 3时，函数 f ( x)在区间 3,a 单调递减，在 a,3 上单调递增，
所以 f (x) = f (a) = 2 a2 ；
min
当 a 3时，函数 f ( x)在区间 3,3 上单调递减，所以 f (x) = f (3) =11 6a .
min
19. 【答案】（1）
函数 f ( x)的定义域为 R，
因为 f ( x)为奇函数，所以 f ( x) = f (x) ，
2 2
所以m+ = m ，
3 x +1 3x +1
2 3x 2
所以 2m = = 2，
3x +1 3x +1
所以m = 1 .
（2）
函数 f ( x)在 R上单调递减.
下面用单调性定义证明：
任取 x1, x2 R，且 x1 x2 ，则
2 2 2(3x2 3x1 )
f (x1) f (x2 ) = m+ m = x
3 1
x
+1 3 2 +1 (3x1 +1)(3x2 +1)
因为 y = 3x在 R上单调递增，且 x x2 x11 x2 ，所以 3 3 0 ，
又 (3x1 +1)(3x2 +1) 0，所以 f (x1) f (x2 )，
所以函数 f ( x)在 R上单调递减.
（3）
因为 f ( x)为奇函数，所以 f ( x) = f (x) ，
f (2t 1)+ f (t 2由 2) 0 得
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f (2t 1) f (t 2 2)，
即 f (2t 1) f (2 t 2 )，
由（2）可知,函数 f ( x)在 R上单调递减，
所以 2t 1 2 t 2 ，
即 t 2 + 2t 3 0 ，解得 t 3或 t 1，
所以 t的取值范围为 ( , 3) (1,+ ) .
20. 【答案】（1）
1 1
依题意，当0 x 时，设 y = kx，因函数 y = kx的图象经过点 A，即1= k，解得 k = 5 ，
5 5
1 1 1 1 41 1
又当 x = 时， b1= a5 ，解得b = ，而图象过点 B，则 = a
5 = a 5 ，因此
5 5 16
5 5
1
a = ( )4 = (2 4
1
)4 = ，
16 32
1
5x,0 x 5
所以 y与 x的函数关系式是 y = . 1
1 x 1( ) 5 , x
32 5
（2）
1
1 x 1
由(1)知，因药物释放完毕后有 y = ( ) 5 ， x ,+ ，
32 5
1
1 x 1 3
则当空气中每立方米的药物含量降低到0.25 mg 以下，有 ( ) 5 0.25 = ，解得： x ，
32 4 5
因此至少需要 36 分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为 40 分钟，
所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.
1 f (m) = m
21. 【答案】解：（1）证明：由 y =1 为 (0,+ )上的增函数，则有 ，
x f (n) = n
1
1 = x x2
1
∴ x +1= 0 ，无解，∴ y =1 (x 0) 不存在“黄金区间”；
x x
（2）记[m,n]是函数 y = x2 4x + 6的一个“黄金区间” (m n) ，
由 y = (x 2)2 + 2 2及此时函数值域为[m,n]，可知m≥ 2
2
而其对称轴为 x = 2 ，∴ y = x 4x + 6在[m,n]上必为增函数，
令 x2 4x + 6 = x，∴ x2 5x + 6 = 0，∴ x1 = 2, x2 = 3
故该函数有唯一一个“黄金区间”[2,3]；
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(a2 + a)x 1 a +1 1
（3）由 f (x) = = 在 ( , 0)和 (0,+ )上均为增函数，
a2x a a2x
已知 f (x) 在“黄金区间”[m,n]上单调，所以[m,n] ( ,0) 或[m,n] (0,+ ) ，且 f (x) 在[m,n]上为
单调递增，
a +1 1
则同理可得 f (m) = m， f (n) = n，即m,n(m n)是方程 = x的两个同号的实数根，等价于方
a a2x
程 a2x2 (a2 + a)x +1= 0 有两个同号的实数根，
1
又mn = 0 ，则只要 = (a2 + a)2 4a2 0，∴ a 1或 a 3，
a2
a2 + a a +1 1
而由韦达定理知 n+m = = ，mn = ， 2
a2 a a
2 a +1 4 3 2 1 1 4所以 n m = (n+m) 4mn = ( )2 = + +1 = 3( )2 + ，其中 a 1或
a a2 a2 a a 3 3
2 3
a 3，所以当 a = 3时，n m取得最大值 ．
3
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