浙江省金华十校2024-2025学年高一上学期期末调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一上·金华期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·金华期末） （ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·金华期末）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025高一上·金华期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·金华期末）已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
6．（2025高一上·金华期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2025高一上·金华期末）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合.已知是终边上异于原点的一点，将的终边按逆时针旋转到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·金华期末）设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高一上·金华期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·金华期末）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数定义域为
B．函数在单调递减
C．将函数的图象向左平移10个单位得到函数的图象，则
D．当时，
11．（2025高一上·金华期末）已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一上·金华期末）计算： .
13．（2025高一上·金华期末）已知扇形的半径为10，圆心角为弧度，则该扇形的面积为 .
14．（2025高一上·金华期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则 .
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一上·金华期末）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（2025高一上·金华期末）已知函数
（1）当时，若，求x的值；
（2）若的值域为R，求实数a的取值范围.
17．（2025高一上·金华期末）已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）若，且，求的值.
18．（2025高一上·金华期末）已知函数其中a，b是常数
（1）当时，在上恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）证明：函数的图象是一个轴对称图形；
（3）若当时，在上有零点，求实数b的取值范围.
19．（2025高一上·金华期末）已知集合，集合，表示集合元素的个数.
（1）若，求，
（2）若
①求的最大值；
②证明：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：C
【分析】交集是两个集合中共同元素的集合，需找出同时满足集合 A 和集合 B 条件的元素。
2．【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由诱导公式可得 ， ， ，
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式转化成初中熟悉的锐角三角函数的求法，进而得出答案。
3．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：C
【分析】全称命题的否定需同时修改量词和结论—— 将全称量词 “” 换为存在量词 “”，再否定原命题的结论。
4．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：令函数，定义域为，
因为，所以是偶函数，排除A，D，
当时，，排除C，
故答案为：B
【分析】通过判断函数的奇偶性、特殊点的函数值符号，排除错误选项，确定图像形状。
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由函数 是奇函数可得：
对定义域内的任意x都成立，
故答案为：C．
【分析】利用奇函数的性质（定义域包含0时，），先构造奇函数，再代入求解。
6．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A：当时，，因此A不是真命题，故A错误；
B：取，，但是，因此B不是真命题，故B错误；
C：取，，此时，但是，不是真命题，故C错误；
D：若，则恒成立，即，故D正确。
故答案为：D.
【分析】通过举反例排除错误选项，通过作差法验证正确选项的不等式关系。
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知是角终边上的一点，所以，
即，解得，故.
故答案为：A.
【分析】利用角的旋转关系，结合两角和的正切公式，通过的坐标求出（即）。
8．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：A，因为的定义域为R，，所以不是奇函数，A错误；
B，因为，
所以的最小正周期不是，B错误；
C，因为，，
而，
又因为，所以，
因为，，所以在区间上不单调，C错误；
D，由用辅助角公式，
令，，则（由），
由基本不等式：，代入辅助角的最大值1，
得：，当时取等号，故D正确。
故答案为：D
【分析】先化简函数，再通过奇偶性、周期、单调性的定义逐一排除错误选项，最后用基本不等式或辅助角公式求最大值。
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；指数函数的概念与表示；对数的概念与表示
【解析】【解答】解：，，
时，，，，；
时，，，，；
时，，，，；
时，，，，；
所以不能建立从集合A到集合B的函数关系，A错误；
，，可以建立从集合A到集合B的函数关系，B，C，D正确.
故答案为：BCD
【分析】函数关系要求集合A中每个元素，经表达式计算后结果都属于集合B，需逐一验证各选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，由函数，得，解得，
由，得，因此的定义域为，A正确；
B，，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，因此即函数在单调递增，B错误；
C，由依题意，，则，C正确；
D，当时，，，，都是减函数，则在上递减，
当时，，，
，又
，因此，
则，由，
得函数为上的奇函数，则，
即，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕函数的定义域、单调性、平移变换、奇偶性与不等式，逐一推导判断：核心是利用对数函数的定义域要求、复合函数单调性、函数平移规则、奇偶性与单调性结合分析不等式。
11．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数基本关系的运用；辅助角公式
【解析】【解答】解：A，因为，得，即，A正确；
B，，
因为，得，，
，，B正确；
C，由B分析可知：，，
，即大小不定，C错误；
D，由B，，，，
从而得，在递减，，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由确定的范围（），再结合三角函数性质、辅助角公式、函数单调性逐一验证选项。
12．【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：依题意可得
故答案为：5
【分析】分别计算指数幂和对数乘积，再求和。指数幂用幂的运算法则，对数乘积用换底公式化简。
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得.
故答案为：
【分析】直接使用扇形面积公式（圆心角为弧度制时），代入半径和圆心角计算面积。
14．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形，
所以，，得，
显然A在函数图象上，而B在函数图象上，
则，得，解得
故答案为：
【分析】先根据函数关系确定B、C的坐标，结合等腰直角三角形的边长关系列方程，再代入函数表达式求解m。
15．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）分式求值：将正弦、余弦的齐次分式转化为正切的表达式，直接代入已知正切值计算。
（2）三角恒等变换：利用和角公式化简分子的余弦和，结合诱导公式化简分母的正弦，再转化为正切的表达式求解。
（1）
（2）
16．【答案】（1）解：当时，令，得，满足；
当时，令，
所以，解得或，不符合，舍去.
故x的值为
（2）解：当时，因为，
所以要使值域为R，只需在上取遍，
当时，令，
①当时，当，即时，
在上取遍
②当时，在上是增函数，则，不成立；
【知识点】函数的值域；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）分段函数求值：分和两段分别解方程，验证解是否在对应区间内。
（2）值域为R的条件：先分析段的值域，再要求段的二次函数的取值范围能覆盖，结合二次函数的对称轴与最大值条件求解参数范围。
（1）解：当时，令，得，满足；
当时，令，
所以，解得或，不符合，舍去.
故x的值为
（2）当时，因为，
所以要使值域为R，只需在上取遍，
当时，令，
①当时，当，即时，
在上取遍
②当时，在上是增函数，则，不成立；
17．【答案】（1）解：由，
则；
（2）解：，，
所以的最大值为，最小值为
（3）解：由得，
由得，所以，
所以，
，
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）周期求解：先将函数化简为 “正弦型函数 + 常数” 的形式，再利用正弦函数的周期公式计算。
（2）区间最值：通过变量替换确定正弦部分的取值范围，进而得到函数的最值。
（3）求：先由函数值得到正弦表达式，结合角的范围求余弦，再利用和角、二倍角公式逐步推导。
（1）由，
；
（2），，
所以的最大值为，最小值为；
（3）由得，
由得，所以，
所以，
，
18．【答案】（1）解：当时，，
所以当时，，
（2）证明：定义域为，且，
因为 ，
，
关于直线对称；
（3）解：，
令，则，由得，
，
因为，所以当时，，即
若当时在上有零点，则
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）恒成立问题：将函数化简为关于二次函数的分式形式，求分式的最小值，结合不等式条件求参数范围。
（2）轴对称证明：通过验证f(2-x)=f(x)，确定对称轴为x=1。
（3）零点问题：通过换元将方程转化为关于新变量的函数，分析函数的单调性与取值范围，进而确定参数范围。
（1）解：当时，，
所以当时，，
（2）定义域为，且，
因为 ，
，
关于直线对称；
（3），
令，则，由得，
，
因为，所以当时，，即
若当时在上有零点，则
19．【答案】（1）解：当时，，
则；.
（2）解：① 当时，，因，
则由，，可得1，，
即存在非空，取非空集合，且，即，
由，可得，因，故
假设还存在，即，则，
又，，且97为质数，则必有，或，
即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在.
综上所述，的最大值为2.
② 因，可设则，即m表示除以n所得余数，
下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等.
任取，则，
因为，则，，均不是质数97的倍数，
所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个，
由①知，每个集合有2个元素，所以
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）集合求解：直接代入集合定义，验证元素是否满足条件。
（2）①最大值分析：利用质数模的平方剩余性质，结合与的对称性，确定的最大元素个数。
②和的证明：通过平方剩余的数量，结合每个剩余对应2个元素，计算非空集合的元素和，得到下界。
（1）当时，，
则；.
（2）① 当时，，因，
则由，，可得1，，
即存在非空，取非空集合，且，即，
由，可得，因，故
假设还存在，即，则，
又，，且97为质数，则必有，或，
即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在.
综上所述，的最大值为2.
② 因，可设则，即m表示除以n所得余数，
下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等.
任取，则，
因为，则，，均不是质数97的倍数，
所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个，
由①知，每个集合有2个元素，所以
1 / 1浙江省金华十校2024-2025学年高一上学期期末调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一上·金华期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：C
【分析】交集是两个集合中共同元素的集合，需找出同时满足集合 A 和集合 B 条件的元素。
2．（2025高一上·金华期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由诱导公式可得 ， ， ，
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式转化成初中熟悉的锐角三角函数的求法，进而得出答案。
3．（2025高一上·金华期末）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：C
【分析】全称命题的否定需同时修改量词和结论—— 将全称量词 “” 换为存在量词 “”，再否定原命题的结论。
4．（2025高一上·金华期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：令函数，定义域为，
因为，所以是偶函数，排除A，D，
当时，，排除C，
故答案为：B
【分析】通过判断函数的奇偶性、特殊点的函数值符号，排除错误选项，确定图像形状。
5．（2025高一上·金华期末）已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由函数 是奇函数可得：
对定义域内的任意x都成立，
故答案为：C．
【分析】利用奇函数的性质（定义域包含0时，），先构造奇函数，再代入求解。
6．（2025高一上·金华期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A：当时，，因此A不是真命题，故A错误；
B：取，，但是，因此B不是真命题，故B错误；
C：取，，此时，但是，不是真命题，故C错误；
D：若，则恒成立，即，故D正确。
故答案为：D.
【分析】通过举反例排除错误选项，通过作差法验证正确选项的不等式关系。
7．（2025高一上·金华期末）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合.已知是终边上异于原点的一点，将的终边按逆时针旋转到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知是角终边上的一点，所以，
即，解得，故.
故答案为：A.
【分析】利用角的旋转关系，结合两角和的正切公式，通过的坐标求出（即）。
8．（2025高一上·金华期末）设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的最大值为
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：A，因为的定义域为R，，所以不是奇函数，A错误；
B，因为，
所以的最小正周期不是，B错误；
C，因为，，
而，
又因为，所以，
因为，，所以在区间上不单调，C错误；
D，由用辅助角公式，
令，，则（由），
由基本不等式：，代入辅助角的最大值1，
得：，当时取等号，故D正确。
故答案为：D
【分析】先化简函数，再通过奇偶性、周期、单调性的定义逐一排除错误选项，最后用基本不等式或辅助角公式求最大值。
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高一上·金华期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；指数函数的概念与表示；对数的概念与表示
【解析】【解答】解：，，
时，，，，；
时，，，，；
时，，，，；
时，，，，；
所以不能建立从集合A到集合B的函数关系，A错误；
，，可以建立从集合A到集合B的函数关系，B，C，D正确.
故答案为：BCD
【分析】函数关系要求集合A中每个元素，经表达式计算后结果都属于集合B，需逐一验证各选项。
10．（2025高一上·金华期末）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数定义域为
B．函数在单调递减
C．将函数的图象向左平移10个单位得到函数的图象，则
D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，由函数，得，解得，
由，得，因此的定义域为，A正确；
B，，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，因此即函数在单调递增，B错误；
C，由依题意，，则，C正确；
D，当时，，，，都是减函数，则在上递减，
当时，，，
，又
，因此，
则，由，
得函数为上的奇函数，则，
即，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕函数的定义域、单调性、平移变换、奇偶性与不等式，逐一推导判断：核心是利用对数函数的定义域要求、复合函数单调性、函数平移规则、奇偶性与单调性结合分析不等式。
11．（2025高一上·金华期末）已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数基本关系的运用；辅助角公式
【解析】【解答】解：A，因为，得，即，A正确；
B，，
因为，得，，
，，B正确；
C，由B分析可知：，，
，即大小不定，C错误；
D，由B，，，，
从而得，在递减，，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由确定的范围（），再结合三角函数性质、辅助角公式、函数单调性逐一验证选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一上·金华期末）计算： .
【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：依题意可得
故答案为：5
【分析】分别计算指数幂和对数乘积，再求和。指数幂用幂的运算法则，对数乘积用换底公式化简。
13．（2025高一上·金华期末）已知扇形的半径为10，圆心角为弧度，则该扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得.
故答案为：
【分析】直接使用扇形面积公式（圆心角为弧度制时），代入半径和圆心角计算面积。
14．（2025高一上·金华期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则 .
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形，
所以，，得，
显然A在函数图象上，而B在函数图象上，
则，得，解得
故答案为：
【分析】先根据函数关系确定B、C的坐标，结合等腰直角三角形的边长关系列方程，再代入函数表达式求解m。
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一上·金华期末）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）分式求值：将正弦、余弦的齐次分式转化为正切的表达式，直接代入已知正切值计算。
（2）三角恒等变换：利用和角公式化简分子的余弦和，结合诱导公式化简分母的正弦，再转化为正切的表达式求解。
（1）
（2）
16．（2025高一上·金华期末）已知函数
（1）当时，若，求x的值；
（2）若的值域为R，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，令，得，满足；
当时，令，
所以，解得或，不符合，舍去.
故x的值为
（2）解：当时，因为，
所以要使值域为R，只需在上取遍，
当时，令，
①当时，当，即时，
在上取遍
②当时，在上是增函数，则，不成立；
【知识点】函数的值域；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）分段函数求值：分和两段分别解方程，验证解是否在对应区间内。
（2）值域为R的条件：先分析段的值域，再要求段的二次函数的取值范围能覆盖，结合二次函数的对称轴与最大值条件求解参数范围。
（1）解：当时，令，得，满足；
当时，令，
所以，解得或，不符合，舍去.
故x的值为
（2）当时，因为，
所以要使值域为R，只需在上取遍，
当时，令，
①当时，当，即时，
在上取遍
②当时，在上是增函数，则，不成立；
17．（2025高一上·金华期末）已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）若，且，求的值.
【答案】（1）解：由，
则；
（2）解：，，
所以的最大值为，最小值为
（3）解：由得，
由得，所以，
所以，
，
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）周期求解：先将函数化简为 “正弦型函数 + 常数” 的形式，再利用正弦函数的周期公式计算。
（2）区间最值：通过变量替换确定正弦部分的取值范围，进而得到函数的最值。
（3）求：先由函数值得到正弦表达式，结合角的范围求余弦，再利用和角、二倍角公式逐步推导。
（1）由，
；
（2），，
所以的最大值为，最小值为；
（3）由得，
由得，所以，
所以，
，
18．（2025高一上·金华期末）已知函数其中a，b是常数
（1）当时，在上恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）证明：函数的图象是一个轴对称图形；
（3）若当时，在上有零点，求实数b的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
所以当时，，
（2）证明：定义域为，且，
因为 ，
，
关于直线对称；
（3）解：，
令，则，由得，
，
因为，所以当时，，即
若当时在上有零点，则
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）恒成立问题：将函数化简为关于二次函数的分式形式，求分式的最小值，结合不等式条件求参数范围。
（2）轴对称证明：通过验证f(2-x)=f(x)，确定对称轴为x=1。
（3）零点问题：通过换元将方程转化为关于新变量的函数，分析函数的单调性与取值范围，进而确定参数范围。
（1）解：当时，，
所以当时，，
（2）定义域为，且，
因为 ，
，
关于直线对称；
（3），
令，则，由得，
，
因为，所以当时，，即
若当时在上有零点，则
19．（2025高一上·金华期末）已知集合，集合，表示集合元素的个数.
（1）若，求，
（2）若
①求的最大值；
②证明：
【答案】（1）解：当时，，
则；.
（2）解：① 当时，，因，
则由，，可得1，，
即存在非空，取非空集合，且，即，
由，可得，因，故
假设还存在，即，则，
又，，且97为质数，则必有，或，
即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在.
综上所述，的最大值为2.
② 因，可设则，即m表示除以n所得余数，
下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等.
任取，则，
因为，则，，均不是质数97的倍数，
所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个，
由①知，每个集合有2个元素，所以
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）集合求解：直接代入集合定义，验证元素是否满足条件。
（2）①最大值分析：利用质数模的平方剩余性质，结合与的对称性，确定的最大元素个数。
②和的证明：通过平方剩余的数量，结合每个剩余对应2个元素，计算非空集合的元素和，得到下界。
（1）当时，，
则；.
（2）① 当时，，因，
则由，，可得1，，
即存在非空，取非空集合，且，即，
由，可得，因，故
假设还存在，即，则，
又，，且97为质数，则必有，或，
即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在.
综上所述，的最大值为2.
② 因，可设则，即m表示除以n所得余数，
下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等.
任取，则，
因为，则，，均不是质数97的倍数，
所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个，
由①知，每个集合有2个元素，所以
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