2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册期中质量检测练习卷（含解析）

人教A版数学选择性必修第二册期中质量检测练习卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知f(x)＝ex＋sin x，则f′(0)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．0
2．已知等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，则该数列的公差为(　　)
A． B．1
C． D．2
3．(教材原题·P103复习参考题5T3)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
A　 　　　B　　　　C　　　 　D
4．已知等差数列{an}的公差和首项都不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
5．函数f(x)＝＋x－ln x的最小值为(　　)
A．e B．e＋1
C．1 D．e－1
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列的不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球(a1＝1)，第二层有3个球(a2＝3)，第三层有6个球(a3＝6)，第四层有10个球(a4＝10)，第五层有15个球(a5＝15)，…，各层球数之差{an＋1－an}：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…，即2，3，4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为(　　)
A．51 B．68
C．106 D．157
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝3，S6＝9，则S10＝(　　)
A．12 B．15
C．18 D．21
8．已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)A．f(2 024)B．ef(2 024)C．ef(2 024)＝f(2 025)
D．ef(2 024)>f(2 025)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x
10．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0．则下列结论正确的是(　　)
A．0C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7
11．对于函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)在x＝1处取得极大值
B．f(x)有两个不同的零点
C．f(4)＜f(π)＜f(3)
D．πe2＞2eπ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝a ln x＋2，f′(e)＝2，则a的值为________．
13．在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为________．
14．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数y＝f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上是连续的；(2)在开区间(a，b)上可导．则在开区间(a，b)上至少存在一点ξ，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则g(x)＝ex在区间[0，1]上的“拉格朗日中值”ξ＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R．已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程．
16．(本小题满分15分)在①Sn＝n2＋n；②a3＋a5＝16，S3＋S5＝42；③＝，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，________，b1＝a1，b2＝．求数列的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
17．(本小题满分15分)(教材原题·P98习题5.3T8)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？
18．(本小题满分17分)若数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b1＝3a1，b3＝a2＋4．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝x ln x－ax．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>成立．
参考答案
1．C　[因为f(x)＝ex＋sin x，所以f'(x)＝ex＋cos x，
所以f'(0)＝e0＋cos 0＝2．
故选C．]
2．A　[设该数列的公差为d，因为等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，
所以解得d＝．]
3．(教材原题·P103复习参考题5T3)B　[本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系．由导数的几何意义可得，y＝f(x)在[－1，0]上每一点处的斜率逐渐变大，而在[0，1]上则逐渐变小，故选B．]
4．B　[设等差数列的公差为d，则a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d，
因为a2，a4，a8成等比数列，
故(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
整理得到d2＝a1d，由于d≠0，则d＝a1，故an＝na1，
故．故选B．]
5．B　[函数f(x)＝＋x－ln x的定义域为(0，＋∞)，
且f'(x)＝＋1－(ex＋x)，因为x>0，所以ex＋x>0，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，即f(x)在(0，1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值即最小值，
故f(x)min＝f(1)＝e＋1．故选B．]
6．C　[现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差{an+1－an}：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，a6－a5，…，
即2，3，6，11，18，…，
3－2，6－3，11－6，18－11，…，
即1，3，5，7，…是等差数列，
所以a7＝41＋(18＋9)＝68，
a8＝68＋(18＋9＋11)＝106．]
7．B　[设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，由S2＝2a1＝3，S6＝6a1＝9，解得a1＝，则S10＝10×＝15；
当q≠1时，由S2＝3，S6＝9，得显然q2≠1，从而得＝3，即＝3，得q4＋q2－2＝0，即(q2－1)(q2＋2)＝0，解得q2＝1或q2＝－2，均不满足要求．
综上，S10＝15．故选B．]
8．B　[令F(x)＝，则F'(x)＝，
由于f(x)0，
故函数F(x)在R上单调递增，
所以F(2 025)>F(2 024)，
故，即ef(2 024)9．BC　[对于A，f(x)＝3cos x，其导数f'(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数 f'(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f'(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数 f'(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．故选BC．]
10．ABC　[∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，01，011．AC　[由函数f(x)＝，可得函数f(x)的导数为f'(x)＝．当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增．可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以A正确；因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f(4)2>1，可得，即πe2<2eπ，所以D错误．故选AC．]
12.2e　[根据题意，得f'(x)＝，因为f'(e)＝＝2，所以a＝2e．]
13.2　[设正项等比数列{an}的公比为q，q>0，
由a6，3a5，a7依次成等差数列，可得6a5＝a6＋a7，
即有6a1q4＝a1q5＋a1q6，化简得q2＋q－6＝0，
解得q＝2(q＝－3舍去)，则{an}的公比为2．]
14．ln(e－1)　[由g(x)＝ex可得g'(x)＝ex，所以g'(ξ)＝eξ，
由拉格朗日中值定理可知g'(ξ)＝＝e－1，
即eξ＝e－1，所以ξ＝ln(e－1)．]
15．解：(1)f'(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a．
因为f(x)在x＝3处取得极值，
所以f'(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3．所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8．
(2)由(1)可知A点在f(x)上，f'(x)＝6x2－24x＋18，
则f'(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y＝16．
16．解：选①：
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n，
又n＝1时，a1＝2×1＝2满足上式，
所以an＝2n，Sn＝＝n2＋n(n∈N*)．
选②：
设数列{an}的公差为d，由a3＋a5＝16，S3＋S5＝42，
得
解得
所以an＝2n，Sn＝＝n2＋n(n∈N*)．
选③：
由，
所以，
即an＝a1·n， S7＝7a4＝28a1＝56，
所以a1＝2，
所以an＝2n，Sn＝＝n2＋n(n∈N*)．
①②③均可求得an＝2n，
Sn＝＝n2＋n(n∈N*)，
设{bn}的公比为q，
又因为a1＝2，a2＝4，
由b1＝a1＝2，b2＝＝4，
得b1＝2，q＝2，
所以bn＝2n(n∈N*)，
所以数列{bn}的前n项和为＝2n+1－2，
因为，
所以数列的前n项和为1－＋…＋＝1－，
故Tn＝2n+1－2＋1－＝2n+1－－1．
17．(教材原题·P98习题5.3 T8)解：在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，则无盖方盒的底面为正方形，且边长为a－2x，高为x．
(1)无盖方盒的容积V(x)＝(a－2x)2x，0(2)因为V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，所以V'(x)＝12x2－8ax＋a2．令V'(x)＝0，得x＝(舍去)或x＝．当x∈时，V'(x)>0；当x∈时，V'(x)<0．因此，x＝是函数V(x)的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝时，无盖方盒的容积最大．
18．解：(1)∵2Sn＝3an－1(n∈N*)，∴2Sn-1＝3an-1－1(n≥2)，
两式相减得2an＝3an－3an-1，
即＝3，故数列{an}是以3为公比的等比数列，
又当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－1，得a1＝1，
∴an＝3n-1，
∴b1＝3a1＝3，b3＝a2＋4＝3＋4＝7，
∴等差数列{bn}的公差为＝2，
∴bn＝2n＋1．
(2)由(1)可得cn＝，
∴Tn＝＋…＋， ①
∴Tn＝＋…＋， ②
①－②得Tn＝＋…＋＋2×，
∴Tn＝2－．
19．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f'(x)＝ln x＋2(x>0)．
由f'(x)＝0，得x＝．
当x∈时，f'(x)<0；当x>时，f'(x)>0．
所以f(x)在上单调递增．
因此f(x)在x＝处取得极小值且为最小值，
即f(x)min＝f＝－．
显然，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f(x)没有最大值．
(2)证明：当x>0时，ln x＋1>等价于x(ln x＋1)>．
由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号．
设g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则g'(x)＝，易知g(x)max＝g(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，
因为f(x)与g(x)不同时为－，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>g(x)，即ln x＋1>．
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